1、第七节 数学归纳法 数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)证明当n取_时命题成立，这一步是归纳奠基.(2)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立，这一步是归纳递推.完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.第一个值n0(n0N*)n=k+1 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式，用数
2、学归纳法证明时，由nk 到 nk1时，项数都增加了一项.()(5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”，验证n=1时，左边式子应为1+2+22+23.()【解析】(1)错误.用数学归纳法证明时，第一步是验证当n取 第一个可取值时结论成立，第一个可取值不一定是1.(2)错误.例如，证明等式 时，也可直接运用等比数列的求和公式证明.(3)错误.用数学归纳法证明问题时，归纳假设必须用上，否则 就不是用数学归纳法证明.(4)错误.用数学归纳法证明时，由nk 到 nk1时项数不 一定都增加了一项.(5)正确.当n=1时左边式子一共有4项，为1+2+22+23.答案:(1)(2)(
3、3)(4)(5)23nn11111()()()1()(nN*)22222 1用数学归纳法证明3nn3(n3,nN)时，第一步应验证当n取何值时成立()(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】选C.由已知条件n3,nN知，应验证当n=3时不等式成立.2.若 则f(1)为()(A)1 (B)(C)1+(D)【解析】选D.f(1)=111f n1nN*235n1，111123414141111.2343用数学归纳法证明：时，在第二步证明从 nk 到 nk1 成立时，左边增加的 项数是()(A)2k (B)2k-1 (C)2k-1 (D)2k+1【解析】选A.增加的项数为(2k+1-1)-(2k
4、-1)=2k，故选A.*n1111 n(nNn1)2321且4用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN*)，由n=k到n=k+1时，等式左边的变化 是()(A)多乘了(2k+1)(B)多乘了2(2k+1)(C)多乘了(2k+1)(2k+2)(D)多乘了2(k+1)【解析】选B.当n=k时，左边=(k+1)(k+2)(k+k),当n=k+1时，左边=(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)=(k+2)(k+3)(k+k)(2k+1)(2k+2)=(k+1)(k+2)(k+k)=(k+1)(k+2)(k+k)2(2k+1),所以多乘了2(2k+1).
5、2k1 2k2k15在数列an中，a1 且Sn=n(2n-1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式，其结果是_.【解析】由a1 且Sn=n(2n-1)an得，a2 ，a3 ，a4 ，而 可得 答案:1313115135163123411111111a,a,a,a,31 3153 5355 7637 9n1a.2n1 2n1n1a2n1 2n1考向1 用数学归纳法证明等式【典例1】(2012天津高考)已知an是等差数列，其前n项和为Sn，bn是等比数列，且a1=b1=2，a4+b4=27，S4-b4=10.(1)求数列an与bn的通项公式.(2)记Tn=anb1+an-1b2+a1bn
6、(nN*)，证明Tn+12=-2an+10bn(nN*).【思路点拨】(1)第一问可分别求出公差和公比即得通项公式.(2)第二问可用数学归纳法证明等式成立.【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的 公比为q，由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d,由条件得方程组：an=3n-1,bn=2n(nN*).(2)下面用数学归纳法证明等式Tn+12=-2an+10bn(nN*)成立.当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，而-2a1+10b1=16,故等式成立；3323d2q2786d2q10 ,d3q2 ,.假设当n=k(k1,且kN*)时等式成立，
7、即Tk+12=-2ak+10bk,则当n=k+1时有：Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+a1bk+1=ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+a1bk)=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24=-2ak+1+10bk+1-12.即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.因此n=k+1时等式也成立.由和可知，对任意nN*,Tn+12=-2an+10bn(nN*)成立.【拓展提升】用数学归纳法证明等式的注意点(1)明确等式两边项的构成规律，弄清由n=k到n=k+1时左边的项是如何变化的，由此明确变形
8、的目标.(2)注意合理利用恒等变形的常用方法.例如,因式分解、添拆项、配方等.【变式训练】是否存在常数a，b，c，使等式122232 n(n1)2 (an2bnc)对一切正整数n都成 立？证明你的结论 n(n1)12【解析】把n1，2，3代入等式得方程组 解得 猜想：等式122232n(n1)2 (3n211n10)对一切nN*都成立 abc24,4a2bc44,9a3bc70,a3,b11,c10.n(n1)12下面用数学归纳法证明：(1)当n1时，由上面可知等式成立(2)假设nk(k1,kN*)时等式成立，即122232k(k1)2 (3k211k10)，则当nk+1时，122232k(k
9、1)2(k1)(k2)2 (3k211k10)(k1)(k2)2 (3k5)(k2)(k1)(k2)2 k(k1)12k(k1)12k(k1)12 当 nk1 时，等式也成立 综合(1)(2)，对nN*等式都成立(k1)k2 k 3k512(k2)12 2(k1)k2 3 k111 k110,12考向2 用数学归纳法证明不等式【典例2】由下列不等式：你能得到一个怎样的一般不等式？并加 以证明.11111131,11,1,223237211112,2315【思路点拨】观察所给出的不等式，其左边是若干个分式相 加，分子都是1，分母由1开始，每一项比前一项大1，最后一 项是2n-1，因此左边的式子为
