1、1第二节二项式定理1二项式定理(1)定理：(ab)nC0nanC1nan1bCrnanrbrCnnbn(nN*)(2)通项：Tr1Crnanrbr 为展开式的第 r1 项(3)二项式的通项易误认为是第 r 项，实质上是第 r1 项(4)(ab)n 与(ba)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒(1)若二项式x2xn 展开式中的第 5 项是常数，则自然数 n 的值为()A6 B10 C12 D15【答案】C【解析】由二项式x2xn 展开式的第 5 项 C4n(x)n42x416C4n62nx 是常数项，可得n260，解得
2、n12故选 C【点睛】考查二项展开式的项数及常数项的求法，属于基础题(2)190C110902C210903C310(-1)k90kCk109010C1010 除以 11 的余数是()A0 B1 C5 D9【答案】B【解析】原式(190)108910(881)108810C110889C910881，前 10 项均能被 11 整除，余数是 1故选 B【点睛】考查二项展开式的逆用以及利用数的整除特征求余数的方法，属于基础题(3)412xx8 的展开式中的有理项共有_项【答案】3【解析】Tr+1Cr8(x)8r412 xr12rCr81634rx，r 为 4 的倍数，故 r0,4,8 共 3 项【
3、点睛】考查二项展开式有理项的求法，属于基础题(4)将11x2 n(nN*)的展开式中 x4 的系数记为 an，则1a2 1a3 1a2 018_【答案】2 0171 009【解析】将11x2 n(nN*)的展开式中 x4 的系数记为 an，则 anC2nnn12，2 1a2 1a3 1a2 0182112121312 01712 018 2 0171 009【点睛】考查二项展开式特定项系数和组合数公式以及数列的裂项求和，难度一般(5)若21xxn 展开式中第三项与第五项的系数之比为 314，则展开式中常数项是()A-10B10 C-45D45【答案】D【解析】因为展开式的通项公式为 Tr1Cr
4、n(x2)nr(-1)r2rx Crn(-1)r522rnx，所以C2nC4n 314，n10，Tr1Cr10(-1)r5202rx，令 2052r0，r8常数项为 T9C810(-1)845故选 D【点睛】考查二项展开式的项数和组合公式以及特定项的系数，难度一般(6)若1xx x n 展开式中含有 x2 项，则 n 的最小值是()A15 B8C7 D3【答案】D【解析】1xx x n 的展开式的通项是 Tr+1Crn 1xnr(-x x)rCrn(-1)r52 rnx 令52rn2，即 r2n25有正整数解；又 2 与 5 互质，因此 n2 必是 5 的倍数，即 n25k，n5k2，n 的最
5、小值是 3故选 D【点睛】考查二项展开式的特定项系数以及数整除的特征，难度中等(7)已知 aN，二项式xa1x6 的展开式中含 x2 的系数不大于 240，记 a 的取值集合为 A，则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共有_个【答案】18【解析】xa1x6 的展开式的通项公式为 Tr1Cr6(a1)rx62r，令 62r2，求得 r2，含 x2 的系数为 C26(a1)215(a1)2，15(a1)2240，求得-5a3aN，可得 a0,1,2,3，即 A0,1,2,3，则由集合 A 中元素构成的无重复数字的三位数共有 A13A2333218 个【点睛】考查二项展开式的特定项的系数以及
6、排列问题，难度中等32形如(ab)m(cd)n 的展开式问题(1)若 n,m 中一个比较小，可考虑把它展开，如(ab)2(cd)m(a22abb2)(cd)m，然后展开分别求解(2)观察(ab)(cd)是否可以合并，如(1x)5(1x)7(1x2)5(1x)2(3)分别得到(ab)n，(cd)m 的通项公式，综合考虑(1)(12x)2(1x)5 的展开式中，含 x4 项的系数为()A-5 B5C10 D25【答案】B【解析】(12x)2(1x)5(14x4x2)(1x)5(1x)54x(1x)54x2(1x)5，含 x4 项的系数为 C45(-1)44C35(-1)34C25(-1)25故选
