1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及其线性运算2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解向量的实际背景；2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3.理解向量的几何表示；4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；6.了解向量线性运算的性质及其几何意义。2015，全国卷，7,5分(平面向量的线性运算)2015，全国卷，13,5分(平面向量的线性运算)2014，北京卷，10,5分(平面向量的线性运算)2014，浙江卷，8,5分(平面向量的概念)高考对本讲内容的考查以向量的线性运算为主；以向量
2、的概念和线性运算知识为载体，与三角函数等知识综合考查的可能性较大，复习时应予以关注。试题多为客观题，难度不大，分值约为5分。微知识小题练自|主|排|查1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量，其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02向量的线性运算向量运算定义法则(
3、或几何意义)运算律加法求两个向量和运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：abba。(2)结合律：(ab)ca(bc)。减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3.共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba。微点提醒1三个常用的结论：(1)零向量与任何向量共线。(2)平行向量与起点无关。(3)若存在非零实数，使得或或，则A，B，C三点共线。2三个注意点：(1)向量共线与
4、线段共线不同，前者可以不在同一直线上，而后者必须在同一直线上。同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上。(2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点。(3)在向量共线的充要条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个。小|题|快|练一 、走进教材1(必修4P78A组T5改编)已知三角形ABC，用与表示BC边上的中线向量，则_。【解析】()。【答案】2(必修4P92A组T11改编)在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()A平行四边形 B矩形C梯形 D菱形【解析】因为8a2b2，所以，且|，
5、所以四边形ABCD为梯形。故选C。【答案】C二、双基查验1若向量a与b不相等，则a与b一定()A有不相等的模B不共线C不可能都是零向量D不可能都是单位向量【解析】因为所有的零向量都是相等的向量，故选C。【答案】C2若mn，nk，则向量m与向量k()A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线【解析】若m0,0k，则k与m不一定共线，故选D。【答案】D3若向量a，b满足|a|3，|b|8，则|ab|的最小值为()A11 B2C4 D5【解析】当a与b共线且反向时，|ab|的最小值为5。故选D。【答案】D4已知a，b是非零向量，若|ab|ab|，则以a，b为邻边构成的四边形的形状为_。【解析】如图，
6、在以a与b为邻边的四边形中，|ab|与|ab|分别为四边形的两条对角线，故由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，以a，b为邻边的四边形是矩形。【答案】矩形5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_。【解析】由已知得abk(b3a)，解得【答案】微考点大课堂考点一 平面向量的有关概念【典例1】给出下列四个命题：若|a|b|，则ab或ab；若，则四边形ABCD为平行四边形；若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线。其中假命题的个数为()A1B2C3D4【解析】不正确。|a|b|但a，b的方向不确定，故a，b不一定相等；不正确。因为，A，B，C，D可能在
7、同一直线上，所以ABCD不一定是四边形；不正确。两向量不能比较大小；不正确。当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线。故选D。【答案】D反思归纳(1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键。(2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性。(3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关。(4)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量。解题时，不要把它与函数图象平移混为一谈。(5)非零向量a与的关系：是a方向上的单位向量。【变式训练】下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点C向量a与b不
8、共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行【解析】由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题入手来考虑，假设a与b不都是非零向量，即a与b中至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可知a与b共线，符合已知条件，所以有向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故选C。【答案】C考点二 平面向量的线性运算母题发散【典例2】(1)(2015全国卷)设D为ABC
9、所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.(2)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC。若12(1，2为实数)，则12的值为_。【解析】(1)()。故选A。(2)()，所以1，2，即12。【答案】(1)A(2)【母题变式】若将本典例(2)的条件改为“2，”，则_。【解析】，2。又2，2()。，即。【答案】反思归纳平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义。向量加法和减法均适合三角形法则。(2)求已知向量的和。一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则。(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量
10、的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值。【拓展变式】(2017惠州模拟)已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且，则()A点P在线段AB上B点P在线段AB的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上D点P不在直线AB上【解析】()，即，所以点P在线段AB的反向延长线上。故选B。【答案】B考点三 共线定理的应用多维探究角度一：共线定理的简单运用【典例3】设两个非零向量e1和e2不共线。(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A，C，D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，3e1ke2，且A，C，F三点共线，求k的值。【解析】(1)证明：e1e2，3e12e2，4
11、e1e2，又8e12e2，2，与共线。又与有公共点C，A，C，D三点共线。(2)e1e2，2e13e2，3e12e2。A，C，F三点共线，从而存在实数，使得。3e12e23e1ke2。又e1，e2是不共线的非零向量，因此k2。实数k的值为2。【答案】(1)见解析(2)2角度二：利用共线定理解决几何问题【典例4】(2016江西九校联考)已知P是ABC内一点，且，PBC的面积是2 015，则PAB的面积是_。【解析】设SABCS，SBPCS12 015，SAPBS2。(恰当切入，从“三点共线”突破)如图，延长AP交BC于D，由平面几何知识，得。由A，P，D三点共线，可得(R)。由B，D，C三点共线
12、，可得(1)(R)。联立和，有解得则，那么，于是SS1。同理，延长CP交AB于E，计算可得，所以S2S。于是S2SS1S12 0152 821。【答案】2 821反思归纳利用共线向量定理解题的方法(1)证明向量共线，对于向量a，b(b0)，若存在实数，使ab，则a与b共线。(2)证明三点共线，若存在实数，使，则A，B，C三点共线。(3)利用共线定理解决几何问题要注意两直线相交必然存在两组三点共线，通过列方程组往往能把问题解决。微考场新提升1(2016开封一模)在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，则的值为()A. B.C. D1解析依题意，因为M，B，C三点共线，所以。故选A。答案
13、A2下列各式不能化简为的是()A() B()()C. D.解析对于A，()()；对于B，()()()；对于C，2；对于D，。故选C。答案C3设P为锐角ABC的外心(三角形外接圆的圆心)，k()(kR)，若cosBAC，则k()A. B.C. D.解析取BC的中点D，连接PD，AD，则PDBC，2，k()(kR)，2k，A，P，D三点共线，ABAC，cosBACcosDPC，APAD，2k，解得k。故选A。答案A4已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同。若a，tb，(ab)三向量的终点在同一直线上，则t_。解析a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同。atb与a(ab)共线，即atb与ab共线，存在实数，使atb，解得，t，即t时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上。答案5.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若m，n，则mn的值为_。解析()。M，O，N三点共线，1。mn2。答案2