10、 不等式的右 边是一个分数，依次为 由此可得到一般的不等 式.证明可采用数学归纳法.n1111,23211 2 3 4n,2 2 2 22，【规范解答】根据给出的几个不等式可以猜想第n个不等式，即一般不等式为 用数学归纳法证明如下：(1)当n=1时，1 ,猜想成立.(2)假设当n=k(k1,kN*)时，猜想成立，即 则当n=k+1时，*n111n1nN.2321212k111k1,23212kkkk 11111111232122121kkkk 1k 1k111k2k1,222121222即当n=k+1时，猜想也成立，所以对任意的nN*，不等式都成立.【拓展提升】用数学归纳法证明不等式的注意问题
11、(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法.(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.【变式训练】求证：*1115(n2nN)n1n23n6，【证明】(1)当n2时，左边 不等式成立(2)假设nk(k2，kN*)时命题成立，即 则当nk1时，当nk1时不等式亦成立 原不等式对一切n2，nN*均成立 1111534566,1115k1k23k6，111111k11k123k3k13k23(k1)11111115()k1k23k3k13k23k3
12、k16 111151153.3k13k23k3k163k3k16()()【备选考向】归纳、猜想、证明 【典例】在数列an中，a1=2,an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*,0).(1)求a2，a3，a4.(2)猜想an的通项公式，并加以证明.【思路点拨】利用递推公式将n=1,2,3代入即可求得a2，a3，a4，然后再用数学归纳法证明猜想成立.【规范解答】(1)a222(2)2222，a3(222)3(2)222323，a4(2323)4(2)233424.(2)由(1)可猜想数列通项公式为：an=(n-1)n+2n.下面用数学归纳法证明：当n1时，a12，等式成立 假设当nk(k1,k
13、N*)时等式成立，即ak=(k-1)k+2k，那么当n=k+1时，ak+1=ak+k+1+(2-)2k=(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k=(k+1)-1k+1+2k+1,即当nk1时等式也成立，根据和可知，等式对任何nN*都成立【拓展提升】解“归纳猜想证明”题的关键环节(1)准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础.(2)通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论.(3)对一般结论用数学归纳法进行证明.【变式训练】数列an中，求a3,a4,猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想.n12n 1nn1 a1a1,a,an24na且，【解析】因为a1=1，a2=，且 所以 同理可
14、求得 归纳猜想 下面用数学归纳法证明猜想正确.(1)当n=1时，易知猜想正确.(2)假设当n=k(k1,kN*)时，猜想正确，即 那么当n=k+1时，14nn 1nn1 aan2na，2321a14a12a724，41a,10n1a.3n2k1a,3k2 即当n=k+1时，猜想也正确.由(1)(2)可知，猜想对任意正整数都正确.kk 1k1(k1)k1 a3k2a1kak3k222k1k1k13k23k2k13k2k13k1(k1)3k211.3k13 k12【备选考向】用数学归纳法证明整除问题【典例】用数学归纳法证明：(3n+1)7n-1(nN*)能被9整除.【思路点拨】在第二步证明中，注意
15、利用归纳假设，对n=k+1时的式子进行合理变形.【规范解答】(1)当n=1时，(31+1)7-1=27能被9整除，命题成立；(2)假设当n=k(kN*,k1)时命题成立，即(3k+1)7k-1能被9整除，则当n=k+1时，3(k+1)+17k+1-1=(3k+1)7k+1-1+37k+1=(3k+1)7k-1+6(3k+1)7k+37k+1=(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k.由于(3k+1)7k-1和9(2k+3)7k都能被9整除，所以(3k+1)7k-1+9(2k+3)7k能被9整除，即当n=k+1时，命题也成立，故(3n+1)7n-1(nN*)能被9整除.【拓展提升】证明整除问题的
16、关键“凑项”证明整除问题的关键是“凑项”，即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形，从而利用归纳假设使问题获证.【变式训练】用数学归纳法证明42n+1+3n+2能被13整除，其中n为正整数.【证明】(1)当n=1时，421+1+31+2=91能被13整除.(2)假设当n=k(k1,kN*)时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，方法一：42(k+1)+1+3k+3=42k+142+3k+23-42k+13+42k+13=42k+113+3(42k+1+3k+2).42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除,42(k+1)+
17、1+3k+3能被13整除.方法二：42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2)=(42k+142+3k+23)-3(42k+1+3k+2)=42k+113,42k+113能被13整除，42(k+1)+1+3k+3-3(42k+1+3k+2)能被13整除，即42(k+1)+1+3k+3能被13整除,当n=k+1时，命题也成立,由(1)、(2)知，对任意nN*，42n+1+3n+2都能被13整除.【易错误区】未运用归纳假设致误【典例】用数学归纳法证明：【误区警示】本题错误在于证明当n=k+1等式也成立这一步骤 时，没有运用归纳假设，而是直接利用等比数列的前n项和公 式求得 这是错误的.
