1、6.函数与导数1.已知函数 f(x)ln xax1，aR.(1)若关于 x 的不等式 f(x)x1 在1，)上恒成立，求 a 的取值范围；(2)设函数 g(x)fxx，证明：当 ae2时，g(x)在1，e2上不存在极值.(1)解 由 f(x)x1，得 ln xax1x1.即 axln xx22x 在1，)上恒成立.设 m(x)xln xx22x，x1，则 m(x)ln x2x1.x1，)，ln x0，2x10.当 x1，)时，m(x)ln x2x11，即 a 的取值范围是(1，).(2)证明 g(x)ln xx 1xax2，x1，e2.g(x)1ln xx21x22ax32xxln x2ax3
2、.设 h(x)2xxln x2a，x1，e2，则 h(x)2(1ln x)1ln x.令 h(x)0，得 xe.当 1x0；当 exe2 时，h(x)0，则 g(x)1x2axb，由函数 g(x)的图象在点(1，g(1)处的切线平行于 x 轴得，g(1)12ab0，b2a1.(2)由(1)得 g(x)2ax2()2a1 x1x()2ax1()x1x.函数 g(x)的定义域为(0，)，当 a0 时，g(x)x1x，由 g(x)0 得 0 x1，由 g(x)1；若 0 12a12时，由 g(x)0 得 x1 或 0 x 12a，由 g(x)0 得 12ax1，即 0a0 得 x 12a或 0 x1
3、，由 g(x)0 得 1x 12a；若 12a1，即 a12时，在(0，)上恒有 g(x)0.综上得，当 a0 时，函数 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当 0a12时，函数 g(x)在0，12a 上单调递增，在12a，1 上单调递减；在(1，)上单调递增.3.已知函数 f(x)xln x，g(x)(x2ax3)ex(a 为实数).(1)当 a5 时，求函数 g(x)的图象在 x1 处的切线方程；(2)求 f(x)在区间t，t2(t0)上的最小值；(3)若存在两个不等实数 x1，x21e，e，使方程 g(x)2exf(x)成立，求实数 a 的取值范围.解(1)当 a5 时
4、，g(x)(x25x3)ex，g(1)e，g(x)(x23x2)ex，故切线的斜率为 g(1)4e，所以切线方程为 ye4e(x1)，即 4exy3e0.(2)函数 f(x)xln x 的定义域为(0，).因为 f(x)ln x1，所以在(0，)上，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x0，1e1e1e，f(x)0f(x)极小值(最小值)当 t1e时，在区间t，t2上，f(x)为增函数，所以 f(x)minf(t)tln t，当 0t0，则 h(x)12x3x2x3x1x2.当 x 变化时，h(x)，h(x)的变化情况如下表：x1e，11(1，e)h(x)0h(x)极小值(最小
5、值)因为 h 1e 1e3e2，h(e)3ee2，h(1)4，所以 h(e)h 1e 42e2e0，所以 h(e)0，即 a1 时，令 h(x)0，x0，x1a，令 h(x)0，0 x0 恒成立，h(x)的单调递增区间为(0，).当 a1e，即 ae1 时，h(x)在1，e上单调递减，h(x)minh(e)e1ae a0，ae21e1，e21e1 e1，ae21e1；当 a11，即 a0 时，h(x)在1，e上单调递增，h(x)minh(1)11a0，a2；当 1a1e，即 0ae1 时，h(x)minh(1a)2aaln(1a)0，0ln(1a)1，0aln(1a)2，此时不存在 x0，使 h(x0)0 成立.综上，实数 a 的取值范围为(，2e21e1，.
