1、附录：部分定理和公式的证明1两角差的余弦公式cos()cos cos sin sin 证明 如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角，它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则(cos ，sin )，(cos ，sin )由向量数量积的坐标表示，有(cos ，sin )(cos ，sin )cos cos sin sin .设与的夹角为，则|cos cos cos cos sin sin .另一方面，由图(1)可知，2k；由图(2)可知，2k.于是2k，kZ.所以cos()cos .即cos()cos cos sin sin .2余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平
2、方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.证明 如图，设a，b，c.则cab，所以|c|2(ab)2a22abb2|a|2|b|22|a|b|cos C.即c2a2b22abcos C.同理可证a2b2c22bccos A.b2c2a22cacos B.3等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，前n项之和为Sn，则Snna1d.证明 Sna1a2a3an1an.一方面Sna1(a1d)(a12d)a1(n2)da1(n1)d，另一方面Snan(and)(an2d)an(n2)dan(n1)d得2
3、Snn(a1an)所以Sn.又ana1(n1)d，所以Snna1d.4等比数列的前n项和公式设等比数列an的公比为q，前n项之和为Sn，则Sn证明 当q1时，ana1，所以Snna1.当q1时，Sna1a2a3an1an，所以qSna1qa2qa3qan1qanqa2a3ananq.得(1q)Sna1qan，所以Sn.所以Sn5直线与平面平行的性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行已知直线m，n与平面，若m，m且n，则mn.证明 如图，因为n，所以n，又m，所以m与n无交点，又m，n，所以mn.6两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相
4、交，那么它们的交线平行已知平面，满足，m，n，则mn.证明 如图，因为m，n.所以m，n.又，所以m与n无交点又m，n，所以mn.7两个平面垂直的性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直已知平面平面，l，AB，且ABl，则AB.证明 如图，设ABlB，在平面内过B作BCl.因为ABl，所以ABC是二面角-l-的平面角因为，所以ABC90，即ABBC.又ABl，BClB，l，BC，所以AB.8空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，已知点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则P1，P2两点间的距离为|P1P2|.证明 如图，设点P1(x1，y1，z1)，
5、P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，且点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M，N，那么M，N的坐标为M(x1，y1，0)，N(x2，y2，0)在xOy平面上，|MN|.过点P1作P2N的垂线，垂足为H，则|MP1|z1|，|NP2|z2|，所以|HP2|z2z1|.在RtP1HP2中，|P1H|MN|，根据勾股定理，得|P1P2|.因此，空间中点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离|P1P2|.9圆的渐开线的参数方程(是参数)证明 根据动点满足的几何条件，我们以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系(如图)设
6、基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)显然，点M由角唯一确定取为参数，则点B的坐标为(rcos ，rsin )，从而(xrcos ，yrsin )，|r.由于向量e1(cos ，sin )是与同方向的单位向量，因而向量e2(sin ，cos )是与向量同方向的单位向量因此(r)e2，即(xrcos ，yrsin )(r)(sin ，cos )，所以圆的渐开线的参数方程为(是参数)10圆的平摆线(摆线)的参数方程(为参数)证明 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为x轴，定点M滚动时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系(如图)设圆的半径为r.设开始时定点M在原点，圆滚动了角后与x轴
7、相切于点A，圆心在点B.从点M分别作AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D.设点M的坐标为(x，y)，取为参数，根据点M满足的几何条件，有xODOADAOAMCrrsin ，yDMACABCBrrcos .因此，摆线的参数方程是(是参数)11二维形式的柯西不等式若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立证明 因为(a2b2)(c2d2)(acbd)2a2c2a2d2b2c2b2d2a2c2b2d22acbda2d2b2c22adbc(adbc)20，当且仅当adbc时，等号成立即(a2b2)(c2d2)(acbd)20，所以(a2b2)(c2d
8、2)(acbd)2，当且仅当adbc时，等号成立12三角不等式设x1，y1，x2，y2，x3，y3R，则.证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)由|CA|CB|BA|与两点间的距离公式得.当且仅当点C位于线段BA上时取等号13贝努利不等式设xR，且x1，x0，nN*，n1，则(1x)n1nx.证明 (1)当n2时，因为x0.所以(1x)212xx212x，不等式成立(2)假设当nk(kN*，k2)时不等式成立，即有(1x)k1kx，则当nk1时，由于x1，x0.所以(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1xkxkx21(k1)x，所以当nk1时不等式成立由(1)、(2)可知，贝努利不等式成立