18、n*23n111111()nN.22222 23kk 1k 11111111222222【规范解答】当n=1时，左边=，右边 等式成立.假设当n=k(k1,kN*)时，等式成立，即 则当n=k+1时，即当n=k+1时，等式也成立.由知，等式对nN*成立.121111()22，k23k111111(),22222 23kk 11111122222 kk 1kk 111111()12222 k 1k 1k 121111222 【思考点评】数学归纳法证题的关注点 在运用数学归纳法证明问题时，两个步骤缺一不可，尤其是在证明第二步时，一定要运用归纳假设，即运用当n=k时得到的结论，去证明当n=k+1时命
19、题的正确性，否则，若没有运用归纳假设，即使证明出当n=k+1时结论成立，也不是利用数学归纳法证明问题，这种证法是错误的.1.(2013广州模拟)用数学归纳法证明123n2 则当nk1时左端应在nk的基础上加上式子()(A)k21(B)(k1)2(C)(D)(k21)(k22)(k1)2 42nn2，42k1k12【解析】选D.当n=k时，左端=1+2+3+k2,当n=k+1时，左端=1+2+k2+(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2，因此应在n=k的基础上加上式子(k2+1)+(k2+2)+(k+1)2.2.(2013九江模拟)用数学归纳法证明34n+1+52n+1(nN*)能被8整除时，
20、当n=k+1时，对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为()(A)5634k+1+25(34k+1+52k+1)(B)3434k+1+5252k(C)34k+1+52k+1(D)25(34k+1+52k+1)【解析】选A.当n=k时，34k+1+52k+1能被8整除，那么当n=k+1时，34k+5+52k+3=52(34k+1+52k+1)-5234k+1+34k+5=(34-52)34k+1+52(34k+1+52k+1)=5634k+1+25(34k+1+52k+1),故选A.3.(2013江门模拟)凸n边形有f(n)条对角线，凸(n+1)边形有f(n+1)条对角线，则()(A)
21、f(n+1)=f(n)+n+1(B)f(n+1)=f(n)+n(C)f(n+1)=f(n)+n-1(D)f(n+1)=f(n)+n-2【解析】选C.凸n边形有f(n)条对角线，当边数增加1时，所得凸(n+1)边形的对角线由三部分构成：原来的f(n)条、原来的一条边变成了对角线、新增加的顶点和原来的(n-2)个顶点构成(n-2)条对角线，所以凸(n+1)边形有对角线f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1(条).1.已知f(n)=12+22+32+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的关系 是()(A)f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2(B)f(k+1)=f(k)
22、+(k+1)2(C)f(k+1)=f(k)+(2k+2)2(D)f(k+1)=f(k)+(2k+1)2【解析】选A.由已知可得 f(k)=12+22+32+(2k)2,f(k+1)=12+22+32+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2，于是f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2.2.若不等式 对一切正整数n都 成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论.1111an1n2n33n124【解析】取n=1，则有 成立，所以 因此a26，此时取a=25，猜想正整数a的最大值等 于25.以下用数学归纳法证明：对一切正整数n都成立.当n=1时，已证结论成立；假设当n=k(k1,kN
23、*)时结论成立，即 111a2342426a2424，111125n1n2n33n124111125k1k2k33k124则当n=k+1时，由于 所以 1111(k1)1(k1)2(k1)33(k1)111111111()k1k2k33k13k23k33k4k125112,243k23k43(k1)26 k1113k23k49k18k8226 k16 k12,9k18k93 k19 k11120,3k23k43 k1于是 即当n=k+1时，结论也成立，由知对一切正整数n,都有 .故正整数a的最大值等于25.111125(k1)1(k1)2(k1)33(k1)124111125n1n2n33n124
