1、第五章平面向量第二讲平面向量的数量积及应用练好题考点自测 1.下列说法正确的个数为()(1)向量在另一个向量方向上的投影是数量,而不是向量.(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.(3)由ab=0可得a=0或b=0.(4)(ab)c=a(bc).(5)两个向量的夹角的范围是0,2.A.2B.3C.4D.52.易错题已知两个非零向量a与b的夹角为,则“ab0”是“为锐角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.2019全国卷,3,5分已知AB=(2,3),AC=(3,t),|BC|=1,则ABBC=()A.-3B.-
2、2C.2D.34.2020全国卷,6,5分已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,ab=-6,则cos=()A.-3135B.-1935C.1735D.19355.2020山东,7,5分已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则APAB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)6.2017全国卷,4,5分文设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则()A.abB.|a|=|b|C.abD.|a|b|7.2020全国卷,14,5分文设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=.8.2021合肥市调研检测已知a=(1,1),b
3、=(2,-1),则向量b在a方向上的投影等于.9.2017全国卷,13,5分已知向量a,b的夹角为60,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=.拓展变式1.(1)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量CD在BA方向上的投影是()A.-35B.-322C.35D.322(2)2021大同市调研测试在直角三角形ABC中,直角边AB=3,AC=4,则ABBC+BCCA+CAAB=()A.-25B.25C.7D.-7(3)2017天津,14,5分文在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若BD=2DC,AE=AC-AB(R),且ADAE=-4,则的值为.2.(1
4、)2021安徽省四校联考已知向量a=(-1,m),2a+b=(2,3+2m),且(a+b)(a-b),则实数m的值为.(2)2020全国卷,14,5分设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.(3)2019全国卷,13,5分已知a,b为单位向量,且ab=0,若c=2a-5b,则cos=.3.2020成都市高三模拟ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若向量m=(a,-cos A),n=(cos C,2b-c),且mn=0,则角A的大小为()A.6B.4C.3D.24.新课标全国,5分已知M(x0,y0)是双曲线C:x22-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若MF1
5、MF20,可得到0,2),不能得到(0,2);而由(0,2),可以得到ab0.故选B.【易错点拨】(1)当ab0时,cos 0,则是锐角或=0(此时cos =1);(2)当ab0时,cos 0,则是钝角或=180(此时cos =-1).3.C因为BC=AC-AB=(1,t-3),所以|BC|=1+(t-3)2=1,解得t=3,所以BC=(1,0),所以ABBC=21+30=2,故选C.4.D由题意,得a(a+b)=a2+ab=25-6=19,|a+b|=a2+2ab+b2=25-12+36=7,所以cos=a(a+b)|a|a+b|=1957=1935,故选D.5.AAPAB=|AP|AB|c
6、osPAB=2|AP|cosPAB,又|AP|cosPAB表示AP在AB方向上的投影,所以结合图形可知,当P与C重合时投影最大,当P与F重合时投影最小.又ACAB=232cos 30=6,AFAB=22cos 120=-2,故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时,APAB(-2,6),故选A.6.A依题意得(a+b)2-(a-b)2=0,所以4ab=0,即ab,选A.7.5因为ab,所以ab=m+1-(2m-4)=0,所以m=5.8.22由题意,得b在a方向上的投影为ab|a|=12+1(-1)12+12=22.9.23易知|a+2b|=|a|2+4ab+4|b|2=4+42112+4=23
7、.1.(1)A依题意,得BA=(-2,-1),CD=(5,5),所以BACD=-15,|BA|=5,因此向量CD在BA方向上的投影是BACD|BA|=-155=-35,故选A.(2)A解法一在直角三角形ABC中,因为AB=3,AC=4,所以BC=5,于是ABBC+BCCA+CAAB=BC(AB-AC)+0=-BC2=-25,故选A.解法二以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图D 5-2-1所示平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(0,4), AB=(3,0),CA=(0,-4),BC=(-3,4),所以ABBC+BCCA+CAAB=3(-3)+04+(-3)0+
8、4(-4)+03+(-4)0=-25,故选A.图D 5-2-1(3)311解法一AD=AB+BD=AB+23BC=AB+23(AC-AB)=13AB+23AC.又ABAC=3212=3,所以ADAE=(13AB+23AC)(-AB+AC)=-13|AB|2+(13-23)ABAC+23|AC| 2=-3+3(13-23)+234=113-5=-4,则=311.解法二以点A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,不妨假设点C在第一象限,则A(0,0),B(3,0),C(1,3).由BD=2DC,得D(53,233),由AE=AC-AB,得E(-3,3),则ADAE=(53,233
9、)(-3,3)=53(-3)+2333=113-5=-4,则=311.2.(1)26解法一由题意,得b=(2,3+2m)-2(-1,m)=(4,3),因为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,即1+m2=5,解得m=26.解法二因为a+b=2a+b-a=(2,3+2m)-(-1,m)=(3,3+m), a-b=3a-(2a+b)=3(-1,m)-(2,3+2m)=(-5,m-3),(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=3(-5)+(3+m)(m-3)=m2-24=0,解得m=26.(2)3解法一a,b为单位向量,且|a
10、+b|=1,(a+b)2=1,1+1+2ab=1,ab=-12,|a-b|2=a2+b2-2ab=1+1-2(-12)=3,|a-b|=3.解法二如图D 5-2-2,设OA=a,OB=b,利用平行四边形法则得OC=a+b,|a|=|b|=|a+b|=1,OAC为正三角形,|BA|=|a-b|=232|a|=3.图D 5-2-2 (3)23设a=(1,0),b=(0,1),则c=(2,-5),所以cos=214+5=23.3.B解法一由mn=0,得acos C-(2b-c)cos A=0,由正弦定理,得sin Acos C -(2sin B-sin C)cos A=0,即sin Acos C+c
11、os Asin C = 2sin Bcos A,所以sin (A+C)=2sin Bcos A,所以sin (-B)=2sin Bcos A,即sin B=2sin Bcos A.因为0B,所以sin B0,所以cos A=22,所以A=4,故选B.解法二 由mn=0,得acos C-(2b-c)cos A=0,由余弦定理,得aa2+b2-c22ab-2bcos A+cb2+c2-a22bc=0,即2b=22bcos A,因为b0,所以cos A =22,所以A=4,故选B.4.A由题意知a2=2,b2=1,所以c2=3,不妨设F1(-3,0),F2(3,0),所以MF1=(-3-x0,-y0
12、),MF2=(3-x0,-y0),所以MF1MF2=x02-3+y02=3y02-10,所以-33y033,故选A.5.(1)B因为A,B,C均在单位圆上,AC为直径,故PA+PC=2PO=(-4,0),|PA+PB+PC|=|2PO+PB|2|PO|+|PB|,又|PB|PO|+1=3,所以|PA+PB+PC|4+3=7,故|PA+PB+PC|的最大值为7,选B.(2)16132依题意得ADBC,BAD=120,由ADAB=|AD|AB|cosBAD=-32|AD|=-32,得|AD|=1,因此=|AD|BC|=16.取MN的中点E,连接DE,则DM+DN=2DE,DMDN=14(DM+DN)2-(DM-DN)2=DE2-14NM2=DE2-14.注意到线段MN在线段BC上运动时,DE的最小值等于点D到直线BC的距离,即ABsin B=332,因此DE2-14的最小值为(332)2-14=132,即DMDN的最小值为132.