7、B【点睛】考查(ab)m(cd)n 展开多项式求特定项的求法，属于基础题(2)(x1)4(x1)4(x21)5 的展开式中，含 x6 项的系数为()A20 B12 C8 D4【答案】D【解析】(x1)4(x1)4(x21)5(x21)4(x21)5(x41)4(x21)x2(x41)4(x41)4，故含 x6 项的系数为 C144故选 D【点睛】考查(ab)m(cd)n 多项式合并及展开求特定项的求法，难度一般(3)(1x)8(1y)4 的展开式中 x2y2 的系数是()A56B84 C112D168【答案】D【解析】(1x)8 的展开式中 x2 的系数为 C28，(1y)4 的展开式中 y2
8、 的系数为 C24，所以 x2y2 的系数为 C28C24168故选 D【点睛】考查(ab)m(cd)n 综合考虑求特定项的求法，属于基础题(4)已知(x1)6(ax1)2 的展开式中，x3 的系数为 56，则实数 a 的值为()A6 或-1 B-1 或 4 C6 或 5 D4 或 5【答案】A【解析】因为(x1)6(ax1)2(x1)6(a2x22ax1)，所以(x1)6(ax1)2 的展开式中 x3 的系数是 C36C26(-2a)C16a26a230a20，4所以 6a230a2056，解得 a6 或-1故选 A【点睛】考查(ab)m(cd)n 展开多项式求特定项系数参数的求法，难度一般
9、(5)(x2y)(2xy)5 的展开式中 x3y3 的系数为()A-200B-120 C120D200【答案】A【解析】(x2y)(2xy)5x(2xy)52y(2xy)5，(2xy)5 展开式的通项为为 Tr1Cr5(2x)5r(-y)r，T4C35(2x)2(-y)3-40 x2y3，T3C25(2x)3(-y)280 x3y2，(x2y)(2xy)5 的展开式中 x3y3 的系数为-40280-200故选 A【点睛】考查(ab)m(cd)n 展开某多项式以及综合考虑求特定项的求法，难度一般(6)若(1x)21xxn(nN*，n10)的展开式中没有常数项，则 n 的最大值是()A6 B7
10、C8 D9【答案】B【解析】21xxn 展开式的通项为 Tk+1Cknxnk21xkCknxn3k，(nN*，kN)，所以 n3k 既不能取到 0，也不能取到-1，且 n9，k9，kn，n9 不符合题意，n8 不符合题意，n7 符合题意，故 n 的最大值是 7故选 B【点睛】考查(ab)m(cd)n 展开多项式以及综合考虑求特定项的求法，对学生的分析能力要求较高，难度中等3形如(abc)n 的展开式问题(1)把三项的和 abc 看作(ab)与 c 两项的和，要根据所求找出最佳组合方式；(2)根据二项式定理求出(ab)cn 的展开式的通项；(3)对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(ab)nr
11、 展开式中的哪些项和 cr 相乘得到的；(4)把相乘后的项相加减即可得到特定项(5)某些题也可以通过排列组合求得特定项系数，会大大简化计算，要学会观察(1)(x3y1)6 的展开式中含 x3y 项的系数为()A150 B180C-120 D-180【答案】D5【解析】(x3y1)6(x3y)16 展开式通项为 Tr1Cr6(x3y)6r1rCr6(x3y)6r，6r4，r2，T3C26(x3y)4，(x3y)4 展开式通项为 Tr1Cr4x4r(-3y)r，故 r1，故(x3y1)6 的展开式中含 x3y 的系数为-3C26C14-180，故选 D【点睛】考查 abc)n 展开式中特定项系数的
12、求法，属于基础题(2)在202211xx 10 的展开式中，含 x2 项的系数为()A10B30 C45D120【答案】C【解析】202211xx 10 202211xx10(1x)10C110(1x)920221xC101020221x10，所以 x2 项只能在(1x)10 的展开式中，所以含 x2 的项为 C210 x2，系数为 C21045故选 C【点睛】考查(abc)n 特定项系数的求法，要求学生有一定的分析能力，难度一般(3)12xx 5 的展开式中常数项为_(两种解法)【答案】252【解析】解法一：12xx512xx5，展开式的通项 Tr+1Cr525r1xxr，又1xxr 的展开
