1、第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.4 三角恒等变换的应用学习目标1.掌握倍角公式、两角和与差的三角公式的综合应用.2.掌握半角的正弦、余弦、正切公式及其应用.3.掌握积化和差、和差化积公式及其应用.4.了解万能公式及其应用.重点：倍角公式、两角和与差的三角公式、半角公式、积化和差与和差化积公式.难点：半角公式正负号的选择、积化和差与和差化积公式以及万能公式的识记.知识梳理一、半角公式及其推导一般地，可以变形为一般称这3个公式为半角公式.【名师点拨】第一象限第二象限第三象限第四象限第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限拓展：半角正切公式的有理表达式：这两个公式不用判断符号，更好用
2、！二、积化和差、和差化积公式及其推导1.积化和差公式归纳总结的左边是积的形式，右边是和或差的形式，因此被称为积化和差公式.这四个公式左边是和或差的形式，右边是积的形式，因此被称为和差化积公式.记忆口诀：正和正在先，正差正后迁，余和全是余，余差反了天.2.和差化积公式三、万能公式及其推导常考题型一、应用三角恒等变换化简或求值【解题提示】半角公式中都是用倍角的余弦表示半角的三个三角函数，所以应当先用平方关系式求cos，再代入公式计算得结果.CB A 22.积化和差公式的应用例2 求值：（1）sin 20cos 70+sin 10sin 50；（2）sin 20sin 40sin 60sin 80.
3、【解题提示】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.训练题1.求sin220+cos250+sin 20cos 50的值.【名师点拨】积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式（积的形式）转化为另一种形式（和差的形式），这种转化可以将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质，它们在三角式的变换中有很重要的作用.训练题1.求下列各式的值：（1）sin 54-sin 18.（2）cos 146+cos 94+2cos 47cos 73.1212二、利用三角恒等变换证明三角恒等式1.非条件恒等式例4 求证：cos2-cos2-sin（+
4、）sin（-）.证明三角恒等式的一般步骤（1）先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；（2）本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.对非条件恒等式证明非条件恒等式要根据等式两边的特征，化繁为简，左右归一，通过三角恒等变换，将等式的两边化异为同.对条件恒等式条件恒等式的证明要认真观察，比较已知条件与求证等式之间的联系，选择适当的途径，常用代入法、消元法、两头凑法.2.条件恒等式【解题技法】证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到
5、左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法.三、三角恒等变换在三角形中的应用已知三角恒等式判断三角形形状的方法将已知恒等式进行合理变形，然后考虑以下几种形状：1.直角三角形：有一个角是直角或两个角互余，或者一个角的正弦值为1，余弦值为0.2.等腰三角形：有两个角相等（正三角形：三个角都相等或者一角是60，其他两角相等）.3.钝角三角形：有一个角的余弦值为负值.训练题BA 四、三角恒等变换在函数图像和性质中的应用例7 已知f（x）cos2（x+）-2cos cos xcos（x+）+c
6、os2，求f（x）的最大值、最小值和最小正周期.应用三角恒等变换的知识和方法研究三角函数的图象和性质的问题主要考虑以下四点1.是否可以把所给三角函数式中的三角函数名称统一.如“切化弦”“余变正”；2.是否可以把所给三角函数式中的角形式统一；如半角化单角，倍角化单角等；3.是否可以把所给结构形式化简为结构一致的形式，如升幂、降幂等；4.是否可以把所给的三角函数值暂时变为相应的三角函数，以便套用相关公式.B训练题ACC五、三角恒等变换与平面向量的综合应用训练题B2x-0 x0y0-2020函数g（x）的图象如图所示.小结2.积化和差公式3.和差化积公式记忆口诀：正和正在先，正差正后迁，余和全是余，余差反了天.5.6.7.8.
