1、2.2.3 直线与平面平行的性质 直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 符号语言 a,a,=bab 图形语言 【思考】已知直线a平面,过平面 内的点P如何作与直线a平行的直线?提示:经过直线a和点P作一个平面和已知平面相交,则交线和已知直线a平行,此交线在平面 内,就是要作的直线.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)直线l平面,直线b平面,则lb.()(2)若直线l平面,则l与平面 内的任意一条直线都不相交.()(3)若直线a平面,直线a直线b,则直线b平面.()(4)若直线a,b和平面 满足a,b,则
2、ab.()提示:(1).直线l平面,直线b平面,则lb或l与b异面.(2).若直线l平面,则l与平面无公共点,所以l与平面内的任意一条直线都不相交.(3).直线b有可能在平面内.(4).若直线a,b和平面满足a,b,则a与b平行、相交和异面都有可能.2.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF平面ABC,则()A.EF与BC相交 B.EFBC C.EF与BC异面 D.以上均有可能【解析】选B.EF平面ABC,又EF平面SBC,平面ABC平面SBC=BC,故EFBC.3.若直线l平面,则过l作一组平面与 相交,记所得的交线分别为a,b,c,那么这些交线的位置关系为()A.
3、都平行 B.都相交且一定交于同一点 C.都相交但不一定交于同一点 D.都平行或交于同一点【解析】选A.因为直线l平面,所以根据直线与平面平行的性质知la,lb,lc,所以abc.类型一 与线面平行的性质有关的证明问题【典例】如图所示,已知四边形ABCD是 平行四边形,点P是平面ABCD外的一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和 AP作平面交平面BDM于GH,求证:PAGH.世纪金榜导学号【思维引】要证PAGH,观察到过PA的平面PAHG与平面BDM相交于GH,需要先证PA平面BDM.【证明】连接AC,设ACBD=O,连接MO.因为四边形ABCD为平行四边形,所以O是AC的中点,又M是P
4、C的中点,所以MOPA.又MO平面BDM,PA平面BDM,所以PA平面BDM.又因为平面BDM平面PAHG=GH,PA平面PAHG,所以PAGH.【素养探】在与线面平行的性质有关的证明问题中,经常利用核心素养中的逻辑推理,根据“直线与平面平行”,寻找过此直线的 平面与已知平面的交线,推出直线与直线平行.直线与 平面平行的性质定理与判定定理经常交替使用,这反映了线面平行、线线平行间的相互转化,也是将平面几何与立体几何联系起来的桥梁.将本例条件“M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH”改为“点E在线段PA上,PC平面BDE”,求证:AE=PE.【证明】连接AC交BD于
5、点F,连接EF,因为底面ABCD是平行四边形,所以F是 AC的中点,因为PC平面BDE,又因为平面BDE平面PAC=EF,PC平面PAC,所以PCEF,所以EF是PAC的中位线,所以AE=PE.【类题通】利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤【习练破】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1上不同于B,B1的任一点,AB1A1E=F,B1CC1E=G.求证:ACFG.【证明】连接A1C1,因为ACA1C1,A1C1平面A1EC1,AC平面A1EC1,所以AC平面A1EC1.又因为平面A1EC1平面AB1C=FG,AC平面AB1C,所以ACFG.【加练固】如图,在四棱锥P-ABCD
6、中,点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,BC平面GEFH.证明:GHEF.【证明】因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可证EFBC,因此GHEF.类型二 与线面平行的性质有关的计算问题 【典例】1.如图,a,A是 的另一侧的点,B,C,Da,线段AB,AC,AD交 于E,F,G,若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=_.2.如图,已知E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD之外,M是线段PA上一动点,若PC平面MEF,试求PMMA的值.世纪金榜导学号【思维引】1.根据直线与
7、平面平行的性质定理,由a 可推出BDEG.2.由PC平面MEF可推出PCOM,利用平行线分线段成比例定理可将PMMA的值转化为在菱形ABCD中求OCAC的值.【解析】1.因为a,EG=平面ABD,所以aEG,即BDEG.所以 即 所以EG=.答案:AFEGACBD，5EG454，2092092.如图,连接BD交AC于点O1,连接OM,因为PC平面MEF,平面PAC平面 MEF=OM,PC平面PAC,所以PCOM,所以 ,在菱形ABCD中,因为E,F分别是边BC,CD的中点,所以 .又AO1=CO1,所以 故PMMA=13.PMOCPAAC1OC1O C2PMOC1PAAC4，【内化悟】遇到线面
8、平行时,常需如何作辅助线,把空间几何问题转化为平面几何问题?提示:常过已知直线作与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质找或作出经过直线的平面与已知平面相交的交线,得到直线与直线平行,把空间几何问题转化为平面几何问题.【类题通】用线面平行性质定理解计算问题的三个要点(1)根据已知线面平行关系推出线线平行关系.(2)在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.(3)利用所得关系计算所求值.【习练破】(2019聊城高一检测)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD 为菱形,BAD=60,Q为AD的中点,点M在线段PC上,PM=tPC,PA平面MQB,则实数t的值为
9、()A.B.C.D.15141312【解题指南】连接BD,连接AC交BQ于点N,交BD于点O,说明PA平面MQB,利用PAMN,根据三角形相似,即可得到结论.【解析】选C.连接BD,连接AC交BQ于点N,交BD于点O,连接MN,如图 则O为BD的中点,又因为BQ为ABD边AD上的中线,所以N为正三角形ABD的中心,令菱形ABCD的边长为a,则AN=a.AC=a,因为PA 平面MQB,PA平面PAC,平面PAC平面MQB=MN,所以PAMN.所以PMPC=ANAC,即PM=PC,则t=.3331313【加练固】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且PA=3.F在棱PA上,且AF=1,E在棱PD上.若CE平面BDF,求PEED的值.【解析】过点E作EGFD交AP于点G,连接CG,连接AC交BD于点O,连接FO.因为EGFD,EG平面BDF,FD平面BDF,所以EG平面BDF,又EGCE=E,CE平面BDF,EG平面CGE,CE平面CGE,所以平面CGE平面BDF,又CG平面CGE,所以CG平面BDF,又平面BDF平面PAC=FO,CG平面PAC,所以FOCG.又O为AC中点,所以F为AG中点,所以FG=GP=1,所以E为PD中点,PEED=11.
