1、十三 简单的幂函数 【基础全面练】(20 分钟 35 分)1设 1,1,12,3,则使函数 yx 的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值为()A1,1,3 B12,1C1,3 D1,3【解析】选 D.当 1 时,函数的定义域为x|x0,不满足定义域为 R;当 1 时,函数 yx 的定义域为 R 且为奇函数,满足要求;当 12 时,函数的定义域为x|x0,不满足定义域为 R;当 3 时,函数 yx 的定义域为 R 且为奇函数,满足要求【补偿训练】已知幂函数 yf(x)的图像过点12,22,则 f(2)的值为()A 2 B 2 C2 D2【解析】选 A.设幂函数 f(x)x,则12 221212,
2、解得 12,所以 f(x)x12,所以 f(2)212 2.2.下列函数中是奇函数的是()Af(x)4x4Bf(x)5x7Cf(x)|x|3 Df(x)x1【解析】选 B.由奇、偶函数的定义得 f(x)4x4 为偶函数,f(x)5x7为奇函数,f(x)|x|3 为偶函数,f(x)x1 为非奇非偶函数3已知幂函数 f(x)(m23m3)xm1 为偶函数,则 m()A1 B2 C1 或 2 D3【解析】选 A.因为幂函数 f(x)(m23m3)xm1 为偶函数,所以 m23m31,即 m23m20,解得 m1 或 m2.当 m1 时,幂函数 f(x)x2 为偶函数,满足条件当 m2 时,幂函数 f
3、(x)x3 为奇函数,不满足条件4已知 f(x)是偶函数,当 x0 时,f(x)x(x1),则 f(2)_【解析】由偶函数的定义可得:f(2)f(2)2(21)2.答案:25若函数 f(x)(k2)x2(k1)x3 是偶函数,则 k_,f(x)的递减区间是_【解析】函数 f(x)是偶函数,则根据偶函数的定义可知 f(x)f(x),即(k2)x2(k1)x3(k2)(x)2(k1)(x)3,化简可得 2(k1)x0,故 k1,代入函数解析式可得 f(x)x23,故该二次函数图像开口向下,对称轴为 x0,所以递减区间为0,).答案:1 0,)6已知函数 f(x)x22|x|.(1)判断并证明函数的
4、奇偶性(2)判断函数 f(x)在(1,0)上的单调性并加以证明【解析】(1)函数 f(x)是偶函数因为函数 f(x)的定义域是 R,f(x)(x)22|x|x22|x|f(x),所以函数 f(x)是偶函数(2)函数 f(x)在(1,0)上是增加的证明:当 x(1,0)时,f(x)x22x.设1x1x20,则 x1x20,且 x1x22,即 x1x220.因为 f(x1)f(x2)(x21 x22)2(x1x2)(x1x2)(x1x22)0,所以 f(x1)f(x2).所以函数 f(x)在(1,0)上是增加的【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 25 分)1如图,
5、图中曲线是幂函数 yx 在第一象限的大致图像已知 取2,12,12,2 四个值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 的值依次为()A.2,12,12,2 B2,12,12,2C12,2,2,12 D2,12,2,12【解析】选 B.在第一象限内,在直线 x1 的右侧,yx 的图像由上到下,指数 由大变小2已知 f(x)ax7bx5cx32 且 f(5)m,则 f(5)f(5)的值为()A4 B0 C2m Dm4【解析】选 A.由已知,得 f(x)f(x)4,故 f(5)f(5)4.3已知函数 yf(x)是偶函数,yf(x2)在0,2上是减少的,则()Af(1)f(2)f(0)Bf(1)f
6、(0)f(2)Cf(0)f(1)f(2)Df(2)f(1)f(0)【解析】选 C.因为 yf(x2)在0,2上是减少的,令 tx2,则 t2,0,即 f(t)在2,0上是减少的所以 yf(x)在2,0上是减少的因为函数 yf(x)是偶函数,所以 yf(x)在0,2上是增加的,因为函数 f(1)f(1),则 f(0)f(1)f(2).4设 yf(x)和 yg(x)是两个不同的幂函数,集合 M(x,y)|f(x)g(x),则集合 M 中元素的个数为()A1 或 2 或 0 B1 或 2 或 3C1 或 2 或 3 或 4 D0 或 1 或 2 或 3【解析】选 B.取 f(x)x13,g(x)x3
7、,由 x13 x3,可得 x0 或 x1 或 x1,故 M(x,y)|x13x3(0,0),(1,1),(1,1);取 f(x)x12,g(x)x3,由 x12 x3 可得 x0 或 1,故 M(x,y)|x12x3(0,0),(1,1);取 f(x)x2,g(x)x3,由 x2x3 可得 x1,故 M(x,y)|x2x3(1,1).因为对任意幂函数的图像必过(1,1)点,故(1,1)M,任意两个幂函数的图像不可能有 4 个交点,故 M 中元素的个数为 1 或 2 或 3.5若函数 f(x)(m26m9)xm23m1 是幂函数且为奇函数,则 m 的值为()A2 B3 C4 D2 或 4【解析】
8、选 D.由题意,函数 f(x)(m26m9)xm23m1 是幂函数,可得 m26m91,解得 m2 或 m4.当 m2 时,函数 f(x)x11x,此时函数 f(x)为奇函数,满足题意;当 m4 时,函数 f(x)x5,此时函数 f(x)为奇函数,满足题意【光速解题】本题可以直接将选项中的 2,3,4 代入验证二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)6已知幂函数 f(x)xm22m3(mZ)为偶函数,且在(0,)上是减少的,则f(x)的解析式为_.【解析】因为 f(x)在(0,)上是减少的,故 m22m30,所以1m3.因为 m是整数,故 m0,1,2.当 m0 时,f(x)x3 为奇函数,
9、舍去;当 m1 时,f(x)x4 为偶函数,符合;当 m2 时,f(x)x3 为奇函数,舍去答案:f(x)x47设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 yf(x)的图像关于直线 x12 对称,则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_【解析】由函数 f(x)是 R 上的奇函数,得 f(0)0,因为 f(x)的图像关于直线 x12 对称,所以 f(x)f(1x),所以 f(1)f(0)0,f(2)f(1)f(1)0,f(3)f(2)f(2)0,f(4)f(3)f(3)0,f(5)f(4)f(4)0,所以 f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.答案:08已知偶函数 f(x)在0,)上
10、递减,且 f(4)5,若 f(2x1)5,则 x 的取值范围是_.【解析】因为 f(x)是偶函数,所以 f(2x1)f(|2x1|),又 f(x)在0,)上递减,且 f(4)5,所以 f(2x1)5 等价于 f(|2x1|)4,解得 x32,即 x 的取值范围为,5232,.答案:,5232,三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)9已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x0 时,f(x)x(1x).(1)求 f(x)的解析式;(2)画出 f(x)的图像【解析】(1)因为 x0 时,f(x)x(1x),所以当 x0,所以 f(x)x(1x).又因为 f(x)为奇函数,所以 f(x
11、)f(x),所以f(x)x(1x),所以 f(x)x(1x),综上 f(x)x(1x),x0,x(1x),x0.(2)f(x)的图像如图所示10已知函数 f(x)axbx21,aR,bR 是定义在(1,1)上的奇函数,且 f 1225.(1)求 f(x)的解析式(2)判断 f(x)在(1,1)上的单调性,说明理由(3)解不等式 f(t1)f(t)0.【解析】(1)依题意,得 f(0)b0,f1212ab5425,得b0,a1,所以 f(x)xx21.(2)f(x)在(1,1)上是增加的,理由如下:设任意 x1,x2(1,1),且 x1x2,则 f(x1)f(x2)x1x21 1 x2x22 1
12、(x1x2)(1x1x2)(x21 1)(x22 1),因为1x1x21,所以 x1x20,1x1x20,(x21 1)(x22 1)0,所以 f(x1)f(x2)0,所以 f(x)在(1,1)上是增加的(3)不等式 f(t1)f(t)0即 f(t1)1,t1t,t1,解得 0t0 的解集为()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2【解析】选 B.当 x0 时,令 f(x)2x40,所以 x2.又因为函数 f(x)为偶函数,所以 f(x)0 的解集为x|x2将函数 yf(x)的图象向右平移 2 个单位长度,即得函数 yf(x2)的图象,故f(x2)0 的解集为x|x42已知 f(x)在a
13、,b上是奇函数,且 f(x)在a,b上的最大值为 m,则函数 F(x)f(x)3 在a,b上的最大值与最小值之和为_【解析】因为奇函数 f(x)在a,b上的最大值为 m,所以它在a,b上的最小值为m,所以函数 F(x)f(x)3 在a,b上的最大值与最小值之和为(m3)(m3)6.答案:6【补偿训练】已知 f(x)是定义在(2,2)上的奇函数且在(2,2)上是减少的,若 f(m1)f(12m)0,求实数 m 的取值范围【解析】由题意知2m12,212m2,解得12 m32.由函数 f(x)是定义在(2,2)上的奇函数及 f(m1)f(12m)0,得 f(m1)f(2m1).因为函数 f(x)在(2,2)上是减少的,所以 m12m1,解得 m0,所以实数 m 的取值范围是0,32.