1、2021年四川省绵阳市南山中学高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（每小题5分）.1复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i2已知全集Ua，b，c，d，e，Ac，d，e，Ba，b，e，则集合a，b可表示为（）AABB（UA）BC（UB）ADU（AB）3（文）某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取（）A65人，150人，65人B30人，150人，100人C93人，94人，93人D80人，120人
2、，80人4下列命题中假命题是（）A离心率为的双曲线的两条渐近线互相垂直B过点（1，1）且与直线垂直的直线方程是2x+y30C抛物线y22x的焦点到准线的距离为1D的两条准线之间的距离为5直线经过A（2，1），B（1，m2）两点（mR），那么直线l的倾斜角的取值范围是（）A0，）B0，（，）C0，D，）（，）6、是平面内不共线的两向量，已知k，2+，3，若A、B、D三点共线，则k的值是（）A1B2C3D47点P是抛物线y24x上一动点，则点P到点A（0，1）的距离与到直线x1的距离和的最小值是（）ABC2D8若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A，+）B（0，1C1，D（0
3、，1，+）9不等式x22x+m0在R上恒成立的必要不充分条件是（）Am2B0m1Cm0Dm110函数f（x）Asin（x+）+b的图象如图，则f（x）的解析式和Sf（0）+f（1）+f（2）+f（2006）的值分别为（）A，S2006B，C，D，S200711已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A1B1C1D112设f（x）|ln（x+1）|，已知f（a）f（b）（ab），则（）Aa+b0Ba+b1C2a+b0D2a+b1二、填空题（每小题5分）.13在区间（0，3）上任取一个实数a则不等式log2（4a1）0成立的
4、概率是 14在如图所示的程序框图中，若输入的t2，3，则输出的s的取值范围是 15与圆x2+（y2）21相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有 条16已知F2为椭圆mx2+y24m（0m1）的右焦点，点A（0，2），点P为椭圆上任意一点，且|PA|PF2|的最小值为，则m 三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为（1）求数列an的通项公式；（2）设bn（an+1）2an，求数列bn的前n项和Tn18某数学老师在其任教的甲、乙两个班级中各抽取30名学生进行测试，分数分布如表：分数区间甲班人数乙班人数0，
5、30）3630，60）6660，90）91290，120）63120，15063（1）若成绩在120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生中，随机任取2名学生，恰有1名为优秀的概率；（2）根据以上数据完成下面的22列联表，则在犯错的概率不超过0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生的数字成绩优秀与否和班级有关？优秀不优秀总计甲班乙班总计19设函数f（x）2sinxcos2+cosxsinsinx（0）在x处取得最小值（1）求的值；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a1，b，f（A），求角C20设抛物线C：y22px（p0）的焦点
6、为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|8，线段AB的中点到y轴的距离为3（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l2与圆O：x2+y2切于点P，与抛物线C切于点Q，求FPQ的面积21已知函数f（x）lnx，g（x）ex1+alnx，其中e2.71828，aR（）证明：xe是函数f（x）的唯一零点；（）当a2且x1时，试比较|f（x）|和|g（x）|的大小，并说明理由22极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知曲线C1的极坐标方程为2sin（+），曲线C2的极坐标方程为sina（a0），射线，+，+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、
7、C、D（）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（）求|OA|OC|+|OB|OD|的值23（1）若关于x的不等式|2014x|+|2015x|d有解，求实数d的取值范围（2）不等式|x+|a2|+siny对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（每小题5分）.1复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A1+iB1iC1+iD1i解：化简可得z1+i，z的共轭复数1i故选：B2已知全集Ua，b，c，d，e，Ac，d，e，Ba，b，e，则集合a，b可表示为（）AABB（UA）BC（UB）ADU（AB）解：全集Ua，b，c，d，e，Ac，
8、d，e，Ba，b，e，UAa，bUBc，dABa，b，c，d，eABe故A错误；（UA）Ba，b，故B正确；（UB）Ac，d，故C错误；U（AB），故D错误故选：B3（文）某全日制大学共有学生5600人，其中专科有1300人、本科有3000人、研究生1300人，现采用分层抽样的方法调查学生利用因特网查找学习资料的情况，抽取的样本为280人，则应在专科生、本科生与研究生这三类学生中应分别抽取（）A65人，150人，65人B30人，150人，100人C93人，94人，93人D80人，120人，80人解：每个个体被抽到的概率为，专科生被抽的人数是本科生要抽取150，研究生要抽取故选：A4下列命题中假
