1、限时规范训练单独成册1已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使AEB90，求直线l的斜率k的取值范围解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：解得：a，c，b21，故椭圆C的方程为x21.(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：ykx2代入x21，得(3k2)x24kx10，12k212，x0，y0kx02，|AB|，解得：k413，即k或k.2已知动点P到直线l：x
2、1的距离等于它到圆C：x2y24x10的切线长(P到切点的距离)记动点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程(2)点Q是直线l上的动点，过圆心C作QC的垂线交曲线E于A，B两点，问是否存在常数，使得|AC|BC|QC|2？若存在，求的值；若不存在，说明理由解析：(1)由已知得圆心为C(2,0)，半径r.设P(x，y)，依题意可得|x1|，整理得y26x.故曲线E的方程为y26x.(2)设直线AB的方程为myx2，则直线CQ的方程为ym(x2)，可得Q(1,3m)设A(x1，y1)，B(x2，y2)将myx2代入y26x并整理得y26my120，那么y1y212，则|AC|BC|(1m2)|y1
3、y2|12(1m2)，|QC|29(1m2)，即|AC|BC|QC|2，所以.3如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线上(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，)，Q(2，)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足APQBPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由解析：(1)设椭圆C的标准方程为1(ab0)椭圆的一个顶点恰好在抛物线x28y的准线y2上，b2，解得b2.又，a2b2c2，a4，c2.可得椭圆C的标准方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，APQBPQ，则PA，PB的斜率互
4、为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为k，直线PA的方程为：yk(x2)，联立化为(14k2)x28k(2k)x4(2k)2160，x12.同理可得：x22，x1x2，x1x2，kAB.直线AB的斜率为定值.4如图，设P是抛物线C1：x2y上的动点，过点P作圆C2：x2(y3)21的两条切线，交直线l：y3于A，B两点(1)求圆C2的圆心M到抛物线C1准线的距离(2)是否存在点P，使线段AB被抛物线C1在点P处的切线平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)因为抛物线C1的准线方程为y，所以圆心M到抛物线C1准线的距离为.(2)设存在满足题意的点P，其坐标为(x0
5、，x)，抛物线C1在点P处的切线交直线l于点D.再设A，B，D的横坐标分别为xA，xB，xD，过点P(x0，x)的抛物线C1的切线方程为yx2x0(xx0)当x01时，过点P(1,1)的圆C2的切线PA为y1(x1)，可得xA，xB1，xD1，xAxB2xD.当x01时，过点P(1,1)的圆C2的切线PB为y1(x1)，可得xA1，xB，xD1，xAxB2xD.所以x10，设切线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则PA：yxk1(xx0)，PB：yxk2(xx0)将y3分别代入得xD(x00)；xAx0；xBx0(k1，k20)从而xAxB2x0(x3)，又1，即(x1)k2(x3)x0k1(
6、x3)210，同理，(x1)k2(x3)x0k2(x3)210.所以k1，k2是方程(x1)k22(x3)x0k(x3)210的两个不相等的根，从而k1k2，k1k2.因为xAxB2xD，所以2x0(3x)，即.从而，进而得x8，x0.综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为(，2)5椭圆C：1(ab0)的上顶点为A，P是C上的一点，以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F.(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线l的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解析：(1)F(c,0)，A(0，b)，由题设可
7、知0，c2c0.又点P在椭圆C上，1，a22.又b2c2a22，联立，解得c1，b21，故所求椭圆的方程为y21.(2)当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm，代入椭圆方程，消去y整理得(2k21)x24kmx2m220，(*)方程(*)有且只有一个实根，又2k210，所以0，得m22k21，假设存在M1(1,0)，M2(2,0)满足题设，则d1d21对任意的实数k恒成立所以解得或当直线l的斜率不存在时，经检验符合题意综上所述，存在两个定点M1(1,0)，M2(1，0)，使它们到直线l的距离之积等于1.6(2017湖北黄冈模拟)如图，已知点F1，F2是椭圆C1：y21的两个焦点，椭圆C2：y
8、2经过点F1，F2，点P是椭圆C2上异于F1，F2的任意一点，直线PF1和PF2与椭圆C1的交点分别是A，B和C，D.设AB，CD的斜率分别为k，k.(1)求证：kk为定值；(2)求|AB|CD|的最大值解析：(1)证明：因为点F1，F2是椭圆C1的两个焦点，故F1，F2的坐标是F1(1,0)，F2(1,0)而点F1，F2是椭圆C2上的点，将F1，F2的坐标代入C2的方程得，.设点P的坐标是(x0，y0)，直线PF1和PF2的斜率分别是k，k(k0，k0)kk，又点P是椭圆C2上的点，故y，联立两式可得kk，即kk为定值(2)直线PF1的方程可表示为yk(x1)(k0)，与椭圆C1的方程联立，得到方程组由方程组得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2.|AB|x1x2|.同理可求得|CD|，则|AB|CD|4，当且仅当k时等号成立故|AB|CD|的最大值等于.
