1、圆锥曲线与方程考点分析山东平邑曾子学校 阎洪叶【复习点拨】 圆锥曲线部分内容多、难度大、综合性强，为了提高学生的复习效率和复习质量，首先应抓住解析几何的特点即熟悉平面几何的性质，以坐标法为桥梁，用代数法来研究处理集合问题，复习时应重点突破以下内容：1 深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义，能灵活运用定义解题；2 要熟练掌握各类圆锥曲线的标准方程、图象、几何性质，加强对基础知识的训练；3 要加强思想方法和能力的训练用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质，要掌握反映解析几何问题的基本方法；4 要掌握求曲线方程的一般方法；直线与圆锥曲线的位置关系的判定；求弦长、对称等问题的解法；求有关参数
2、范围的常用方法。【题型预测】圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点，也是历年高考命题的热点 。客观题重点考查圆锥曲线的定义及应用；圆锥曲线的标准方程；圆锥曲线的基本量（a、b、c、e、p等）还有离心率等问题。解答题考查的热点是：求圆锥曲线的方程和轨迹方程；圆锥曲线的的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系；范围、最值问题。许多试题虽以圆锥曲线形式出现，但要解决它，还需要涉及到函数、不等式、方程、三角、向量、导数等有关知识的综合应用。【考点分析】考点一、圆锥曲线的标准方程求圆锥曲线的标准方程主要有两种方法，一是待定系数法，其步骤是：（1）定位，确定曲线的焦点在哪个坐标轴上；（2）设方程，根据
3、焦点的位置设出相应的曲线的方程；（3）定值，根据题目条件确定相关的系数。另一种方法是定义法，根据题目的条件，判断是否满足圆锥曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c、p即可求得方程。例1、已知双曲线的两个焦点为F1、F2，离心率为，且经过点（，-），求双曲线的标准方程分析：由离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，但焦点在x轴还是y轴不确定，故可用x-y（）来假设其标准方程，由点（，-）可求得方程解析：（1）因为双曲线的离心率为，所以双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x-y（），由双曲线过点（，-），得42-(-)2=,即=6。所以双曲线的标准方程为。点评：本题主要考查双曲线的标准方程、性质。求双曲线
4、方程时，若焦点所在坐标轴不确定，则标准方程的形式也不能确定，通常要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设满足某条件的双曲线系的标准方程，用待定系数法求解，如等轴双曲线可设为x-y（）。渐进线为的双曲线系可设为。例2、点M(x,y)在运动过程中，总满足关系式，点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程。思路分析：如果将关系式整理，通过化简后的方程来指出曲线形状，则会比较复杂。这里观察式子的特点发现两个根号实际上是两点间的距离公式，根据几何意义，可以用定义求解。解：即为设F1(0,1)，F2(0,-1)，则|MF1|+MF2|=4，即动点M到两定点F1,F2的距离之和为定植2a=4，且2a|F1F2|
5、=2，所以点M的轨迹是椭圆，且椭圆的焦点为F1(0,1)，F2(0,-1)。所以2c=2,c=12a=4,a=2所以点M的轨迹方程为点评：（1）将代数式转化为几何意义，结合椭圆的定义解题，是本题快速突破的关键；（2）本题还可以将所给的代数式整理，由化简后的方程指出轨迹。考点二、圆锥曲线的离心率求离心率e的值，要寻找a、b、c之间的另一等量关系；求e的取值范围，则要寻求a、b、c之间的不等式关系，再由不等式求解，有时还要适当利用放缩法，体现了方程和不等式的数学思想。例3、（2004年全国）双曲线(a1,b0)的焦距为2c，直线过点(a,0)和（0,b），且点（1，0）到直线的距离与点（-1，0）
6、的到直线的距离之和s,求双曲线的离心率e的取值范围。分析：首先求出s，将不等式s转化为a、b、c的关系，将b用a、c表示，再由e=即可化为e的关系式，进而求出e的范围。解析：直线的方程为，即bx+ay-ab=0，由点到直线的距离公式，且a1，得到点1，0）到直线的距离d1=,同理得到点（-1，0）的到直线的距离d2=,s=d1+d2=,由s，得，即5a2c2.于是得5a2e2，即4e4-25e2+250,解不等式得，由于e10，所以e的取值范围是点评：求双曲线的离心率或离心率的取值范围的常用方法有两种：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a、b、c的齐次关系式，将b用a、c表示
7、，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解，有时也可借助于圆锥曲线的统一定义求界考点三、圆锥曲线的最值问题 最值问题常见的解法有两种：代数法和几何法，若题目的条件和结论能明显体现集合特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；若题目的条件和结论难体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法，这种方法是代数法。这类问题往往是代数、几何多方面知识的渗透，函数与方程、转化与化归、分类讨论等多种思想的交叉运用，考查学生观察、分析、综合、创新等多方面的综合思维能力。xyAFPOx-1例4、设P是抛物线
8、y2=4x上的一动点，求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值。分析：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，由此对所求距离实转化。解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x=-1，由抛物线的定义知：点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离，于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(-1,1)的距离与点P到焦点F的距离之和最小。显然，连结AF交曲线于P点，故最小值为，即。点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关。由于抛物线的定义在应用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度。本题主要考查利用定义把抛物线上的点到准线的
9、距离转化为到焦点的距离，从而构造出“两点间线段最短”，使问题获解。考点四、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系有3种，相交、相切、相离，即判断直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究他们的方程组成的方程组是否有解问题。通过消元最终转化为讨论一个一元二次方程实数解的个数问题，涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系设而不求计算弦长（即运用弦长公式），涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系，设而不求简化运算。有关弦的中点的问题，常用“点差法”“设而不求”整体来求，但在求直线方程中，一定要代入原方程进行检验。例5、（2006全国）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A
10、、B是抛物线上的两动点。且（0），过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（1）证明：为定值；（2）设ABM的面积为S，写出S=f()的表达式，并求S的最小值。分析：（1）设出A、B的坐标，将交点M的坐标用A、B的坐标表示，求出数量积。（2）将面积表示成的函数，然后根据不等式求最值。解析：（1）由已知条件，得F(0,1)，0，设A(x1,y1),B(x2,y2),由，即得（-x1,1-y1）=(x2,y2-1)，所以又因为x12=4y1,x22=4y2，所以y1=,y2=,x1x2=-x22=-4y2=-4抛物线方程为y=x2,求导得y=x,所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y=x
11、1(x-x1)+y1,y=x2(x-x2)+y2,即y=x1x-x12,y=x2x-x22.解出两条切线的 交点M的坐标为(,)=(,-1)所以=(,-2)(x2-x1,y2-y1)=(x22-x12)-2(x22-x12)=0,所以为定值，其值为0。(2)由（1）知在ABM中，FMAB，因而S=|AB|FM|FM|=因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=()2于是S=|AB|FM|=()2,由2知S4，且当=1时，S取得最小值4。点评：纵观近年高考解析几何试题，与向量联系或借助向量进行求解的比比皆是，向量的坐标表示与解析几何中点的坐标恰到好处的融为一体，使解析几何与向量有机的结合在一起，不仅增加了难度还增加了灵活性。有些很难运算下去的式子，借助向量很快就可以得出结论。向量与其他知识的交汇内容是高考的重点考查内容。本题融向量的线性运算、数量积运算、导数的几何意义、基本不等式求最值、抛物线的几何性质于一体，考查了运用所学知识与方法分析、解决问题的能力。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m