9、命题是（）A离心率为的双曲线的两条渐近线互相垂直B过点（1，1）且与直线垂直的直线方程是2x+y30C抛物线y22x的焦点到准线的距离为1D的两条准线之间的距离为解：对于A：设双曲线方程为，则双曲线的渐近线方程为yx根据离心率为，推断出其斜率之积为1进而两条渐近线互相垂直，故正确；B：设所求的直线方程为2x+y+c0，把点（1，1）的坐标代入得 2+1+c0，c3，故所求的直线的方程为2x+y30，故正确；C：根据题意可知焦点F（，0），准线方程x，焦点到准线的距离是1，故正确D：a3，b5，c241，两准线间的距离为故错故选：D5直线经过A（2，1），B（1，m2）两点（mR），那么直线l的
10、倾斜角的取值范围是（）A0，）B0，（，）C0，D，）（，）解：直线过A（2，1），B（1，m2）两点（mR），直线l的斜率为k1m21，tan1，且0，）；倾斜角的取值范围是0，（，）故选：B6、是平面内不共线的两向量，已知k，2+，3，若A、B、D三点共线，则k的值是（）A1B2C3D4解：A，B，D三点共线，与共线，存在实数，使得；3e1e2（2e1+e2）e12e2，e1ke2（e12e2），e1、e2是平面内不共线的两向量，解得k2故选：B7点P是抛物线y24x上一动点，则点P到点A（0，1）的距离与到直线x1的距离和的最小值是（）ABC2D解：设A（0，1），由y24x得p2，1，
11、所以焦点为F（1，0），准线x1，过P作PN 垂直直线x1，根据抛物线的定义，抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离，所以有|PN|PF|，连接F、A，有|FA|PA|+|PF|，所以P为AF与抛物线的交点，点P到点A（0，1）的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为|FA|，故选：D8若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（）A，+）B（0，1C1，D（0，1，+）解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（），由图可知，当直线x+ya过A（1，0）时，不等式组所表示的平面区域为OAC，此时a1；当当直线x+ya过B（）时，不等式组所表示的平面区域为OAB，此时a若不等
12、式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（0，1，+）故选：D9不等式x22x+m0在R上恒成立的必要不充分条件是（）Am2B0m1Cm0Dm1解：当不等式x22x+m0在R上恒成立时，44m0，解得m1；所以m1是不等式恒成立的充要条件；m2是不等式成立的充分不必要条件；0m1是不等式成立的既不充分也不必要条件；m0是不等式成立的必要不充分条件故选：C10函数f（x）Asin（x+）+b的图象如图，则f（x）的解析式和Sf（0）+f（1）+f（2）+f（2006）的值分别为（）A，S2006B，C，D，S2007解：观察图形，知A，b1，T4，所以f（x）sin（x+）+1，将（0，
13、1）代入解析式得出sin（0+）+11，sin0，0，所以，只知f（0）1，f（2）1，f（4）1，且以4为周期，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）4，式中共有2007项，20074501+3，f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+f（2006）4501+f（2004）11已知双曲线1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A1B1C1D1解：双曲线的一个焦点在直线l上，令y0，可得x5，即焦点坐标为（5，0），c5，双曲线1（a0，b0）的一条渐近线平行于直线l：y2x+10，2，c2a2+b2，a25，b220，双曲线的方
14、程为1故选：A12设f（x）|ln（x+1）|，已知f（a）f（b）（ab），则（）Aa+b0Ba+b1C2a+b0D2a+b1解：易知yln（x+1）在定义域上是增函数，而f（x）|ln（x+1）|，且f（a）f（b）；故ln（a+1）ln（b+1），即ab+a+b0，即（a+b）（a+b+4）0，显然1a0，b0，a+b+40，a+b0，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，20分将答案填在题中的横线上.13在区间（0，3）上任取一个实数a则不等式log2（4a1）0成立的概率是解：log2（4a1）0，04a11，解得，在区间（0，3）上任取一个实数a则不等式log2（4a1）
15、0成立的概率为：P故答案为：14在如图所示的程序框图中，若输入的t2，3，则输出的s的取值范围是10，6解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s，故当t2，0），s5t10，0），当t0，3，s2t24t2，6，综上可得输出的s取值范围是10，6故答案为：10，615与圆x2+（y2）21相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有4条解：圆的圆心（0，2）半径是1，原点在圆外，与圆x2+（y2）21相切，且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条；斜率为1的直线也有两条；共4条故答案为416已知F2为椭圆mx2+y24m（0m1）的右焦点，点A（0，2），点P为椭圆上任意一点，
