1、考点突破练 2 三角恒等变换与解三角形一、选择题1.(2021全国乙文 6)cos2 12-cos2512=()A.12B.33C.22D.322.(2022山东济南一模)已知 sin(+4)=-32,则 sin 2 的值为()A.12B.-12C.32D.-323.(2022福建四市第一次质检)某学生在“捡起树叶树枝,净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝(视为三条线段),想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形.经测量,其长度分别为 3 cm,4 cm,6 cm,则()A.能作出两个锐角三角形B.能作出一个直角三角形C.能作出一个钝角三角形D.不能作出这样的三角形4.(2022湖南
2、长郡中学高三检测)设 sin 20=m,cos 20=n,化简1+tan101-tan10 2cos70cos50=()A.B.-C.D.-5.(2022湖北襄阳高三期末)在ABC 中,AC=22,BC=4,则角 B 的最大值为()A.4B.3C.2D.66.(2022江苏海安高级中学二模)设 M,N 为某海边相邻的两座山峰,到海平面的距离分别为 100 米,50米.现欲在 M,N 之间架设高压电网,须计算 M,N 之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 P,利用测角仪从 P 点测得的 M,N 点的仰角分别为 30,45,并从 P 点观测到 M,N 点的视角为 45,则 M,N 之间的距离为(
3、)A.5010米B.5014米C.5022米D.5026米7.(2022福建晋江模拟)若 sin 2=55,sin(-)=1010,且 4,2,32,则+的值是()A.74B.94C.54 或 74D.74 或 948.(2022陕西教学质量检测二)圭表(如图甲)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器,它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”).当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬至,日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图,已知北京冬至正午太阳高度
4、角大约(即ABC)为 30,夏至正午太阳高度角(即ADC)大约为 75,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即 DB 的长)为 a,则表高(即 AC 的长)为()甲乙A.34 aB.14aC.1+34aD.3-14 a9.(2022广东深圳高三检测)在ABC 中,下列命题正确的是()A.若 AB,则 sin Ac2,则此三角形的最大角为钝角10.(2022湖北八市高三联考)将函数 f(x)=2cos2xsin+sin 2xcos-sin 的图象向左平移6个单位长度后,与函数 g(x)=cos x-3 的图象重合,则 的值可能为()A.0B.-3C.-6D.2311.(2022广东茂名模拟)我国古代
5、著名的数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”,根据面积关系给出了勾股定理的证明,后人称其为“赵爽弦图”.如图 1,它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.我们通过类比得到图 2,它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形ABC拼成的一个大等边三角形 ABC.对于图 2,下列结论错误的是()图 1图 2A.这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B.若 BB=3,sinABB=5314,则 AB=2C.若 AB=2AB,则 AB=5BBD.若 A是 AB的中点,则三角形 ABC 的面积是三角形 ABC面积的 7 倍二、填空题12.(2022广东湛江二模)若 tan(-)=32
6、,tan=2,则 tan=.13.若函数 f(x)=sin(x+)+cos x 的最大值为 2,则常数 的一个取值为 .14.设锐角ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 B=2A,则+的取值范围是 .15.(2022河北保定一模)已知定义在 x-34,4上的函数 f(x)=sin(+4)+sin 2x 在 x=处取得最小值,则最小值为 ,此时 cos=.考点突破练 2 三角恒等变换与解三角形1.D 解析:原式=cos2 12-cos22 12=cos2 12-sin2 12=cos6=32.2.A 解析:因为 sin(+4)=-32,所以 sin 2=-cos 2+2=-c
7、os 2(+4)=2sin2(+4)-1=2(-32)2-1=12.3.C 解析:因为三条高线的长度为 3 cm,4 cm,6 cm,故三边之比为 432,设最大边所对的角为,则 cos=4+9-16223=-140,由余弦定理可得 cos B=2+2-22=2+88=8+128 1=22,当且仅当 x=22时,等号成立,因为 0B,则 0B,则 ab,因此 sin Asin B,A 错误;对于选项 B,若 sin2A=sin 2B,则 2A=2B 或 2A+2B=,即 A=B 或 A+B=2,所以ABC 为等腰三角形或直角三角形,B错误;对于选项 C,若 a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理
8、可知ABC 一定为直角三角形,C 正确;对于选项 D,若三角形的三边满足 a2+b2c2,由余弦定理可知 cos C0,仅可得 C 为锐角,最大角是否为钝角不确定,D 错误.10.C 解析:f(x)=(1+cos 2x)sin+sin 2xcos-sin=cos 2xsin+sin 2xcos=sin(2x+),将 f(x)的图象向左平移6个单位长度得 y=sin 2 x+6+=sin 2x+3+的图象,与函数 g(x)=cos x-3的图象重合,故=2,若 g(x)=cos(2-3)=sin(2-3+2)=sin(2+6),3+=6+2k,=2k-6(kZ),结合选项,=-6符合.若 g(x
9、)=cos(-2-3)=cos(2+3)=sin 2x+3+2=sin 2x+56,3+=56+2k,=2k+2(kZ),无符合条件的选项.故选 C.11.C 解析:对于 A 选项,根据题意,图 2 是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形 ABC拼成的一个大等边三角形 ABC,故 AA=BB,ABBB,所以这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形,故 A 选项正确;对于 B 选项,由题知,在ABB中,BB=3,sinABB=5314,ABB=120,所以 sinBAB=sin(60-ABB)=3314,所以由正弦定理得sin=sin,解得 AB=5,因为 BB=AA=3,所以 AB=2,故
10、 B选项正确;对于 C 选项,不妨设 AB=2AB=2,AA=x,所以在ABB 中,由余弦定理得|AB|2=|AB|2+|BB|2-2|AB|BB|cosABB,代入数据得 AA=x=5-12,所以 AB=AA+AB=1+5-12=5+12,BB=AA=5-12,所以=5+15-1,故 C 选项错误;对于 D 选项,若 A是 AB的中点,则 SABB=12BBABsin 120=BCABsin 60=2SABC,所以SABC=3SABB+SABC=7SABC,故 D 选项正确.12.-74 解析:因为 tan(-)=32,tan=2,所以 tan=tan(-)+=tan(-)+tan1-tan
11、(-)tan=32+21-322=-74.13.2 答案不唯一,=2k+2,kZ 均可 解析:因为 f(x)=cos sin x+(sin+1)cosx=cos 2+(sin+1)2sin(x+),所以cos 2+(sin+1)2=2,解得 sin=1,故可取=2.14.(2+1,3+2)解析:因为 B=2A,则 sin B=sin 2A=2sin Acos A,cos B=cos 2A=2cos2A-1,又 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,故由正弦定理可得+=sin+sinsin=2cos A+cos B+cossinsin=2cos A+cos B
12、+2cos2A=2cosA+2cos2A+2cos2A-1=4cos2A+2cos A-1.又ABC 为锐角三角形,故可得 A(0,2),B=2A(0,2),C=-3A(0,2),解得 A(6,4),则 cos A(22,32),故 4cos2A+2cos A-1(2+1,3+2),即+(2+1,3+2).15.-98 30-28 解析:因为 x-34,4,则 x+4 -2,2,令 t=sin(+4)-1,1,则 t=22(sin x+cosx),t2=12(1+2sin xcos x)=12(1+sin 2x),则 sin 2x=2t2-1,所以 f(x)=t+2t2-1=2t2+t-1,所以当 t=-14时,函数y=2t2+t-1 取得最小值,即 ymin=18 14-1=-98,此时 sin(+4)=-14,由已知+4 -2,2,
