1、专题8二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1二元一次不等式(组)与平面区域在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0，表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域(把直线画成虚线，表示区域不包括边界)；二元一次不等式AxByC0，表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域(把直线画成实线，表示区域包括边界)由于对在直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点(x0，y0)，从Ax0By0C的正负即可判断AxByC0表示直线哪一侧的平面区域(特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点)2简单的线
2、性规划问题(1)线性目标函数：关于x、y的一次解析式zaxby，叫线性目标函数(2)线性规划问题：一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题(3)可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x，y)叫做可行解由所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解例1如图所示，表示满足不等式(xy)(x2y2)0的点(x，y)所在的区域为()变式1ABC的三个顶点坐标为A(3，1)，B(1,1)，C(1,3)，则ABC的内部及边界所对应的二元一次不等式组是_例2若变量x，y满足约束条件则x2y的最大值是()A B0C.
3、D.变式2已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a等于() A3 B2 C2 D3例3已知正数a，b，c满足：5c3ab4ca，则的最大值是_变式3如果方程x2axb0的两个实根一个小于1，另一个大于1，那么实数a2b2的范围是_A级1若x，y满足则2xy的最大值为()A0 B3 C4 D52设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为()A4 B6 C10 D173设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数yax(a0且a1)的图象过区域M的a的取值范围为()A1,3 B2，C2,9 D，94设变量x，y满足约束条件则目标函数z3xy的取值范围是()A. B.C. D
4、.5某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A50,0 B30,20C20,30 D0,506若点(x，y)位于曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_7若A为不等式组表示的平面区域，则当a从2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为_B级8直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个 B1个C2个 D无数个9若不等式组所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分，则
5、k的值是()A. B. C. D.10设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，则m的取值范围是()A. B.C. D.11给定区域D：.令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线12设zkxy，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k_.13若直线ykx1与圆x2y2kxmy40相交于P、Q两点，且P、Q关于直线xy0对称，则不等式组表示的平面区域的面积是多少？详解答案典型例题例1B不等式(xy)(x2y2)0等价于不等式组()或不等式组()分别画出不等式组()和()所
6、表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.变式1解析如图直线AB的方程为x2y10，直线AC的方程为2xy50，直线BC的方程为xy20，把(0,0)代入2xy50，得50，所以AC左下方的区域为2xy50.同理可得ABC区域(含边界)为例2C画出可行域如图设zx2y，平行移动直线yxz，当直线yx过点M时，z取最大值.变式2B不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示易知A(2,0)，由得B(1,1)由zaxy，得yaxz.当a2或a3时，zaxy在O(0,0)处取得最大值，最大值为zmax0，不满足题意，排除C，D选项；当a2或3时，zaxy在A(2,0)处取得最大值，2a4，a2，排除A，
7、故选B.例37解析条件5c3ab4ca，可化为，设x，y，则题目转化为：已知x，y满足，求的最大值作出(x，y)所在平面区域，可求得的最大值为7.变式3解析令f(x)x2axb，由题意，得f(1)1ab0，a2b2表示点(a，b)到原点距离的平方原点(0,0)到直线xy10的距离是，故a2b2的最小值是.强化提高1C不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，由得所以A点坐标为(1,2)，可得2xy的最大值为2124.2B由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为yxz，在图中画出直线yx，平移该直线，易知经过
8、点A时z最小又知点A的坐标为(3,0)，zmin23506.故选B.3C4A作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3xy0，并向左上、右下平移由图可得，当直线过点A时，z3xy取最大值；当直线过点B时，z3xy取最小值由解得A(2,0)；由解得B.zmax3206，zmin33.z3xy的取值范围是.5B设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知求目标函数zx0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大64解析如图，曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域如图中阴影
9、部分，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点(1,2)时，z取得最小值，此时z2(1)24.7.解析 如图所示，区域A表示的平面区域为OBC内部及其边界组成的图形，当a从2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC所围成的区域又D(0,1)，B(0,2)，E，C(2,0)S四边形ODECSOBCSBDE2.8B画出可行域如图阴影部分所示直线过(5,0)点，故只有1个公共点(5,0)9A不等式组表示的平面区域如图所示由于直线ykx过定点.因此只有直线过AB中点时，直线ykx能平分平面区域因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D.当ykx过点时，所以k.
10、10C当m0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x02y02，因此m0.如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域要使可行域内包含yx1上的点，只需可行域边界点(m，m)在直线yx1的下方即可，即mm1，解得m.116解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)(4,0)，故共可确定6条122解析由画出可行域如图，由zkxy即ykxz的最大值为12，知直线ykx12必过点M(4,4)k2.13解P、Q关于直线xy0对称，故PQ与直线xy0垂直，直线PQ即为直线ykx1，故k1；又线段PQ为圆x2y2kxmy40的一条弦，故该圆的圆心在线段PQ的垂直平分线上，即为直线xy0，又圆心为(，)，mk1，不等式组为，它表示的区域如图所示，直线xy10与xy0的交点为(，)，S1.故面积为.
