1、第五节双曲线复习目标学法指导1.双曲线及其标准方程(1)双曲线的定义.(2)双曲线的标准方程.(3)双曲线的焦点、焦距的概念.2.双曲线的简单几何性质(1)双曲线的简单几何性质.(2)有关双曲线的计算证明.3.了解双曲线与椭圆的区别与联系.1.双曲线的应用主要有两个方面:一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程,二是在“焦点三角形”中常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1|-|PF2|=2a运用平方的方法建立与|PF1|PF2|的联系.2.待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求
2、出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程求双曲线的标准方程可设有公共渐近线的双曲线方程为-=(0),再由条件求出的值即可.一、双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.1.概念理解(1)双曲线定义的集合语言P=M|MF1|-|MF2|=2a,02a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上任意一点,F1PF2=,则cos =1-.(2) =|PF1|PF2|sin =sin =c|y0|.(其中y0是点P纵坐标)二、双曲线的标准方程及简单几何性质标准方程-=1
3、(a0,b0)-=1(a0,b0)图形性质范围xa或x-aya或y-a对称性对称轴:x轴、y轴对称中心:坐标原点顶点顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0)顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a)渐近线y=xy=x离心率e=,e(1,+),其中c=实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长a,b,c间的关系c2=a2+b2(ca0,cb0)1.概念理解(1)双曲线标准方程中,若x2或y2项系数为正该项系数的分母为a2焦点所在轴与该项变量名称相同.(2)在双曲线中,b2=
4、c2-a2,c最大,可以有a大于、等于或小于b的情况,这一点与椭圆中不同,应注意区分.(椭圆中a最大,b2=a2-c2,ab,ac)(3)双曲线中以二次项系数正负确定a2,椭圆中以二次项分母大小确定a2.2.与之相关结论(1)等轴双曲线的定义及性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其方程为x2-y2=(0),离心率e=,渐近线方程为y=x.它们互相垂直,并且平分实轴和虚轴所成的角.(2)与-=1共渐近线的双曲线为-=(0). -=渐近线-=0(或y=x或=0).(3)不知双曲线焦点位置时,常设双曲线方程为Ax2-By2=1(AB0).与-=1离心率相同的双曲线方程可设为-=k(k0).(4
5、)双曲线-=1(a0,b0)与直线Ax+By+c=0有公共点的充要条件是A2a2-B2b2c2.过焦点与实轴所在直线垂直的弦长为定值.1.已知方程+=1表示双曲线,则k的取值范围为(B)(A)(-,3)(5,+)(B)(3,5)(C)(3,4)(4,5) (D)(4,5)解析:由方程表示双曲线可知(k-3)(k-5)0,解得3k0,b0),右焦点F到渐近线的距离为2,点F到原点的距离为3,则双曲线C的离心率e为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为右焦点F到渐近线的距离为2,所以F(c,0)到y=x的距离为2,即=2,又b0,c0,a2+b2=c2,所以=b=2.因为点F到原点的距离为3,所
6、以c=3,所以a=,所以离心率e=.故选B.3.已知F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2最小内角的大小为30,则双曲线C的渐近线方程是(A)(A)xy=0(B)xy=0(C)x2y=0(D)2xy=0解析:由题意,不妨设|PF1|PF2|,则根据双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,解得|PF1|=4a,|PF2|=2a.在PF1F2中,|F1F2|=2c,而ca,所以有|PF2|0,b0)的离心率e=,且其右焦点F2(5,0),则双曲线C的方程为()(A)-=1(B)-=1(C
