1、第七节数学归纳法【最新考纲】1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2数学归纳法的框图表示1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n1时结论成立()(2)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用()(3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法
2、证明时,由nk到nk1时,项数都增加了一项()(4)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”,验证n1时,左边式子应为122223.()答案:(1)(2)(3)(4)2(2016银川九中月考)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时,第一步检验n等于()A1B2C3D0解析:因为凸n边形最小为三角形,所以第一步检验n等于3,故选C.答案:C3已知n为正偶数,用数学归纳法证明12时,若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立解析:k为偶数,则k2为偶数答案:B4利用数学归纳
3、法证明不等式(n1,nN*)的过程中,用nk1时左边的代数式减去nk时左边的代数式的差为_解析:当nk时,左边,当nk1时,左边,得,.答案:5用数学归纳法证明:“11)”由nk(k1)不等式成立,推证nk1时,左边应增加的项的项数是_解析:当nk时,不等式为12n1对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取 ()A2 B3 C5 D6解析:n1时,212,2113,2n2n1不成立;n2时,224,2215,2n2n1不成立;n3时,238,2317,2n2n1成立n的第一个取值n03.答案:B4凸n多边形有f(n)条对角线,则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()A
4、f(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析:边数增加1,顶点也相应增加1个,它与和它不相邻的n2个顶点连接成对角线,原来的一条边也成为对角线,因此,对角线增加n1条答案:C5用数学归纳法证明3(27k)能被9整除,证明nk1时,应将3(27k1)配凑成()A6217k B3(27k)21C3(27k) D21(27k)36解析:要配凑出归纳假设,故3(27k1)3(277k)6217k21(27k)36.答案:D二、填空题6已知数列an满足a11,an1an1(nN*),通过计算a1,a2,a3,a4,可猜想an_解析:a11,a2a11,a3a21,a4a31.所以猜想an
5、.答案:三、解答题9设a0,f(x),令a11,an1f(an),nN*.(1)写出a2,a3,a4的值,并猜想数列an的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论(1)解:因为a11,所以a2f(a1)f(1);a3f(a2);a4f(a3).猜想an(nN*)(2)证明:当n1时,a11猜想正确假设nk(k1,kN*)时猜想正确,则ak,则ak1f(ak).这说明,nk1时猜想正确由知,对于任何nN*,都有an.10(2014安徽卷节选)设实数c0,整数p1,pN*.证明:当x1且x0时,(1x)p1px.证明:用数学归纳法证明当p2时,(1x)212xx212x,原不等式成立假设pk(k2,kN*)时,不等式(1x)k1kx成立当pk1时,(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当pk1时,原不等式也成立综合可得,当x1,x0时,对一切整数p1,不等式(1x)p1px均成立