1、十三 简单的幂函数 【基础全面练】(20 分钟 35 分)1设 1，1，12，3，则使函数 yx 的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值为()A1，1，3 B12，1C1，3 D1，3【解析】选 D.当 1 时，函数的定义域为x|x0，不满足定义域为 R；当 1 时，函数 yx 的定义域为 R 且为奇函数，满足要求；当 12 时，函数的定义域为x|x0，不满足定义域为 R；当 3 时，函数 yx 的定义域为 R 且为奇函数，满足要求【补偿训练】已知幂函数 yf(x)的图像过点12，22，则 f(2)的值为()A 2 B 2 C2 D2【解析】选 A.设幂函数 f(x)x，则12 221212，
2、解得 12，所以 f(x)x12，所以 f(2)212 2.2.下列函数中是奇函数的是()Af(x)4x4Bf(x)5x7Cf(x)|x|3 Df(x)x1【解析】选 B.由奇、偶函数的定义得 f(x)4x4 为偶函数，f(x)5x7为奇函数，f(x)|x|3 为偶函数，f(x)x1 为非奇非偶函数3已知幂函数 f(x)(m23m3)xm1 为偶函数，则 m()A1 B2 C1 或 2 D3【解析】选 A.因为幂函数 f(x)(m23m3)xm1 为偶函数，所以 m23m31，即 m23m20，解得 m1 或 m2.当 m1 时，幂函数 f(x)x2 为偶函数，满足条件当 m2 时，幂函数 f
3、(x)x3 为奇函数，不满足条件4已知 f(x)是偶函数，当 x0 时，f(x)x(x1)，则 f(2)_【解析】由偶函数的定义可得：f(2)f(2)2(21)2.答案：25若函数 f(x)(k2)x2(k1)x3 是偶函数，则 k_，f(x)的递减区间是_【解析】函数 f(x)是偶函数，则根据偶函数的定义可知 f(x)f(x)，即(k2)x2(k1)x3(k2)(x)2(k1)(x)3，化简可得 2(k1)x0，故 k1，代入函数解析式可得 f(x)x23，故该二次函数图像开口向下，对称轴为 x0，所以递减区间为0，).答案：1 0，)6已知函数 f(x)x22|x|.(1)判断并证明函数的
4、奇偶性(2)判断函数 f(x)在(1，0)上的单调性并加以证明【解析】(1)函数 f(x)是偶函数因为函数 f(x)的定义域是 R，f(x)(x)22|x|x22|x|f(x)，所以函数 f(x)是偶函数(2)函数 f(x)在(1，0)上是增加的证明：当 x(1，0)时，f(x)x22x.设1x1x20，则 x1x20，且 x1x22，即 x1x220.因为 f(x1)f(x2)(x21 x22)2(x1x2)(x1x2)(x1x22)0，所以 f(x1)f(x2).所以函数 f(x)在(1，0)上是增加的【综合突破练】(30 分钟 60 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1如图，
5、图中曲线是幂函数 yx 在第一象限的大致图像已知 取2，12，12，2 四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4 的 的值依次为()A.2，12，12，2 B2，12，12，2C12，2，2，12 D2，12，2，12【解析】选 B.在第一象限内，在直线 x1 的右侧，yx 的图像由上到下，指数 由大变小2已知 f(x)ax7bx5cx32 且 f(5)m，则 f(5)f(5)的值为()A4 B0 C2m Dm4【解析】选 A.由已知，得 f(x)f(x)4，故 f(5)f(5)4.3已知函数 yf(x)是偶函数，yf(x2)在0，2上是减少的，则()Af(1)f(2)f(0)Bf(1)f
6、(0)f(2)Cf(0)f(1)f(2)Df(2)f(1)f(0)【解析】选 C.因为 yf(x2)在0，2上是减少的，令 tx2，则 t2，0，即 f(t)在2，0上是减少的所以 yf(x)在2，0上是减少的因为函数 yf(x)是偶函数，所以 yf(x)在0，2上是增加的，因为函数 f(1)f(1)，则 f(0)f(1)f(2).4设 yf(x)和 yg(x)是两个不同的幂函数，集合 M（x，y）|f（x）g（x），则集合 M 中元素的个数为()A1 或 2 或 0 B1 或 2 或 3C1 或 2 或 3 或 4 D0 或 1 或 2 或 3【解析】选 B.取 f(x)x13，g(x)x3
7、，由 x13 x3，可得 x0 或 x1 或 x1，故 M（x，y）|x13x3（0，0），（1，1），（1，1）；取 f(x)x12，g(x)x3，由 x12 x3 可得 x0 或 1，故 M（x，y）|x12x3（0，0），（1，1）；取 f(x)x2，g(x)x3，由 x2x3 可得 x1，故 M（x，y）|x2x3（1，1）.因为对任意幂函数的图像必过(1，1)点，故(1，1)M，任意两个幂函数的图像不可能有 4 个交点，故 M 中元素的个数为 1 或 2 或 3.5若函数 f(x)(m26m9)xm23m1 是幂函数且为奇函数，则 m 的值为()A2 B3 C4 D2 或 4【解析】