7、)- =1(D)-=1(2)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线C上,且F1PF2=60,则|PF1|PF2|=.解析:(1)因为所求双曲线的右焦点为F2(5,0)且离心率为e=,所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以所求双曲线方程为-=1,故选B.解析:(2)由题意知a=1,b=1,c=,所以|F1F2|=2,在PF1F2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos 60=|F1F2|2=8,即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|PF2|=8, 由双曲线定义得|PF1|-|PF2|=2a=2,两边平方得|PF1|2+|PF
8、2|2-2|PF1|PF2|=4, -得|PF1|PF2|=4.答案:(1)B答案:(2)4 (1)运用双曲线定义解题的两个注意点在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时,通常考虑利用双曲线的定义;在运用双曲线的定义解题时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支.(2)求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法若已知双曲线的焦点位置可设双曲线的标准方程,再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.若不能确定焦点位置,则可设双曲线方程为Ax2+By2=1(AB1,所以|PF2|=17.故选B.2.已知双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点为F,点B是虚轴
9、的一个端点,线段BF与双曲线C的右支交于点A,若=2,且|=4,则双曲线C的方程为(D)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:不妨设B(0,b),由=2,F(c,0),可得A(,),代入双曲线C的方程可得-=1,即=,所以=. 又|=4,c2=a2+b2,所以a2+2b2=16, 由可得,a2=4,b2=6,所以双曲线C的方程为-=1,故选D.考点二双曲线的离心率【例2】 (1)双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于点M,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()(A)(B)(C)(D)(2)设直线l:x-3y+m=0(
10、m0)与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.解析:(1)在RtMF1F2中,|F1F2|=2c,则|MF2|=,|MF1|=,由双曲线定义可知|MF1|-|MF2|=2a,即=2a,化简得=,故选A.解析:(2)如图,设线段AB的中点为M,由题意得,直线l:x-3y+m=0垂直于直线PM,双曲线的两渐近线为bxay=0,分别与x-3y+m=0联立,解得B(,),A(,).所以AB的中点M(,).由MPl得,=-3,化简为a2=4b2.所以e2=.所以e=.答案:(1)A(2) (1)求双曲线的离心率即是求c与a的
11、比值,只需根据条件列出关于a,b,c的方程或不等式即可解决,并且需注意e1.(2)双曲线的离心率与渐近线斜率的关系已知双曲线的离心率e求渐近线方程要注意e=及判断焦点所在的坐标轴;已知渐近线方程y=mx(m0)求离心率时,若焦点位置不确定,则m=或m=,因此离心率有两种可能.(3)已知双曲线方程-=1(a0,b0)或-=1(a0,b0)求其渐近线方程只需把1改写为0整理即可.已知O为坐标原点,F是双曲线:-=1(a0,b0)的左焦点,A,B分别为的左、右顶点,P为上一点,且PFx轴,过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E,直线BM与y轴交于点N,若|OE|=2|ON|,则的离心率为(
