1、第八章向量的数量积与三角恒等变换8.2.3 倍角公式学习目标1.能由两角和的正弦、余弦和正切公式推导二倍角的正弦、余弦和正切公式.2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.能够正确运用倍角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和证明恒等式.重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式.难点：倍角公式与以前学习的同角三角函数基本关系式、诱导公式的综合应用.知识梳理思考：你能根据前面学过的内容，写出由的三角函数值求出sin 2，cos 2，tan 2的一般公式吗？如果在两角和的正弦公式S+中，令，则可得出求sin 2的公式，即sin 2sin（+）sin cos+cos sin 2sin cos.类似地，可得
2、cos 2cos（+）cos cos-sin sin cos2-sin2，因此这3个公式称为倍角公式.需要注意的是，因为sin2+cos21，所以C2也可改写为 22cos2 11 2sin2.【名师点拨】常考题型一、利用倍角公式化简、求值给角求值问题的解法（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.利用倍角公式求值常用的解题步骤1.寻找所给角与已知角、特殊角之
3、间的倍、半、和、差关系；2.根据所求值的结构，选择适当的和差角公式及倍角公式；3.将所求的三角函数式转化为已知角的三角函数式.CBC4.求cos 72cos 36的值.三角函数式的化简要求能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使三角函数式中的项数尽量少；尽量使分母不含有三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.三角函数式的化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角.降幂或升幂.一个重要结论：（sin cos）21sin 2.训练题B二、条件求值3.给值求角问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角，关键在于“变角”，使“目的角”变成“目标角”，然后选择一个适当的三角函数，根据题设确定所求角
4、的取值范围，然后求出角，确定角的取值范围是关键的一步.解题时，注意利用诱导公式和同角三角函数基本关系对已知式进行转化.D三、倍角公式与三角函数性质的综合用倍角公式解决三角函数性质的方法（1）为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型（正弦型）函数，这是解决问题的前提.（2）解决有关三角函数的最值问题，一般需利用三角函数的有界性来解决，利用三角变换化多个三角函数为一个三角函数.如果含有二次方，一般要换元、配方，借助于二次函数解决.B四、倍角公式在三角形中的应用【误区警示】三角形中三个内角的和是，A，B，C都要受此限制，特别是已知其中某个角后，求关于另一个角的三角函数式的最值问题.因为该角限定在某个区间上，所以求最值时必须首先考虑其取值范围，再借助于三角函数图像或二次函数获得结论，否则就容易出现错误.A五、倍角公式与向量的综合应用倍角公式解答向量问题的方法1.平面向量的运算主要有线性运算和数量积运算，线性运算主要是求向量的和、差及数乘，如果向量以坐标形式给出，而坐标中又含有三角函数，通常都可以应用三角变换公式解决.2.向量运算结果转化为三角形式后，在研究其最值、单调性、对称轴或对称中心等问题时，都可以借助于两角和与差的三角函数或倍角公式，将多个三角函数名称化为一个三角函数，进而利用三角函数性质获得结果.训练题小结