8、选 D.由题意，函数 f(x)(m26m9)xm23m1 是幂函数，可得 m26m91，解得 m2 或 m4.当 m2 时，函数 f(x)x11x，此时函数 f(x)为奇函数，满足题意；当 m4 时，函数 f(x)x5，此时函数 f(x)为奇函数，满足题意【光速解题】本题可以直接将选项中的 2，3，4 代入验证二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)6已知幂函数 f(x)xm22m3(mZ)为偶函数，且在(0，)上是减少的，则f(x)的解析式为_.【解析】因为 f(x)在(0，)上是减少的，故 m22m30，所以1m3.因为 m是整数，故 m0，1，2.当 m0 时，f(x)x3 为奇函数，
9、舍去；当 m1 时，f(x)x4 为偶函数，符合；当 m2 时，f(x)x3 为奇函数，舍去答案：f(x)x47设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 yf(x)的图像关于直线 x12 对称，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)_【解析】由函数 f(x)是 R 上的奇函数，得 f(0)0，因为 f(x)的图像关于直线 x12 对称，所以 f(x)f(1x)，所以 f(1)f(0)0，f(2)f(1)f(1)0，f(3)f(2)f(2)0，f(4)f(3)f(3)0，f(5)f(4)f(4)0，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)0.答案：08已知偶函数 f(x)在0，)上
10、递减，且 f(4)5，若 f(2x1)5，则 x 的取值范围是_.【解析】因为 f(x)是偶函数，所以 f(2x1)f(|2x1|)，又 f(x)在0，)上递减，且 f(4)5，所以 f(2x1)5 等价于 f(|2x1|)4，解得 x32，即 x 的取值范围为，5232，.答案：，5232，三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x(1x).(1)求 f(x)的解析式；(2)画出 f(x)的图像【解析】(1)因为 x0 时，f(x)x(1x)，所以当 x0，所以 f(x)x(1x).又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x
11、)f(x)，所以f(x)x(1x)，所以 f(x)x(1x)，综上 f(x)x（1x），x0，x（1x），x0.(2)f(x)的图像如图所示10已知函数 f(x)axbx21，aR，bR 是定义在(1，1)上的奇函数，且 f 1225.(1)求 f(x)的解析式(2)判断 f(x)在(1，1)上的单调性，说明理由(3)解不等式 f(t1)f(t)0.【解析】(1)依题意，得 f(0)b0，f1212ab5425，得b0，a1，所以 f(x)xx21.(2)f(x)在(1，1)上是增加的，理由如下：设任意 x1，x2(1，1)，且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x1x21 1 x2x22 1
12、（x1x2）（1x1x2）（x21 1）（x22 1），因为1x1x21，所以 x1x20，1x1x20，(x21 1)(x22 1)0，所以 f(x1)f(x2)0，所以 f(x)在(1，1)上是增加的(3)不等式 f(t1)f(t)0即 f(t1)1，t1t，t1，解得 0t0 的解集为()Ax|x4 Bx|x4Cx|x6 Dx|x2【解析】选 B.当 x0 时，令 f(x)2x40，所以 x2.又因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(x)0 的解集为x|x2将函数 yf(x)的图象向右平移 2 个单位长度，即得函数 yf(x2)的图象，故f(x2)0 的解集为x|x42已知 f(x)在a
13、，b上是奇函数，且 f(x)在a，b上的最大值为 m，则函数 F(x)f(x)3 在a，b上的最大值与最小值之和为_【解析】因为奇函数 f(x)在a，b上的最大值为 m，所以它在a，b上的最小值为m，所以函数 F(x)f(x)3 在a，b上的最大值与最小值之和为(m3)(m3)6.答案：6【补偿训练】已知 f(x)是定义在(2，2)上的奇函数且在(2，2)上是减少的，若 f(m1)f(12m)0，求实数 m 的取值范围【解析】由题意知2m12，212m2，解得12 m32.由函数 f(x)是定义在(2，2)上的奇函数及 f(m1)f(12m)0，得 f(m1)f(2m1).因为函数 f(x)在(2，2)上是减少的，所以 m12m1，解得 m0，所以实数 m 的取值范围是0，32.