13、式的通项 Rm+1Cmr(x1)mxrmCmr xr2m，令 r2m0，得 r2m，0r5，0m2，当 m0,1,2 时，r0,2,4，故常数项为 C0525C2523C12C452C24252解法二：不妨设 x0，则12xx51xx10，展开式通项为 Tr1Cr10 x10r1xrCr10 x5r，令 5r0，则 r5，故常数项为 C510252【点睛】考查(abc)n 特定项的求法，对学生的分析能力要求较高，难度中等(4)2x1x1 5 的展开式中常数项是_【答案】-1616【解析】由2x1x1 512x1x5，则其通项公式为(-1)5rCr52x1xr(0r5)，其中2x1xr 的通项公
14、式为 Ctr2rtxr2t(0tr)令 r2t0，得r0，t0或r2，t1或r4，t2，所以常数项为：(-1)5C05(-1)3C252C12(-1)1C4522C24-161【点睛】考查(abc)n 特定项的求法，对学生的分析能力要求较高，难度中等(5)(x22x3y)5 的展开式中 x5y2 的系数为()(两种解法)A180B360 C450D540【答案】D【解析】解法一：(x22x3y)5 展开式的通项为Tr1Cr5(x22x)5r(3y)r3rCr5(x22x)5ryr，令 r2，则 T39C25(x22x)3y2，又(x2x)3 的展开式的通项为 Ck3(x2)3k(2x)k2kC
15、k3x6k，令 6k5，则 k1，所以(x22x3y)5 的展开式中，x5y2 的系数为 92C25C13540，故选 D解法二：(x22x3y)5 可看作 5 个(x22x3y)相乘,从中选 2 个 y，有 C25种选法；再从剩余的三个里边选出 2 个 x2，最后一个选出 x，有 C23种选法；所以 x5y2 的系数为 92C25C13540【点睛】考查(abc)n 特定项系数的求法，难度一般(6)已知(1xmx2)6 展开式中 x4 的系数小于 90，则实数 m 的取值范围为()A(-，-5)(1，+)B(-5，1)C(-，-55 3)(-55 3，+)D(-55 3，-55 3)【答案】
16、B【解析】(1xmx2)6(1x)mx26，展开式的通项为 Tr+1Cr6(1x)6r(mx2)r，r0 时，(1x)6 展开式中含 x4 的系数为 C4615；r1 时，(1x)5 展开式中含 x2 的系数为 C2510，C166；r2 时，(1x)4 展开式中常数项为 1，C2615；故(1xmx2)6 展开式中 x4 的系数为 1560m15m2，1560m15m290，即 m24m50，解得-5m1，故选 B【点睛】考查根据(abc)n 展开式中特定项系数求参数的取值范围，难度中等7(7)(xy)(x2yz)6 的展开式中，x2y3z2 的系数为()A-30B120 C240D420【
17、答案】B【解析】(xy)(x2yz)6x(x2yz)6y(x2yz)6，(x2yz)6(x2y)z6，展开式的通项为 Tr+1Cr6(x2y)6rzr，令 r2，即 T3C26(x2y)4z215(x2y)4z2；(x2y)4 展开式中 xy3 的系数为 C342332，x2y2 的系数为 C242224，故(xy)(x2yz)6 的展开式中，x2y3z2 的系数为 15(3224)120故选 B【点睛】考查 ab)m(cd)n 展开多项式以及(abc)n 特定项系数的求法，要求学生有一定的分析能力，难度中等4几项和的特定项系数特征分析法(1)求若干项和中 xn 的系数，只需分别求出每项中 x
18、n 的系数，相加即可(2)形如 xna0a1(xm)a2(xm)2an(xm)n，只需令 xxmm(1)在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8 的展开式中，含 x2 的项的系数是_【答案】74【解析】展开式中含 x3 项的系数为 C25(-1)2C26(-1)2C27(-1)2C28(-1)274【点睛】考查若干项和中 xn 的系数的求法，属于基础题(2)若 x10 x5a0a1(x1)a2(x1)2a10(x1)10，则 a5_【答案】251【解析】x10 x5(x1)110(x1)15，则 a5C510C052521251【点睛】考查将 xn 展开为 xm 的多项式系数的求法，属于基础
19、题(3)设 aZ，且 0a13，若 512022272022a 能被 13 整除，则 a()A0 B1 C2 D11【答案】D【解析】512022272022a(521)2022(261)2022a，只需 2a 能被 13 整除，又 0a13，故 a11，故选 D【点睛】考查利用数整除的余数特征以及特征分析法求特定项的方法，难度一般5二项式系数的性质(1)对称性：当 0mn 时，CmnCnmn(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减总项数为 n1：8当 n 为偶数时，第n21 项的二项式系数最大，最大值为2Cnn；当 n 为奇数时，第n12 项和第n32 项的二项式系数最大，最大值为12Cn
20、n或+12Cnn(3)二项式系数和：C0nC1nC2nCnn2n，C0nC2nC4nC1nC3nC5n2n1(1)已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3，ak(1k11，kN)是一个单调递增数列，则 k 的最大值是()A5B6 C11DC510【答案】B【解析】由二项式定理可知 anC11n10(n1,2,3,11)，由 C510为 C11n10中的最大值知，an 的最大值为 a6，即 k 的最大值为 6故选 B【点睛】考查二项式系数的单调和最值，属于基础题(2)已知(1x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则展开式的二项式系数和为()A2
21、12B211C210D29【答案】C【解析】(1x)n 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，C3nC7n，解得 n10展开式的二项式系数和为 C010C110C210C1010210故选 C【点睛】考查二项展开式的项数以及二项式系数的对称性，属于基础题(3)在二项式3142xxn 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为 128，则展开式的中间项的系数为_【答案】16【解析】由题意，2n1128，解得 n83142xx7 的展开式中，通项为 Tr+1Cr8(4x)8r312 x-rCr848r12-r48 3rx中间项为第 5 项，r4，所以展开式中间项的系数 C484412-416
22、【点睛】考查二项式的系数和以及二项展开式特定项的求法，属于基础题9(4)x2x2 n 的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A180 B90 C45 D360【答案】A【解析】依题意 n10，则x 2x2 10 的通项公式 Tr+1Cr10(x)10r 2x2 r2rCr10552rx令 552r0，得 r2展开式中的常数项 T322C210180故选 A【点睛】考查二项式系数的最值以及二项展开式特定项的求法，属于基础题(5)已知(1ax2)n(a，nN*)的展开式中第 3 项与第 4 项的二项式系数最大，且含 x4 的项的系数为 40，则 a 的值为【答案】2【解
23、析】由二项式系数的性质可得 n5，T r+1Cr515r(ax2)rCr5arx2r，由 2r4，得 r2，由 C25a240，得 a24，又 aN*，所以 a2【点睛】考查二项式系数的最值以及二项展开式特定项系数求参数，难度一般(6)设 m 为正整数，(xy)2m 展开式的二项式系数的最大值为 a，(xy)2m+1 展开式的二项式系数的最大值为 b，若 13a7b，则 m()A5B6 C7D8【答案】B【解析】根据二项式系数的性质知：(xy)2m 的二项式系数最大有一项，Cm2ma，(xy)2m+1 的二项式系数最大有两项，Cm2m1Cm12m1b又 13a7b，所以 13Cm2m7Cm12
24、m1，132m！m！m！72m1！m1！m！，解得 m6，经检验为原方程的解，故选 B【点睛】二项式系数的最值以及组合数公式，要求学生有一定的计算能力，难度中等6二项展开式中系数和的问题赋值法(1)形如(axb)n,(ax2bxc)m(a,b,cR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x1 即可(2)对形如(axby)n(a,bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 xy1 即可(3)若 f(x)a0a1xa2x2anxn，则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)奇数项系数之和为 a0a2a4f1f12，偶数项系数之和为 a1a3a5f1f1210(4)若 f(x)a0a
