1、第4讲简单的三角恒等变换三角函数式的化简学生用书P69典例引领化简：(1)(0)；(2).【解】(1)原式.因为0，所以00.所以原式cos .(2)原式.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，这是最重要的一个环节，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等 通关练习1化简：_解析 tan .答案 tan 2化简：_.解析 原式cos 2x.答案 cos 2x三角函数式的求值(高频考点)学
2、生用书P69三角函数的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小高考对三角函数求值的考查主要有以下三个命题角度：(1)给值求值；(2)给角求值；(3)给值求角典例引领(1)sin 10的值为()ABC D(2)(2017湖北省教学合作联考)已知tan，且0，则()A BC D(3)设，为钝角，且sin ，cos ，则的值为()A BC D或【解析】(1)原式sin 10sin 10sin 102cos 10.(2)因为tan，所以tan ，因为0.又(，2)，所以，所以.【答案】(1)B(2)A(3)C三角函数求值的三种情况(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊
3、角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角 题点通关 角度一给值求值1已知sinsin ，则sin的值是()A BC DD解析 sinsin sin cos cos sin sin sin cos sin cos ，故sinsin cos cos sin . 角度二给角求值2sin 50
4、(1tan 10)_.解析 sin 50(1tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50sin 501.答案 1 角度三给值求角3已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_解析 因为tan tan()0，所以00，所以02，所以tan(2)1.因为tan 0，所以，20，所以2.答案 三角恒等变换的综合问题学生用书P70典例引领如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式；(2)求S的最大值及相应的角【解
5、】(1)分别过P，Q作PDOB于点D，QEOB于点E，则四边形QEDP为矩形由扇形半径为1 m，得PDsin ，ODcos .在RtOEQ中，OEQEPD，MNQPDEODOEcos sin ，SMNPDsin sin cos sin2，.(2)Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin，因为，所以2，sin.当时，Smax(m2)(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题 如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABC
6、D开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？解 连接OB，设AOB，则ABOBsin 20sin ，OAOBcos 20cos ，且.因为A，D关于原点对称，所以AD2OA40cos .设矩形ABCD的面积为S，则SADAB40cos 20sin 400sin 2.因为，所以当sin 21，即时，Smax400(m2)此时AODO10(m)故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2., 学生用书P70)化简三角函数式(
7、一题多解)化简sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2.【解】法一：原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2sin2cos2sin2sin2(sin2cos2)cos2(sin2cos2)sin2cos21.法二：原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2cos 2.法三：原式sin2sin2(1sin2)cos2co
8、s 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)cos 2cos 2cos2sin2cos 2cos 2cos 2cos2cos 2cos 2cos 2.本题给出了三种不同方法，其解题思路是异角化同角，复角化单角，异次化同次等，化简要求是项数尽量少，次数尽量低，函数种类尽量少，能求值的必须求出函数值，数值结果也要化为最简形式本题若是选择题或填空题，可令0，此题即可解决已知cos，若x，求的值解 法一：由x，得x2.又cos，所以sin，所以cos xcoscoscos sinsin.从而sin x，tan x7.则.法二：由法一得tan.又sin 2xcoscos 22cos211.则si
9、n 2xsin 2xtan., 学生用书P255(独立成册)1计算的值为()ABC DB解析 .2已知cos，则cos xcos()A BC1 D1C解析 因为cos，所以cos xcoscos xcos xcossin xsincos xsin xcos1.3已知sin，cos 2，则sin ()A BC DC解析 由sin得sin cos ，由cos 2得cos2sin2，所以(cos sin )(cos sin )，由可得cos sin ，由可得sin .4已知、均为锐角，且tan ，则tan()()A BC D1D解析 因为tan ，所以tan tan.又、均为锐角，所以，即，所以ta
10、n()tan 1.5已知sin，则cos的值是()A BC DD解析 因为sin，所以coscos12sin2，所以coscoscoscos.6已知sin ，sin()，均为锐角，则角等于()A BC DC解析 因为，均为锐角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.7设是第二象限角，tan ，且sin cos ，则cos _解析 因为是第二象限角，所以可能在第一或第三象限又sin cos ，所以为第三象限角，所以cos 0.因为tan ，所以cos ，所以cos .答案 8若tan 4，则sin 2_.解
11、析 法一：因为tan 4，所以4tan 1tan2，所以sin 22sin cos .法二：因为tan ，所以4，故sin 2.答案 9已知cos4sin4，且，则cos_.解析 因为cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2，又，所以2(0，)，所以sin 2，所以coscos 2sin 2.答案 10(2017济南模拟)设，且5sin 5cos 8，sin cos 2，则cos()的值为_解析 由5sin 5cos 8，得sin，因为，所以cos.又，由已知得sin.所以cos.所以cos()sinsinsincoscossin.答案 11已知0，cos，sin()
12、.(1)求sin 2的值；(2)求cos的值解 (1)法一：因为coscoscos sinsin cos sin ，所以cos sin ，所以1sin 2，所以sin 2.法二：sin 2cos2cos21.(2)因为0，所以，0，cos()0，因为cos，sin()，所以sin，cos().所以coscoscos()cossin()sin.124cos 50tan 40()A BC D21C解析 4cos 50tan 404sin 40.13(2017合肥模拟)已知coscos，.(1)求sin 2的值；(2)求tan 的值解 (1)因为coscoscossinsin，所以sin.因为，所以2，所以cos，所以sin 2sinsincoscossin.(2)因为，所以2，又由(1)知sin 2，所以cos 2.所以tan 22.14已知0，tan ，cos().(1)求sin 的值；(2)求的值解 (1)因为tan ，所以tan .由解得sin (sin 舍去)(2)由(1)知cos ，又0，所以(0，)，而cos().所以sin()，于是sin sin()sin cos()cos sin ().又，所以.
