1、第1章 计数原理本章练测建议用时实际用时满分实际得分120分钟160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.某校高三年级举行一次演讲比赛，共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其他班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为_.2.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目.如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同排法的种数为_.3共个人，从中选1名组长1名副组长，但不能当副组长，不同的选法总数是_.4现有男、女学生共人，从男生中选人，从女生中选人分别
2、参加数学、物理、化学三科竞赛，共有种不同方案，那么男、女生人数分别是_.5从字母中选出4个数字排成一列，其中一定要选出和，并且必须相邻（在的前面），共有排列方法_种.6从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有 双的取法种数为_.7的展开式中的常数项是_.8的展开式中的项的系数是_.9展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是_.10把根据二项式定理展开，展开式的第项的系数是_.11的展开式中，的系数是，则的系数是_.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_种（以数字作答）13在件产品中有件是次品，从中任意抽了
3、件，至少有件是次品的抽法共有_种（用数字作答）.14.从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_个二、解答题（本大题共6小题，共90分）15.（14分）要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？16（14分）个人坐在一排个座位上,问:(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)个空位只有个相邻的坐法有多少种?(3)个空位至多有个相邻的坐法有多少种?17（14分）有个球,其中个黑球,红、白、蓝球各个，现从中取出个球排成一列，共有多少种不同的排法？18（
4、16分）已知展开式中的二项式系数的和比展开式中的二项式系数的和大,求展开式中的系数最大的项和系数最小的项.19.（16分）求证：能被7整除. 20.（16分） 其中是常数,计算第1章 计数原理本章练测答题纸 得分： 一、填空题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、解答题15.16.17.18.19.20.第1章 计数原理本章练测答案一、填空题1. 解析：求符合要求的基本事件（排法）：第一步，将一班的3位同学“捆绑”成一个大元素；第二步，这个大元素与其他班的5位同学共6个元素全排列；第三步，在这个大元素与其他班的5位同学共6个元素全排列排好后产生的7个空中排列二班
5、的2位同学；第四步，“释放”一班的3位同学“捆绑”成的大元素.故共有个符合要求的基本事件.而基本事件总数为个，所以符合条件的基本事件的概率为=2.42 解析：分两类：增加的2个新节目不相邻或相邻，2个新节目不相邻采用“插空法”，在5个节目产生的6个空中任选2个排列，共有=30（种）排法，将2个新节目“捆绑”作为一个元素插入5个节目产生的6个空中的任意一个位置，再“释放”2个新节目“捆绑”成的大元素，共有=12（种）排法.将两类相加得42种排法316 解析：不考虑限制条件有种选法，若当副组长有种选法，故为所求.43,5 解析：设男学生有人，则女学生有（）人，则 即，.536 解析：从中选个，有种
6、方法，把看成一个整体，个元素全排列，有种方法，共计种排法.6120 解析：先从双鞋中任取双，有种方法，再从只鞋中任取只，有种取法，但需要排除种成双的情况，所以有种取法，则共计种取法.77 解析：. 令.8 解析： .9180 解析：只有第六项的二项式系数最大，则， ，令.10 解析：，系数为.1114 解析：，令, 则，再令.12.42 解析：分别用代表3种作物，先安排第一块田，有3种方法，不妨设种，再安排第二块田，种或，有2种方法，不妨设种，第三块田也有2种方法，种或（1）若第三块田种，则第四、五块田分别有2种方法，共有22种方法（2）若第三块田种，则第四块田仍有2种方法若第四块田种，则第五
7、块田仍有2种方法若第四块田种，则第五块田只能种.共有3种方法综上，共有（种）方法13.4 186 解析：至少有3件次品包括有件次品或有件次品，故抽法共有4 186（种）.14.300 解析：符合条件的四位数的个位必须是0或5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排，按照0排在个位，0排在十位、百位和不含0的标准分为三类：(1)0排在个位，能被5整除的四位数有（个）；(2)0排在十位、百位，但5必须排在个位的四位数有（个）；(3)不含0，但5必须排在个位的四位数有（个）由分类加法计数原理得所求四位数共有300个二、解答题15.解法一：对元素（数学和体育）进行分类解决.（1）体育、数学
8、均不排在第一节和第六节，有种排法，其他有种排法，共有=288（种）排法；（2）数学排在第一节、体育排在第六节有一种排法，其他有种排法，共有=24（种）排法；（3）数学排在第一节、体育不在第六节有种排法，其他有种排法，共有=96（种）排法；（4）数学不排在第一节、体育排在第六节有种排法，其他有种排法，共有=96（种）排法.所以符合条件的排法共有=504（种）.解法二：本题也可采用排除法解决.不考虑任何限制条件共有种排法，不符合题目要求的排法有：（1）数学排在第六节，有种；（2）体育排在第一节，有种.考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况种，所以符合条件的排法共有2=504（
9、种）16解：个人排有种坐法,人排好后包括两端共有个“间隔”可以插入空位.(1)空位不相邻相当于将个空位安插在上述个“间隔”中,有种插法，故空位不相邻的坐法有种.(2)将相邻的个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往个“间隔”里插，有种插法,故个空位中只有个相邻的坐法有种.(3)个空位至多有个相邻的情况有三类：个空位各不相邻有种坐法;个空位个相邻，另有个不相邻有种坐法;个空位分两组,每组都有个相邻,有种坐法.综上所述,应有种坐法.17解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有种排法；若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有 种排法；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有 种排法；所以有种排法.18解：由，的通项.当时，项的系数最大，即为展开式中的系数最大的项；当时，项中的系数最小，即为展开式中的系数最小的项.19.证明：=49+（）,又=（7+1）=7（）,.能被7整除.20解：设，令，得.令，得.
