1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十八)直线与圆的方程的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.10B.20C.30D.40【解析】选B.圆心坐标是(3,4),半径是5,圆心到点(3,5)的距离为1.根据题意最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直,故最短弦的长为2=4,所以四边形ABCD的面积为|AC|BD|=104=20.2.已知点A(-1
2、,1)和圆C:(x-5)2+(y-7)2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是()A.6-2B. 8C.4D.10【解析】选B.点A关于x轴的对称点A(-1,-1),A与圆心(5,7)的距离为=10.所以所求最短路程为10-2=8.3.某圆拱桥的示意图如图所示,该圆拱的跨度AB是36m,拱高OP是6m,在建造时,每隔3m需用一个支柱支撑,则支柱A2P2的长为()A.(12-24)mB.(12+24)mC.(24-12)mD.不确定【解析】选A.如图,以线段AB所在的直线为x轴,线段AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,那么点A,B,P的坐标分别为(-18,0),(18,0),(0
3、,6).设圆拱所在的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.因为A,B,P在此圆上,故有解得故圆拱所在圆的方程是x2+y2+48y-324=0.将点P2的横坐标x=6代入上式,结合图形解得y=-24+12.故支柱A2P2的长约为(12-24)m.【方法锦囊】建立适当的直角坐标系应遵循三点原则若曲线是轴对称图形,则可选它的对称轴为坐标轴;常选特殊点作为直角坐标系的原点;尽量使已知点位于坐标轴上.4.圆C:(x-4)2+(y-4)2=4与直线y=kx的交点为P,Q,原点为O,则|OP|OQ|的值为()A.2B.28C.32D.由k确定【解题指南】由平面几何知识可知|OP|OQ|等于过O点圆的切线
4、长的平方.【解析】选B.如图,过原点O作C的切线OA,连结AC,OC,在RtOAC中,|OA|2=|OC|2-r2=32-4=28,由平面几何知识可知,|OP|OQ|=|OA|2=28.5.若P(x,y)在圆(x+3)2+(y-3)2=6上运动,则的最大值等于()A.-3+2B.-3+C.-3-2D.3-2【解析】选A.设=k,则y=kx.当直线y=kx与圆相切时,k取最值.所以=,解得k=-32.故的最大值为-3+2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.一条光线从点A(7,2)射入,经过x轴上点P反射后,通过圆B:(x+3)2+(y-3)2=25的圆心,则反射点P的坐标为_.【解析】B关于
5、x轴的对称点B(-3,-3).直线AB:=,即5x-35=10y-20,即5x-10y-15=0,所以直线AB与x轴交点为(3,0),所以反射点坐标为(3,0).答案:(3,0)【延伸探究】若把题干中“通过圆B:(x+3)2+(y-3)2=25的圆心”改为“与圆B:(x+3)2+(y-3)2=25相切”,则反射点的坐标为_.【解析】圆B:(x+3)2+(y-3)2=25关于x轴对称的圆的方程为圆B:(x+3)2+(y+3)2=25.设入射光线的方程为y-2=k(x-7)即kx-y-7k+2=0,又圆心B(-3,-3)到kx-y-7k+2=0的距离等于半径5,所以=5,所以k=或k=0(舍),所
6、以入射光线的方程为x-y-=0,所以入射光线与x轴交点为,所以反射点坐标为.答案:7.过点A(11,2)作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦,其中弦长为整数的共有_条.【解析】方程化为(x+1)2+(y-2)2=132,圆心为(-1,2),到点A(11,2)的距离为12,最短弦长为10,最长弦长为26,所以所求弦长为整数的条数为2+2(25-11+1)=32.答案:328.(2015烟台高一检测)已知直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9相交于E,F两点,圆心为点C,则CEF的面积等于_.【解析】因为圆心C(2,-3)到直线的距离为d=,又R=3,所以|EF|=2=4.所
7、以SCEF=|EF|d=2.答案:2三、解答题(每小题10分,共20分)9.某公园有A,B两个景点,位于一条小路(直道)的同侧,分别距小路km和2km,且A,B景点间相距2km(A在B的右侧),今欲在该小路上设一观景点,使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果,则观景点应设在何处?【解析】所选观景点应使对两景点的视角最大.由平面几何知识可知,该点应是过A,B两点的圆与小路所在的直线相切时的切点.以小路所在直线为x轴,B点在y轴上建立空间直角坐标系(如图).则B(0,2),A(,).设过A,B两点且与x轴相切的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=b2(b0),因为圆心在AB中垂线上,且中垂
8、线方程是x-y+=0,所以所以或由实际意义知应舍去,所以圆的方程为x2+(y-)2=2,与x轴的切点即原点,所以观景点应设在B景点在小路上的射影处.10.有相距100km的A,B两个批发市场,商品的价格相同,但在某地区居民从两地运回商品时,A地的单位距离的运费是B地的2倍.问怎样确定A,B两批发市场的售货区域对当地居民有利?【解析】建立以AB所在直线为x轴,AB中点为原点的直角坐标系,则A(-50,0),B(50,0).设P(x,y),由2|PA|=|PB|,得x2+y2+x+2500=0,所以在圆x2+y2+x+2500=0内到A地购物合算;在圆x2+y2+x+2500=0外到B地购物合算;
9、在圆x2+y2+x+2500=0上到A,B两地购物一样合算.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.若曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围为()A.B.C.D.【解题指南】画出曲线y=1+及直线y=k(x-2)+4的图象,利用数形结合求k的取值范围.【解析】选D.如图,曲线y=1+表示上半圆,直线y=k(x-2)+4过定点P(2,4),且A(-2,1).因为kPA=,PC与半圆相切,所以易求kPC=,所以k.2.由y=|x|和圆x2+y2=4所围成的较小扇形的面积是()A.B.C.D.【解析】选B.由题意围成的面积为圆面积的,所以S=r2=,故选
10、B.二、填空题(每小题5分,共10分)3.直线2x-y=0与圆C:(x-2)2+(y+1)2=9交于A,B两点,则ABC(C为圆心)的面积等于_.【解析】因为圆心到直线的距离d=,所以|AB|=2=4,所以SABC=4=2.答案:24.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是_.【解析】由题意知,圆心(0,0)到直线的距离小于1,即1,|c|13,-13c13.答案:(-13,13)三、解答题(每小题10分,共20分)5.AB为圆的定直径,CD为直径,自D作AB的垂线DE,延长ED到P,使|PD|=|AB|,求证:
11、直线CP必过一定点.【证明】以线段AB所在的直线为x轴,以AB中点为原点,建立直角坐标系,如图,设圆的方程为x2+y2=r2,直径AB位于x轴上,动直径为CD.令C(x0,y0),则D(-x0,-y0),所以P(-x0,-y0-2r).所以直线CP的方程为y-y0=(x-x0),即(y0+r)x-(y+r)x0=0.所以直线CP过直线:x=0,y+r=0的交点(0,-r),即直线CP过定点(0,-r).6.(2014江苏高考)如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和
12、A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tanBCO=.(1)求新桥BC的长.(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?【解析】(1)以OC,OA为x,y轴,向东和向北为正方向建立直角坐标系,则C(170,0),A(0,60).由题意,kBC=-,直线BC的方程为y=-(x-170),又kAB=-=,故直线AB方程为y=x+60.由解得即B(80,120),所以|BC|=150(m).(2)设OM=t,即M(0,t),0t60,由(1)直线BC的一般方程为4x+3y-680=0,圆M的半径为r=,由题意要求由于0t60,因此r=136-t,所以所以10t35,所以当t=10时,r取得最大值130m,此时圆的面积最大.关闭Word文档返回原板块
