1、1.2利用二分法求方程的近似解A级必备知识基础练1.已知函数f(x)=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)上的近似解的过程中得到f(1)0,f(1.25)0),在用二分法寻找零点的过程中,依次确定了零点所在的区间为0,a2,0,a4,0,a8,则下列说法正确的有()A.函数f(x)在区间0,a16内可能有零点B.函数f(x)在区间a16,a8内可能有零点C.函数f(x)在a16,a内无零点D.函数f(x)的零点可能是a166.(多选题)某同学求函数f(x)=ln x+2x-6的零点时,用计算器算得部分函数值,如表所示:f(2)-1.307f(3)1.099f(2.5
2、)-0.084f(2.75)0.512f(2.625)0.215f(2.562 5)0.066则方程ln x+2x-6=0的近似解(精确度0.1)可取为()A.2.52B.2.56C.2.66D.2.757.根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数根所在的区间为(k,k+1)(kN),则k的值为.x-10123ex0.3712.727.3920.09x+2123458.如图,一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A,B),如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致,要想检验出哪一处的焊口脱落,则至多需要检测次.9.用二分法求函数f(x)=3x-x-4的一个零点,其参考
3、数据如下:f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 25)-0.029f(1.550 0)-0.060根据上述数据,可得f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值(精确度0.01)为.10.用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.1).B级关键能力提升练11.(多选题)若函数f(x)的图象是连续的,且函数f(x)的唯一零点同在(0,4),(0,2),1,32,54,32内,则与f(0)符号不同的是()A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f3212.(2022安徽宿州高一期末)已知函数f(x
4、)=2x-3x在区间(1,2)上有一个零点x0,如果用二分法求x0的近似值(精确度为0.01),则应将区间(1,2)至少等分的次数为()A.5B.6C.7D.813.已知f(x)=1x-ln x在区间(n,n+1)(nZ)上有一个零点x0,则n=,若用二分法求x0的近似值(精确度0.1),则至少需将区间等分次.14.求方程3x+xx+1=0的近似解(精确度0.1).15.已知方程2x+2x=5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间;(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1).参考数值:x1.187 51.1251.251.312 51.3751.52x2.2782.1812.3782.48
5、42.5942.8316.某公司生产A种型号的电脑,2018年平均每台电脑的生产成本为5 000元,并按纯利润为20%定出厂价.2019年开始,公司更新设备,加强管理,逐步推行股份制,从而使生产成本逐年降低,2022年平均每台A种型号的电脑出厂价仅是2018年的80%,实现了纯利润50%.(1)求2022年每台A种型号电脑的生产成本;(2)以2018年的生产成本为基数,用二分法求20182022年间平均每年生产成本降低的百分率(精确度0.01).C级学科素养创新练17.已知函数f(x)=13x3-x2+1.(1)证明方程f(x)=0在区间(0,2)内有实数解;(2)请使用二分法,取区间的中点二
6、次,指出方程f(x)=0,x0,2的实数解x0在哪个较小的区间内.1.2利用二分法求方程的近似解1.Bf(1)0,f(1.25)0,f(1.25)f(1.5)0,因此方程的解落在区间(1.25,1.5)内,故选B.2.ACDf(x)=x2-4x+4=(x-2)2,f(2)=0,当x0,当x2时,f(x)0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中在函数的零点两侧函数值异号.故选ACD.3.C易知方程x2-4x+m=0有实数根,且=16-4m=0,知m=4.4.C令f(x)=lnx+3x-15,当x=4时,f(4)=ln4+34-150,所以f(4)f(5)0,所以f(x)在(4,5
