1、1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图知识点一一元二次不等式的解法 判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集_Rax2bxc0)的解集_答案x|xx2x|xx|x1x0，则ST()A2,3B(，23，)C3，)D(0,23，)解析：集合S(，23，)，结合数轴，可得ST(0,23，)答案：D2不等式0的解集为()A.B.C.1，)D.1，)解析：由数轴标根法可知原不等式的解集为，选
2、A.答案：A3设一元二次不等式ax2bx10的解集为x|1x0的解集为x|1x0(a0)恒成立的充要条件是：_(xR)2ax2bxc0的解集为R，则m的取值范围是_解析：当m0时，10显然成立当m0时，由条件知得0m1，由知0m1.答案：0,1)5不等式x2ax40的解集不是空集，则实数a的取值范围是_解析：不等式x2ax40，即a216，a4或a0；(2)12x2axa2(aR)；(3)1(a0)【解】(1)原不等式可化为2x24x30.又判别式424230(4xa)(3xa)0(x)(x)0，当a0时，解集为x|x；当a0时，x20，解集为x|xR且x0；当a，解集为x|x(3)100(a
3、1)x2a(x2)0.当a1时，不等式的解为x2.当a1时，关键是(a1)的符号和比较与2的大小2，又a0.当0a2，不等式的解为2x1时，2，不等式的解为x2.综上所述，当0a1时，原不等式的解集为x|2x2；当a1时，原不等式的解集为x|x2.【总结反思】(1)解决二次问题的关键：一是充分利用数形结合；二是熟练进行因式分解(2)通过解题程序，适时合理地对参数进行分类讨论(3)应善于把分式不等式转化为整式不等式.解下列不等式：(1)00(a0)解：(1)原不等式等价于借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或20知(x5a)(xa)0.由于a0故分a0与a0讨论当a0时，xa；当a0
4、时，x5a.综上，a0时，解集为x|xa；a0时，解集为x|x5a或xa热点二 一元二次不等式恒成立问题 考向1形如f(x)0(xR)恒成立问题【例2】已知不等式mx22xm10，是否存在实数m对所有的实数x，不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由【解】不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，12x，不满足题意；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足开口向下且方程mx22xm10无解，即不等式组的解集为空集，即m无解综上可知不存在这样的m.考向2形如f(x)0(xa，b)恒成立问题【例3】设函数f(x)mx2
5、mx1(m0)，若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围【解】要使f(x)m5在1,3上恒成立，则mx2mxm60，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6.所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是 .考向3形如f(x)0(参数ma，b)恒成立问题【例4】对任意m1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围【解】由f(x)x2(m4)x42m(x2)
6、mx24x4，令g(m)(x2)mx24x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零解得x3.故当x的取值为(，1)(3，)时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零.【总结反思】恒成立问题求解思路(1)形如f(x)0(f(x)0)(xR)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解(2)形如f(x)0(xa，b)的不等式确定参数范围时，要根据函数的单调性，求其最小值，让最小值大于等于0，从而求参数的范围(3)形如f(x)0(参数ma，b)的不等式确定x的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.函数f(x)x2ax3.(1)当xR
7、时，f(x)a恒成立，求实数a的范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的范围；(3)当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的范围解析：(1)xR时，有x2ax3a0恒成立，须a24(3a)0，即a24a120，所以6a2.(2)当x2,2时，设g(x)x2ax3a0，分如下三种情况讨论(如图所示)：如图，当g(x)的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有a24(3a)0，即6a2.如图，g(x)的图象与x轴有交点，但在x2，)时，g(x)0，即即解之得x.如图，g(x)的图象与x轴有交点，但在x(，2时，g(x)0.即即7a6，综上，得7a2.(3)令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立只需即解之得x3或x3.答案：(1)6,2(2)7,2(3)(，3)3，)1二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式2当0(a0)的解集为R还是.3解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏4对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.