12、A)(A)3(B)2(C)(D)解析: 易证得MFAEOA,则=,即|MF|=;同理MFBNOB,|MF|=,所以=,又|OE|=2|ON|,所以2(c-a)=a+c,整理,得=3,故答案为A.考点三双曲线的渐近线【例3】 (1)过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F作圆O:x2+y2=a2的两条切线,切点为A,B,双曲线左顶点为C,若ACB=120,则双曲线的渐近线方程为()(A)y=x(B)y=x(C)y=x(D)y=x(2)过双曲线-=1(a0,b0)的左焦点F1作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A,B,若=,则双曲线的渐近线方程为.解析:(1) 如图所示,连接OA
13、,OB,设双曲线-=1(a0,b0)的焦距为2c(c0),则C(-a,0),F(-c,0).由双曲线和圆的对称性知,点A与点B关于x轴对称,则ACO=BCO=ACB=120=60.因为|OA|=|OC|=a,所以ACO为等边三角形,所以AOC=60.因为FA与圆O切于点A,所以OAFA,在RtAOF中,AFO=90-AOF=90-60=30,所以|OF|=2|OA|,即c=2a,所以b=a,故双曲线-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,即y=x.故选A.解析:(2)由得x=-,由解得x=,不妨设xA=-,xB=,由=可得-+c=+,整理得b=3a.所以双曲线的渐近线方程为3xy=0.答案:
14、(1)A (2)3xy=0 (1)求渐近线方程的实质是把题目中给出的相互位置关系及数量关系转化为与双曲线中a,b,c,e相关的等量关系式,结合c2=a2+b2,e2=1+,求得的值即可.(2)双曲线的渐近线是过原点的直线,常用到点到直线距离、直线间平行、相交、垂直等,熟练掌握这些基本问题的解题思路是正确求解的基础.1.已知双曲线-=1(a0,b0)与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为(C)(A)(1,)(B)(1,(C)(,+)(D),+)解析:因为双曲线的一条渐近线的方程为y=x,则由题意得2,所以e=.2. 如图,P是双曲线-y2=1右支(在第一象限内)上的任意一点,A1,A2
15、分别是左、右顶点,O是坐标原点,直线PA1,PO,PA2的斜率分别为k1,k2,k3,则斜率之积k1k2k3的取值范围是.解析:k1k3=,0k2,所以0k1k2k30,b0),F是双曲线C的右焦点,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,若l与双曲线C的左、右两支分别交于点D,E,则双曲线C的离心率e的取值范围为()(A)(,)(B)(,+)(C)(,2)(D)(1,)(2)设P是双曲线C:-=1(a0,b0)右支上的任意一点,已知A(a,b),B(a,-b),若=+ (O为坐标原点),则2+2的最小值为()(A)ab(B)(C)ab(D)解析:(1)法一由题意知,直线l:y=- (x
16、-c),设D(x1,y1),E(x2,y2),由得(b2-)x2+x-(+a2b2)=0,由x1x2=a4,所以b2=c2-a2a2,所以e22,得e.故选B.法二由题意,知直线l的斜率为-,若l与双曲线左、右两支分别交于D,E两点,则-,即a2b2,所以a22,得e.故选B.解析:(2)由题意,设P(x,y),则因为=+,所以x=(+)a,y=(-)b,因为P为双曲线C右支上的任意一点,所以(+)2-(-)2=1,所以4=1,所以2+22=,所以2+2的最小值为.故选D. (1)涉及曲线与圆、抛物线等位置关系问题,常结合图形,把条件中隐含的位置关系、等量关系对应的几何性质挖掘出来,借助平面几
17、何的相关知识求解.(2)向量在解析几何中常起到中间桥梁作用,可化为线段间的关系,也可转化为坐标间的关系,具体视情况而定.F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,P为双曲线右支上一点,A是PF1F2的内切圆,A与x轴相切于点M(m,0),则m的值为.解析: 如图所示,F1(-5,0),F2(5,0),内切圆与x轴的切点是M,PF1,PF2与内切圆的切点分别为N,H,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=8,由圆的切线长定理知|PN|=|PH|,故|NF1|-|HF2|=8,即|MF1|-|MF2|=8,故(m+5)-(5-m)=8,所以m=4.答案:4类型一双曲线的定义及标准方程1.
