1、3.3.2 简单的线性规划问题内 容 标 准学 科 素 养1.了解线性规划中的基本概念2.会用图解法解决线性规划问题3.能利用线性规划解决实际应用问题.应用直观想象提升数学运算强化数学建模01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点一 线性规划的基本概念阅读教材P8791，思考并完成以下问题若 x，y 满足不等条件xy2x1y0，那么当 x，y 取何值时，z2xy 有最大值，有最小值在上述问题中(1)满足 xy2x1y0的点(x，y)有多少个？提示：无穷多个，构成一个三角形区域(包括边界)(2)求 zxy 的最大值、最小值，相当于求直线xyz0
2、 的什么量？提示：相当于直线 xyz0 在 y 轴上的截距的最值 知识梳理 名称意义约束条件变量 x，y 满足的一组条件线性约束条件关于 x，y 的不等式目标函数欲求最大值或最小值且涉及变量 x，y 的解析式线性目标函数目标函数是关于 x，y 的解析式线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题可行解满足线性约束条件的可行域所有可行解组成的最优解使目标函数取得最大值或最小值的二元一次一次解集合可行解知识点二 用图解法解决线性规划问题思考并完成以下问题如何求出 x，y 的值，使 z 最大、最小？(1)若将直线 2xyz0 看作平行直线，进行移动当由下而上移动时，动直线 y2xz
3、 最先达可行域的哪个点？此时 z 最大还是最小？提示：(0,1)，z 最小为 1.(2)最后离开可行域的哪个点？此时 z 最大还是最小？提示：(1,1)，z 最大为 3.知识梳理 在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤为：(1)在平面直角坐标系中画出；(2)将目标函数 zaxby(b0)变形为，将求 z 的最值问题转化为求直线 yabxzb在的截距zb的最值问题；(3)画出直线并平行移动，在平移过程中，一般最先或最后经过的点为最优解；(4)求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值可行域y轴上yabxzbyabxzb自我检测1若x0，y0，xy1，则 zxy 的最大
4、值为()A1 B1C2 D2答案：B2zxy 在2xy10，x2y10，xy1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A(0,1)B(1，1)C(1,0)D.12，12答案：C探究一 求线性目标函数的最值与范围教材P91练习 1(2)求 z3x5y的最大值和最小值，使 x、y满足约束条件5x3y15yx1x5y3解析：题中约束条件表示的可行域如上图所示，易知直线 z3x5y 经过点 B 时，z 取得最大值，经过点 A 时，z 取得最小值由yx1，x5y3和yx1，5x3y15，可得点 A(2，1)和点 B(1.5,2.5)所以 zmax17，zmin11.例 1(1)设 x，y 满足约束条件
5、2x3y30，2x3y30，y30，则 z2xy 的最小值是()A15 B9C1 D9解析 根据线性约束条件画出可行域，如图(阴影部分)作出直线 l0：y2x.平移直线 l0，当经过点 A 时，目标函数取得最小值由2x3y30，y30得点 A 的坐标为(6，3)zmin2(6)(3)15.故选 A.答案 A(2)已知1xy4 且 2xy3，求 z2x3y 的取值范围解析 由1xy4，2xy3得平面区域如图中的阴影部分所示由图得当 z2x3y分别过点 A，B 时取最小值、最大值由xy1，xy3，得x1，y2，B(1，2)由xy4，xy2，得x3，y1，A(3,1)2331z2x3y213(2)，
6、即 3z8，故 z2x3y 的取值范围是(3,8)延伸探究 1.若本例(1)条件不变，求 z2xy 的最大值解析：由2x3y30y3得 B 点(6，3)平移直线 y2xz 过 B 点时，z 最大zmax2639.2若本例(1)条件不变，求 z13xy1 的最大值解析：由2x3y302x3y30 得 C 点(0,1)由 z13xy1 得 y13xz1 知斜率 k1323z13xy1 过 C 点时，z 有最大值zmax0110.3若本例(1)条件不变，求|2xy|的取值范围解析：设 z2xy，当 z0 时，即直线 y2xz 过(0,0)时，|z|min0.当 y2xz 过 A(6，3)时 zmin
7、15，|z|15.当 y2xz 过 B(6，3)时 zmax9，|z|9.综上，|2xy|的范围为0,15方法技巧(1)解线性规划问题的关键是作出可行域，若可行域为封闭区域，则区域的顶点很可能就是目标函数取得最大值或最小值的点，因此我们在解决这些问题时，可以根据这些点快速找到目标函数取得最值时对应的 x，y 的值，再代入目标函数中即可求得最值(2)求解线性规划问题时，经常需要比较相关直线的斜率的大小，以决定它们的倾斜程度，从而找出最优解，所以要熟悉直线斜率与倾斜角之间的关系(3)线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得，当表示线性目标函数表示的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有
8、无数个探究二 非线性目标函数的最值范围 教材 P104第 5 题已知2xy20 x2y403xy30当 x、y 取何值时，x2y2 取得最大值、最小值？并求其最值探究：由题意可画出不等式组所表示的可行域，如图所示因为 x2y2 是点(x，y)到原点的距离的平方，所以当x2y40，3xy30，即 x2，y3 时，x2y2 最大，且最大值为 13.又易知 x2y2 的最小值为原点到直线 BC 的距离的平方，为45.例 2 已知实数 x，y 满足约束条件2xy20，x2y40，3xy30.试求 zy1x1的最大值和最小值解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由于 zy1x1y
9、1x1，故 z 的几何意义是点(x，y)与点 M(1，1)连线的斜率，因此y1x1的最值是点(x，y)与点 M(1，1)连线的斜率的最值，由图可知，直线 MB 的斜率最大，直线 MC 的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC12.z 的最大值为 3，最小值为12.方法技巧 非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果(2)常见代数式的几何意义主要有：x2y2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离
10、；xa2yb2表示点(x，y)与点(a，b)的距离yx表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，ybxa表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键延伸探究 4.若本例条件不变，把目标函数改为 z3y12x1，求 z 的取值范围解析：z32y13x12，设 ky13x12表示(x，y)与点 M(12，13)斜率kMB21312143，kMC1311229.zmax32143 7，zmin322913.z 的范围为13，75若本例条件不变，求 z x12y12的取值范围解析：x12y12表示点(x，y)与点 M(1，1)的距离zmax|
11、MA|2123125.由于 kMC12，故直线 MC 与边界线 2xy20 垂直故 zmin|MC|11212 5.探究三 已知目标函数的最值求参数例 3 若实数 x，y 满足不等式组x20，y10，x2ya0，目标函数 tx2y 的最大值为 2，则实数 a 的值是_解析 如图，由x2，x2ya0.得x2，ya22，代入 x2y2 中，解得 a2.答案 2方法技巧 含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可
12、变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值跟踪探究 1.已知 x，y 满足约束条件xy0，xy2，y0.若 zaxy 的最大值为 4，则 a()A3 B2C2 D3解析：作出可行域如图当 a0 时，显然 zaxy 的最大值不为 4；当 a0 时，zy 在 B(1,1)处取得最大值为 1，不符合题意；当 0a1 时，zaxy 在 B(1,1)处取得最大值，zmaxa14，故 a3，舍去；当 a1 时，zxy 的最大值为 2；当 a1 时，zaxy 在 A(2,0)处取得最大值，zmax2a4，得 a2，符合题意综上，a2.答案：B探究四 简单的线性规划问题的实际
13、应用教材 P8890的例 5、例 6、例 7方法步骤：(1)列出约束条件和目标函数(2)利用线性规划求最值、最优解例 4 某公司仓库 A 存有货物 12 吨，仓库 B 存有货物 8 吨，现按 7 吨、8 吨和 5 吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店从仓库 A 运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为 8 元、6 元、9 元；从仓库 B 运货到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为 3 元、4 元、5 元问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解析 将已知数据列成下表：商店每吨运费仓库甲乙丙A869B345设仓库 A 运给甲、乙商店的货物分别为 x 吨，y 吨，
14、则仓库 A 运给丙商店的货物为(12xy)吨，从而仓库 B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7x)吨、(8y)吨、5(12xy)(xy7)吨，于是总运费为z8x6y9(12xy)3(7x)4(8y)5(xy7)x2y126.线性约束条件为 12xy0，7x0，8y0，xy70，x0，y0，即xy12，0 x7，0y8，xy7，目标函数为 zx2y126.作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中阴影部分所示作出直线 l：x2y0，把直线 l 平行移动，显然当直线 l 移动到过点(0,8)时，在可行域内，zx2y126 取得 zmin028126110，即 x0，y8 时总运费最少安排的调运
15、方案如下：仓库 A 运给甲、乙、丙商店的货物分别为 0 吨、8 吨、4 吨，仓库 B 运给甲、乙、丙商店的货物分别为 7 吨、0 吨、1 吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少方法技巧 解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答跟踪探究 2.某学校用 800 元购买两种教学用品，A 种用品每件 100 元，B 种用品每件160 元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B 应各买的件数为()A2,4 B3,3C4,2 D不确定解析：设购买 A 种用品 x 件，B 种用品 y 件，剩
16、下的钱为 z 元，则x1，y1，x，yN*，100 x160y800.求 z800100 x160y 最小时的整数解(x，y)，求得x3，y3.故要使剩下的钱最少，A，B 应各买的件数为 3,3，所以选 B.答案：B课后小结(1)画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图中操作尽可能规范(2)作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解(3)在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题素养
17、培优1弄错目标函数与直线的截距间的关系致误如果实数 x，y 满足条件xy10，y10，xy10，那么 z2xy 的最大值为_易错分析 此题易错在于没有弄清直线 y2xz 在 y 轴上的截距与 z 的关系，误以为在 y 轴上的截距最大时 z 取最大值，事实上，直线 y2xz 在 y 轴上的截距是z，因此当直线在 y 轴上的截距最大时，z 反而取最小值自我纠正 画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分)由 z2xy 可得 y2xz，因此平移直线 y2xz，当直线经过可行域中的点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，则 z 取得最大值，而 B(0，1)，所以 zmax02(1)1.答案：12忽视
18、边界线与目标函数的斜率大小若 x，y 满足约束条件5x2y180，xy45，x0，y0，求 zx2y 的最大值易错分析 由5x2y180 xy45，得x30y15，即 B(30,15)不比较 zx2y，xy450,5x2y1800 的斜率而认为过(30,15)为最优解自我纠正 由5x2y180 xy45x0，y0得可行域如图由于12152.zx2y 过点 A(0,45)时 zmax24590.3盲目代入边界点求最值若 x，y 满足条件x1xy102xy20求 zxy 的最小值易错分析 由x1xy10 得点 A(1,2)，由x12xy20 得 B(1,0)由xy102xy20 得 C(3,4)为区域的边界点zxy 过点(1,0)时最小，zmin1，此题易错在不分析具体可行域，盲目代入边界点自我纠正 由不等式组得可行域当 zxy 过点 A(1,2)时，z 最小zmin123.04 课时 跟踪训练