25、1xa2x2anxn，则 a12a23a3nanf(1)，注意没有 a0特别注意：看清题目问的是各项系数和还是二项式系数和(1)若(1x)(12x)7a0a1xa2x2a8x8，则 a1a2a7()A-2B-3 C125D-131【答案】C【解析】令 x1，则 a0a1a2a8-2，令 x0，则 a01又 a8C77(-2)7-128，所以 a1a2a7-21(-128)125故选 C【点睛】考查赋值法求二项展开式系数和以及二项展开式特定项系数，属于基础题(2)(ax)(1x)4 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a_【答案】C【解析】设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a
26、3x3a4x4a5x5令 x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5令 x1，得 0a0a1a2a3a4a5 得 16(a1)2(a1a3a5)232，a3【点睛】考查二项展开式中奇数项系数之和的求法，属于基础题(3)若(12x)2 016a0a1xa2 016x2 016(xR)，则a12 a222a2 01622 016的值为()A2 B0 C-1 D-2【答案】C【解析】在(12x)2 016a0a1xa2 016x2 016 中，令 x0，得(102)2 016a0，即 a01，令 x12，得12122 016a0a12 a222a2 01622 016，即 a0a12 a222a2
27、 01622 0160a01，a12 a222a2 01622 016-1，故选 C【点睛】考查赋值法求二项展开式系数和以及二项展开式特定项系数，对学生的分析能力有一定的要求，难度一般(4)x 3xn 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为 32:1，则 x2 的系数为()A50 B70 C90 D120【答案】C【解析】令 x1，则各项系数和为 4n，而二项式系数和为 2n，11则 4n:2n32:1，解得 n5x 3x5 展开式通项为 Tr1Cr5x5r3xr3rCr535 2rx，令 532r2，则 r2，故 x2 的系数为 9C2590故选 C【点睛】考查二项式系数和及赋值法求二项
28、展开式系数和以及二项展开式特定项系数的求法，对学生的分析能力有一定的要求，难度一般(5)若(x23x1)5a0a1xa2x2a10 x10，则 a12a23a310a10()A5 B0 C-1 D-5【答案】D【解析】由(x23x1)5a0a1xa2x2a10 x10 两边求导，可得 5(x23x1)4(2x3)a12a2x3a3x210a10 x9，令 x1 得，a12a23a310a10-5故选 D【点睛】考查利用导数求二项式系数和以及复合函数的求导，难度中等(6)(x2y1)7 展开式中不含字母 y 的所有项的系数之和为_【答案】128【解析】令 y0，即可得展开式中不含字母 y 的所有
29、项，再令 x1，即得展开式中不含字母 y 的所有项的系数之和为 27128【点睛】考查赋值法求(axby)n 展开式中特定项的系数和，有一定的灵活性，难度中等(7)在x 1x8 的展开式中，所有有理项的二项式系数之和为()A16 B32 C64 D128【答案】D【解析】Tr1Cr8x8r(-1)r2rx Cr8(-1)r382rx(rN 且 r8)，令 83r2 kZ，故 r0,2,4,6,8，恰为展开式中的偶数项，所有有理项的二项式系数之和为 C08C28C48C68C8827128故选 D【点睛】考查赋值法求二项展开式特定项的系数和，有一定的灵活性，难度中等(8)已知(12x)7a0a1
30、xa2x2a7x7，则|a0|a1|a2|a7|()A1093 B2186 C2187 D2188【答案】C【解析】令 x1，则 a0a1a2a3a4a5a6a7-112令 x-1，则 a0a1a2a3a4a5a6a737()2，得 a0a2a4a613721093，()2，得 a1a3a5a71372-1 094(12x)7 展开式中 a0,a2,a4,a6 大于零，而 a1,a3,a5,a7 小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)2187故选 C【点睛】考查赋值法求二项展开式系数的绝对值的和，需要学生有较高的分析能力，难度中等(9)若(x2m)9a0a1
31、(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数 m 的值为()A1 或-3 B-1 或 3 C1 D-3【答案】A【解析】(a0a2a8)2(a1a3a9)2(a0a1a9)(a0a1a8a9)，令 x0，得到 a0a1a2a9(2m)9，令 x-2，得到 a0a1a2a3a9m9，所以有(2m)9m939，即 m22m3，解得 m1 或 m-3故选 A【点睛】考查利用赋值法求二项展开式系数和来解参数的方法，需要学生有较高的分析能力和一定的灵活性，难度中等(10)若(2x)17a0a1(1x)a2(1x)2a16(1x)16a17(1x)17，则 a1
32、2a23a316a16()A17(1216)B17(2161)C17216D2161【答案】A【解析】(2x)17a0a1(1x)a2(1x)2a16(1x)16a17(1x)17，两边同时对x求导，可得-17(2x)16a12a2(1x)16a16(1x)1517a17(1x)16，令 x0，可得：-17216a12a23a316a1617a17；又由 x17 系数知，a17-1，故 a12a23a316a161717216，故选 A【点睛】考查利用导数及赋值法求二项展开式特定项的系数和，需要学生有较高的分析能力和一定的灵活性，难度较大(11)在21xx 6 的展开式中，除常数项外，其余各项
33、系数的和是()A63 B-517 C-217 D-17713【答案】B【解析】21xx621xx6，展开式通项为 Tr+1Cr6(-1)6r2xxr，而2xxr 展开式通项为 Tm+1Cmr xrm2xm2mCmr xr2m，故 r2m故展开式中的常数项为 12C26C124C46C248C36581，令 x1，展开式中所有项系数和为 2664，除常数项外，其余各项系数的和是 64581-517，故选 B另解常数项：21xx6 为 6 个21xx 相乘，常数项即每选一个21xx 中的 x，就需从剩下选一个2x，其余为-1，故常数项为(-1)6C16C1521(-1)4C26C2422(-1)2
34、C3623(-1)0581【点睛】考查赋值法求(abc)n 展开式特定项的求法以及系数和，要求学生有较高的分析能力，难度较大(12)已知 x5(x3)3a8(x1)8a7(x1)7a1(x1)a0，则 7a75a53a3a1()A-16 B-8 C8 D16【答案】B【解析】对 x5(x3)3a8(x1)8a7(x1)7a1(x1)a0 两边求导，得：5x4(x3)33x5(x3)28a8(x1)77a7(x1)62a2(x1)a1，令 x0，可得 08a87a76a62a2a1；令 x-2，可得-16-8a87a76a62a2a1；()2，得：7a75a53a3a1-8故选 B【点睛】考查利
35、用导数及赋值法求二项展开式特定项的系数和，需要学生有较高的分析能力和灵活性，属于难题(13)令(x1)2022a1x2022a2x2021a3x2020a2022xa2023(xR)，则 a22a33a42021a20222022a2023()A202122021B202122022C202222021D202222022【答案】C【解析】由(x1)2022a1x2022a2x2021a3x2020a2022xa2023，令 x1，可得 a1a2a3a2022a202322022，2022a12022a22022a32022a20222022a2023202222022；14由(x1)2022
36、a1x2022a2x2021a3x2020a2022xa2023 两边求导得：2022(x1)20212022a1x20212021a2x20202020a3x20192a2021xa2022，令 x1，可得 2022220212022a12021a22020a32a2021a2022；得：a22a33a42021a20222022a2023202222022202222021，即 a22a33a42021a20222022a2023202222021，故选 C【点睛】考查利用赋值法及导数相结合求二项展开式特定项的系数和，需要学生有较高的分析能力和灵活性，属于难题(14)若(2x1)11a0a
37、1(x1)a2(x1)2a11(x1)11，则 a0a12 a23 a1112()A0 B1 C 124D12【答案】A【解析】(2x1)11a0a1(x1)a2(x1)2a11(x1)11，两边积分，得：124(2x1)12a0(x1)12a1(x1)213a2(x1)3 112a11(x1)12C，C 为常数，令 x-1，可得：C 124，令 x0，可得：a0a12 a23 a1112 124 124，故 a0a12 a23 a11120故选 A【点睛】考查利用积分和赋值法求二项展开式特定项的系数和以及积分法求原函数，需要学生有较高的分析能力和灵活性，属于难题7二项式系数或展开式系数的最值
38、问题(1)弄清所求问题是“展开式系数最大”、“二项式系数最大”两者中的哪一个(2)若是求二项式系数的最大值，则依据(ab)n 中 n 的奇偶及二次项系数的性质求解(3)若是求展开式系数的最大值，有两个思路：由于二项展开式中的系数是关于正整数 n 的式子，可以看作关于 n 的数列，通过判断数列单调性的方法从而判断系数的增减性，并根据系数的单调性求出系数的最值 由于展开式系数是离散型变量，因此在系数均为正值的前提下，求最大值只需解不等式组akak1，akak1即可求得答案(1)在(xy)n 的展开式中，若第 7 项系数最大，则 n 的所有可能取值为_【答案】11,12,13【解析】根据题意，分三种
39、情况：若仅 T7 系数最大，则共有 13 项，n12；15若 T7 与 T6 系数相等且最大，则共有 12 项，n11；若 T7 与 T8 系数相等且最大，则共有 14 项，n13所以 n 的所有可能取值为 11,12,13【点睛】考查二项式系数的最大项问题，要求学生思维严谨，属于基础题(2)在xax5 的展开式中 x3 的系数等于-5，则该展开式各项的系数中最大值为()A5B10 C15D20【答案】B【解析】由 Tr1Cr5x5raxr(-a)rCr5x52r，由 52r3，解得 r1，所以(-a)C15-5a-5，解得 a1，所以 Tr1(-1)rCr5x52r，当 r2 时，(-1)2
40、C2510；当 r4 时，(-1)4C455所以该展开式各项的系数中最大值为 10故选 B【点睛】考查二项展示式的特定项系数以及系数最大值的求法，难度一般(3)(x2y)7 的展开式中，系数最大的项是()A68y7B112x3y4 C672x2y5D1344x2y5【答案】C【解析】设第 r1 项系数最大，则有：Cr72rCr17 2r1，Cr72rCr17 2r1，即7！r！7r！2r7！r1！7r1！2r1，7！r！7r！2r7！r1！7r1！2r1，即2r 18r，17r 2r1，解得r163，r133.又rZ，r5系数最大的项为 T6C57x225y5672x2y5故选 C【点睛】考查
41、二项展示式中系数最大值的求法以及组合公式，要求学生有一定的计算能力，难度中等(4)已知 n 为满足 Sa127C227C327C2727C(a3)能被 9 整除的正数 a 的最小值，则2xxn 的展开式中，系数最大的项为()A第 8 项B第 9 项C第 10 项D第 8 项和第 9 项 16【答案】B【解析】因为 C027 C127 C227 C2727 227，C127 C227 C2727 2271，故 Sa227189a1(91)9a19ma2，mN*，故 a2 为 9 的倍数，又 a3，故 a 的最小值为 11，即 n112xx11 的展开式的通项为 Tr+1 C11r x11r2xr
42、，第 r+1 项系数为(-2)r C11r，欲系数最大，则 r 为偶数，即系数为 2r C11r，且：(r 为偶数，所以项数为奇数，所以答案为 B)2211112211112C2C2C2Crrrrrrrr，即2211!11!22!11!2!13!11!11!22!11!2!9!rrrrrrrrrrrr，即411131214111021r rrrrrrr，即22332080291460rrrr，rN，上述不等式组估算得 6r10，又 r 为偶数，r8，展开式中系数最大的项为第 9 项故选 B【点睛】考查数整除的特征以及二项展示式中系数最大值的求法以及组合公式，要求学生有一定的灵活性和较高的计算分析能力，属于难题17