16、且|PA|PF2|的最小值为，则m解：设F1（c，0），F2（c，0），由椭圆的定义可得2a|PF1|+|PF2|，即|PF2|2a|PF1|，则|PA|PF2|PA|（2a|PF1|）|PA|+|PF1|2a，|AF1|2a2a，当A，P，F1共线时，|PA|+|PF1|取得最小值2a，|PA|PF2|的最小值为，2a，椭圆mx2+y24m可化为，a2，c，m故答案为：三、解答题：本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为（1）求数列an的通项公式；（2）设bn（an+1）2an，求数列bn的前n项和Tn解：（1
17、）设数列an的公差为d，令n1，得，所以a1a23令n2，得+，所以a2a315解得a11，d2，an2n1，（2）bn（an+1）2an（2n+11）2（2n1）8n24nTnb1+b2+bn，8（12+22+32+n2）4（1+2+3+n），8418某数学老师在其任教的甲、乙两个班级中各抽取30名学生进行测试，分数分布如表：分数区间甲班人数乙班人数0，30）3630，60）6660，90）91290，120）63120，15063（1）若成绩在120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的成绩在90分以上（含90分）的学生中，随机任取2名学生，恰有1名为优秀的概率；（2）根据以上数据
18、完成下面的22列联表，则在犯错的概率不超过0.1的前提下，是否有足够的把握认为学生的数字成绩优秀与否和班级有关？优秀不优秀总计甲班乙班总计解：（1）乙班成绩优秀有3人，记为A、B、C，成绩在90分以上（含90分）到120分的学生有3人，记为d、e、f，从这6人中随机任取2人，基本事件为：AB、AC、Ad、Ae、Af、BC、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf、de、df、ef共15种，恰有1人为优秀的事件为：Ad、Ae、Af、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf共9种，故所求的概率是P；（2）根据题意填写列联表如下，优秀不优秀总计甲班62430乙班32730总计95160计算K21.1762.70
19、6，所以在犯错的概率不超过0.1的前提下，没有足够的把握认为学生的数字成绩优秀与否和班级有关19设函数f（x）2sinxcos2+cosxsinsinx（0）在x处取得最小值（1）求的值；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a1，b，f（A），求角C【解答】解析：（1）首先化简原函数f（x）sinx（1+cos）+cosxsinsinxsinxcos+cosxsinsin（x+），由f（）sin（+）sin1，又0，解得，（2），由正弦定理得，当时，当时20设抛物线C：y22px（p0）的焦点为F，过点F的直线l1交抛物线C于A，B两点，且|AB|8，线段AB的中点到y轴
20、的距离为3（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l2与圆O：x2+y2切于点P，与抛物线C切于点Q，求FPQ的面积解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点坐标为，由题意知3，x1+x26，又|AB|x1+x2+p8，p2，抛物线C的方程为：y24x（2）设直线l2：ykx+m，由l2与圆O相切，得：，2m21+k2，联立方程，消去y得：k2x2+（2km4）x+m20 （*），直线l2与抛物线C相切，（2km4）24k2m20，km1 ，由得：km1，方程（*）为：x22x+10，解得x1，Q（1，2），|PQ|，此时直线l2的方程为yx+1或yx1，F（1，0）到直线l2的
21、距离为d，SPQF|PQ|d21已知函数f（x）lnx，g（x）ex1+alnx，其中e2.71828，aR（）证明：xe是函数f（x）的唯一零点；（）当a2且x1时，试比较|f（x）|和|g（x）|的大小，并说明理由解：（）f（x）0在（0，+）恒成立，f（x）在（0，+）上是减函数，又f（e）0，当0xe时，f（x）0；当xe时，f（x）0，xe是f（x）的唯一零点（）当1xe时，设，则，m（x）在1，+）上为减函数，m（x）m（1）e1a，a2，m（x）0，|f（x）|g（x）|当xe时，设n（x）2lnxex1a，则，n（x）ex10，n（x）在（e，+）上为减函数，n（x）在（e，+
22、）上为减函数，n（x）n（e）2aee10，|f（x）|g（x）|综上，当a2，x1时，|f（x）|g（x）|22极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴已知曲线C1的极坐标方程为2sin（+），曲线C2的极坐标方程为sina（a0），射线，+，+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D（）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（）求|OA|OC|+|OB|OD|的值解：（）曲线C1的极坐标方程为2sin（+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x1）2+（y1）22把C2的方程化为直角坐标方程为ya，曲线C1
23、关于曲线C2对称，故直线ya经过圆心（1，1），解得a1，故C2的直角坐标方程为y1（）由题意可得，23（1）若关于x的不等式|2014x|+|2015x|d有解，求实数d的取值范围（2）不等式|x+|a2|+siny对一切非零实数x，y均成立，求实数a的取值范围解：（1）关于x的不等式|2014x|+|2015x|d有解，d（|2014x|+|2015x|）min|2014x|+|2015x|2014x2015+x|1，d1，即d的取值范围为1，+）（2）x+（，22，+），|x+|2，+），即|x+|的最小值为2，且siny的最大值为1，不等式|x+|a2|+siny恒成立，|a2|（|x+|siny）min，即|a2|1，1a3，即 a的取值范围为1，3