7、)上有零点,即方程lnx+3x-15=0有根.所以x0=4,故选C.5.ABD根据二分法原理,依次“二分”区间后,零点应存在于更小的区间,因此,零点应在0,a16或a16,a8中,或fa16=0,故选ABD.6.AB由表格函数值在0的左右两侧,最接近的值,即f(2.5)-0.084,f(2.5625)0.066可知方程lnx+2x-6=0的近似根在(2.5,2.5625)内,因此选项A中2.52符合,选项B中2.56也符合,故选AB.7.1记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数根.由题表可知f(-1)=0.37-10,f(0)=1-20,f(1)=2.72-30
8、,f(3)=20.09-50.由零点存在性定理可得f(1)f(2)0,f(1.55625)-0.0290,即f(1.5625)f(1.55625)0,且1.5625-1.55625=0.006250.01,f(x)=3x-x-4的一个零点的近似值可取为1.5625.10.解f(1)=1-3=-20,因此可取区间1,2作为计算的初始区间,用二分法逐次计算,见下表:次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度11-225121-21.50.3750.531.25-1.04691.50.3750.2541.375-0.40041.50.3750.12551.4375-0.02951.50.375
9、0.0625从表中可知|1.5-1.4375|=0.06250.1,函数y=x3-3精确度为0.1的零点,可取1.44.11.ABD由二分法的步骤可知零点在(0,4)内,则有f(0)f(4)0,f(4)0,取中点2;零点在(0,2)内,则有f(0)f(2)0,f(2)0,取中点1;零点在(1,2)内,则有f(1)f(2)0,f(2)0,取中点32;零点在1,32内,则有f(1)f320,f320,则取中点54;零点在54,32内,则有f54f320,f320,所以与f(0)符号不同的是f(4),f(2),f32,故选ABD.12.C由于每等分一次,零点所在区间的长度变为原来的12,则等分n次后
10、的区间长度变为原来的12n,则由题可得12nlog2100,又6log21007,则至少等分的次数为7.故选C.13.14因为f(x)=1x-lnx在(0,+)上单调递减,在区间(n,n+1)(nZ)上有一个零点x0,所以零点只能有一个,又f(2)=12-ln20,所以f(2)f(1)0,所以x0(1,2),所以n=1,由题意12n10,所以n3,至少等分4次.14.解原方程可化为3x-1x+1+1=0,即3x=1x+1-1.令g(x)=3x,h(x)=1x+1-1,在同一平面直角坐标系中,分别画出函数g(x)=3x与h(x)=1x+1-1的简图.g(x)与h(x)图象的交点的横坐标位于区间(
11、-1,0),且只有一个交点,原方程只有一个解x=x0.令f(x)=3x+xx+1=3x-1x+1+1,f(0)=1-1+1=10,f(-0.5)=13-2+1=1-330,x0(-0.5,0).用二分法逐次计算,列表如下:次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度1-0.5-0.422 601.000 00.52-0.5-0.422 6-0.250.426 50.253-0.5-0.422 6-0.3750.062 30.1254-0.437 5-0.159 4-0.3750.062 30.062 5|-0.4375-(-0.375)|=0.06250.1,原方程的近似解可取为-0.43
12、75.15.解(1)令f(x)=2x+2x-5.因为函数f(x)=2x+2x-5在R上是增函数,所以函数f(x)=2x+2x-5至多有一个零点.因为f(1)=21+21-5=-10,所以函数f(x)=2x+2x-5的零点在(1,2)内.(2)用二分法逐次计算,列表如下:次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度11-1.000 023.000 0121-1.000 01.50.828 40.531.25-0.121 61.50.828 40.2541.25-0.121 61.3750.343 70.12551.25-0.121 61.312 50.108 70.062 5因为|1.375
13、-1.25|=0.1250.1,且|1.3125-1.25|=0.06250.1,所以函数的零点近似值可取1.3125,即方程2x+2x=5的近似解为1.3125.16.解(1)设2022年每台A种型号电脑的生产成本为p元,根据题意,得(1+50%)p=5000(1+20%)80%,解得p=3200.故2022年每台A种型号电脑的生产成本为3200元.(2)设20182022年间平均每年生产成本降低的百分率为x(0x0,f(2)=-130,f(0)f(2)=-130,由此可得f(1)f(2)0,下一个有解区间为(1,2),取x2=12(1+2)=32,得f32=-180,由f(1)f320,则下一个有解区间为1,32.综上所述,实数解x0在较小区间1,32内.
