1、2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 目标导航1.从函数观点看一元二次方程了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系4.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程了解一元二次不等式的现实意义.5.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题 知识解读知识点一一元二次不等式的概念定义只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2bxc0，ax2bxc000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不
2、相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集 Rax2bxc0)的解集 知识点四简单的分式不等式的解法分式不等式的解法：知识点五一元二次不等式恒成立问题1转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2bxc0(a0)恒成立ax2bxc0，ax2bxc000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集 Rax2bxc0)的解集 【答案】x|xx2 x|x1x0(a0)恒成立ax2bxc0(a0)恒成立2分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题知识点六利用不等式解决实际问题的一般步骤1选取合适的字母表示题目中的未知数2由题目中给出的不等关系，列出关
3、于未知数的不等式(组)3求解所列出的不等式(组)4结合题目的实际意义确定答案跟踪训练一、单选题1下列不等式的解集为的是（）ABCD【答案】D【分析】对于A、D：利用配方法对配方后即可判断；对于B：取特殊值否定结论；对于C：取特殊值否定结论.【详解】恒成立，所以不等式的解集为R，故A不正确，D正确对于B：当时，.故B不正确；对于C：当时，.故C不正确.故选：D2已知是的三边长，且方程有两个相等的实数根，则这个三角形是（）A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D不确定【答案】A【分析】方程有两个相等的实数根，即，解方程可得或，又，故判断三角形的形状.【详解】方程有两个相等的实数根，则，又有，或，又，
4、故是等腰三角形.故选：A3已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（）A或BC或D【答案】B【分析】根据不等式的解集，得到，代入中即可求解.【详解】由题意得，即，所以即，解得故选：B4已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（）ABC或D或【答案】B【分析】当时，不等式显然成立；当时，由题意有，求解不等式组即可得答案.【详解】解：当时，恒成立，符合题意；当时，由题意有，解得，综上，.故选：B.5一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】根据二次函数开口向上，且判别式小于0计算即可【详解】由题，一元二次不等式对一切实数恒成立则 ，即，解得故选：B6已知函数
5、的图象都在轴的上方，求实数的取值范围()ABCD【答案】A【分析】分类讨论函数的平方项系数是否为零，根据常数函数、一次函数、二次函数的图像性质即可求出k的取值范围.【详解】的图象都在轴上方，时，k5或k1，k5时，函数为一次函数，不满足条件；k1时，y3满足条件；故k1；k5且k1时，函数为二次函数，则，解得；综上，.故选：A.7已知不等式的解集是，则的值为（）A1BC0D【答案】C【分析】根据不等式的解集是，利用方程的根与系数的关系求解.【详解】解：因为不等式的解集是，所以，解得，所以，故选：C8不等式的解集为，则的解集为（）ABCD【答案】A【分析】分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦
6、达定理可求得、的值，然后利用二次不等式的解法解所求不等式，即可得解.【详解】由题意可知，关于的方程的两根分别为、，则，可得，故所求不等式为，即，解得.故选：A.二、多选题9已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（）ABCD【答案】ABD【分析】不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集【详解】不等式变形为，又，所以，时，不等式解集为空集；，时，因此解集可能为ABD故选：ABD10关于x的不等式-10(其中xZ，a)的解集中元素的个数可能有（）A个B个C个D无数个【答案】AC【分析】在限定条件下讨论的取值情况，从而判断解集中x的个数【详解】由题(其中xZ，a)，当时，解
7、得，即解集中有3个元素；当时，故，解集中只有一个解，即解集中只有1个元素；故选：AC11已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（）AB不等式的解集为C不等式的解集为或D【答案】AD【分析】由一元二次不等式的解集可确定，并知两根为和，利用韦达定理可用表示，由此将不等式中用替换后依次判断各个选项即可得到结果.【详解】对于A，由不等式的解集可知：且，A正确；对于B，又，B错误；对于C，即，解得：，C错误；对于D，D正确.故选：AD.12已知方程及分别各有两个整数根，及，且，则下列结论一定正确的是（）A，BCD【答案】ACD【分析】只需分别利用二次方程根与系数的关系，以及判别式判断
8、出正确的结论【详解】解：对于A：由知，与同号若，则，这时，所以，此时与矛盾，所以，同理可证，故A正确；对于B：根据题意可知，解得同理，即，故B不正确，D正确；对于C：由A知，是整数，所以，由韦达定理有，所以，故C正确；故选：ACD三、填空题13若函数的定义域，值域为，则的取值范围是_.【答案】【分析】根据值域，结合图象分析可得m的范围.【详解】根据题意，函数函数的对称轴为，且有，又由函数的定义域，值域为，则有即的取值范故答案为：14关于x的不等式的解集为，则b的值为_【答案】【分析】根据题意，可得方程的两个根为2和3，由根与系数的关系可得关于a、b的方程，再求出a，b的值【详解】根据不等式的解
9、集为，可得方程的两个根为2和3，且，则，解得.故答案为：15若且，则的值是_.【答案】3【分析】根据韦达定理可得，进而可求的值.【详解】因为，由根的定义知为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，,故答案为：3.16若对任意， 恒成立，则的最大值为_【答案】【分析】先令，可得，再根据恒成立，可得，由此可得，再验证符合恒成立即可【详解】解：令，则，故，对任意，则恒成立，此时，当时取等号，此时成立，的最大值为故答案为：四、解答题17解以下一元二次不等式(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)或；(3)(4)【分析】（1）（3）（4）对不等式的左边分解因式求解，（2）由，得，然后对不等式的左边分解因
10、式求解，【详解】(1)由，得，解得，所以不等式的解集为(2)由，得，则，解得或，所以不等式的解集为或(3)由，得，解得，所以不等式的解集为(4)由，得，得，所以不等式的解集为18已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，(1)求的取值范围；(2)若，求方程的两个根【答案】(1)且；(2)，.【分析】（1）根据一元二次方程的定义及方程有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，从而到关于的不等式，求出的范围即可；（2）利用根与系数的关系可得，根据可得关于的方程，整理后即可解出的值，最后求出方程的根【详解】(1)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，即且，解得：且(2)关于的一元二次方程有两个
11、不相等的实数根，解得：，经检验：是分式方程的解，当时，方程为：，解得：，19设条件，条件(1)在条件q中，当时，求实数x的取值范围.(2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）将代入，整理得，求解一元二次不等式即可；（2）由题可知条件为，是的子集，列不等式组即可求解.【详解】(1)解：当时，条件，即，解得，故的取值范围为：.(2)解：由题知，条件，条件，即，是的充分不必要条件，故是的子集，解得，故实数m的取值范围为.20已知关于x的不等式的解集为(1)写出a和b满足的关系；(2)解关于x的不等式【答案】(1)(2)【分析】（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.【详解】(1)解：因为，所以，因为不等式的解集为，所以，且，解得(2)由（1）得则不等式等价为，即，即因为，所以不等式的解为即所求不等式的解集为（说明：解集也可以用a表示）