18、已知动圆与C1:(x+3)2+y2=9外切,且与C2:(x-3)2+y2=1内切,则动圆圆心M的轨迹方程为(B)(A)-=1(B)-=1(x2)(C)-=1(D)-=1(y2)解析:设动圆半径为r,因为M与C1外切,且与C2内切,所以|MC1|=r+3,|MC2|=r-1,|MC1|-|MC2|=4,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,且有a=2,c=3,b2=c2-a2=5,所以所求双曲线的方程为-=1(x2).2.过双曲线C:-=1(a0,b0)的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程
19、为(A)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:由得所以A(a,-b).由题意知右焦点到原点的距离为c=4,所以=4,即(a-4)2+b2=16.而a2+b2=16,所以a=2,b=2.所以双曲线C的方程为-=1.故选A.3.如图所示,F1,F2是双曲线-=1的左、右焦点,过F1的直线与双曲线分别交于点A,B,若ABF2为等边三角形,则BF1F2的面积为(C)(A)8 (B)8(C)8 (D)16解析:由双曲线的定义可知|BF2|-|BF1|=2a,|AF1|-|AF2|=2a.又ABF2是等边三角形,所以|AF1|-|AF2|=|AF1|-|AB|=|BF1|=2a,所以|BF
20、2|=4a.在AF1F2中,|AF1|=6a,|AF2|=4a,|F1F2|=2c,F1AF2=60,所以4c2=36a2+16a2-26a4acos 60,即c2=7a2,所以b2=c2-a2=6a2=24,所以a2=4,所以=2a4asin 120=2a2=8.故选C.4.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:由双曲线的定义有c=2,且|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,所以|PF1|=2|PF2|=4,则cosF1PF2=.5.已知ABP的顶点A,B分别为双曲线-=1
21、的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:在ABP中,由正弦定理知=.类型二双曲线的离心率6.(2018湖州模拟)设点P是双曲线-=1(a0,b0)与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,且|PF1|=3|PF2|,则双曲线的离心率为(D)(A)(B)(C)(D)解析:点P到原点的距离为|PO|=c,又因为在PF1F2中,|F1F2|=2c=2|PO|,所以PF1F2是直角三角形,即F1PF2=90.由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,又因为|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=3a.在RtPF1F2中,由
22、勾股定理得(3a)2+a2=(2c)2,解得=.故选D.7.(2018全国卷)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,O是坐标原点.过F2作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=|OP|,则C的离心率为(C)(A)(B)2(C)(D)解析: 如图,过点F1向OP的反向延长线作垂线,垂足为P,连接PF2,由题意可知,四边形 PF1PF2 为平行四边形,且PPF2是直角三角形.因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a.又|PF1|=a=|F2P|,|PP|=2a,所以|F2P|=a=b,所以c=a,所以e=.故选C.8.已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右两
23、个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,若|MF1|-|MF2|=2b,该双曲线的离心率为e,则e2=.解析:由题意,圆的方程为x2+y2=c2,联立得即点M(a,b),则|MF1|-|MF2|=-=2b,即-=2,-=2,化简得,e4-e2-1=0,解得e2=.答案:类型三双曲线的渐近线9.设双曲线-=1(a0)的渐近线方程为3x2y=0,则a的值为(C)(A)4(B)3(C)2(D)1解析:由题意得=,所以a=2.10.双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于(C)(A)(B)(C)(D)解析:双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x2y=0
24、,则顶点到渐近线的距离为=.11.设双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(A)(A)(-1,0)(0,1)(B)(-,-1)(1,+)(C)(-,0)(0,)(D)(-,-)(,+)解析:由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B(c, ),C(c,-),kAB=,因为CDAB,所以kC D=,所以直线CD的方程为y+= (x-c),由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得xD=+c,点D到直线BC的距离为c-xD
25、,所以a+=a+c,b4a2(c-a)(c+a)=a2b2,b2a2,()21,又该双曲线的渐近线的斜率为或-,所以双曲线渐近线斜率的取值范围是(-1,0)(0,1).故选A.类型四双曲线中综合问题12.已知双曲线-=1的渐近线与圆x2+(y-2)2=1相交,则该双曲线的离心率的取值范围是(C)(A)(,+)(B)(1,)(C)(2,+)(D)(1,2)解析:因为双曲线渐近线为bxay=0,与圆x2+(y-2)2=1相交,所以圆心到渐近线的距离小于半径,即1,所以2a2,故选C.13.双曲线C:-=1(a0),A(x1,y1),B(x2,y2)两点在双曲线上,且x1x2.若线段AB的垂直平分线
26、经过点Q(4,0),则AB中点的横坐标为(B)(A)1(B)2(C)(D)2解析:设AB中点为P(x0,y0),则点差法得kAB=1,所以AB的中垂线斜率为-,则=-得x0=2,所以AB中点的横坐标为2.故选B.14.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.解析:设点A在点B左侧,抛物线C2的焦点为F,则F(0,).联立得和分别解得A(-,),B(,).因为F为OAB的垂心,所以AFOB,所以kAFkOB=-1,即=-14b2=5a24(c2-a2)=5a2=,所以e=.答案:
