1、双曲线及其标准方程1.（2021北京房山高二期末）已知双曲线x2a2-y2=1(a0) 与椭圆x28+y23=1 有相同的焦点，则a= ( )A.6 B.23 C.2D.4答案： C2.（2021北京海淀首都师大附中高二期中）若双曲线E:x29-y216=1 的左、右焦点分别为F1,F2 ，点P 在双曲线E 上，且|PF1|=3 ，则|PF2| 等于( )A.11B.9C.5D.3答案： B3.（2021山东德州高二期中）已知双曲线的实轴长为2，焦点为(-4,0)，(4,0)则该双曲线的标准方程为( )A.x212-y24=1 B.x24-y212=1C.x2-y215=1 D.y215-x2
2、=1答案： C4.已知点A(-1,0) ，B(1,0) 为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0) 的左、右顶点，点M 在双曲线上，ABM 为等腰三角形，且顶角为120 ，则该双曲线的标准方程为( )A.x2-y24=1 B.x2-y23=1C.x2-y22=1 D.x2-y2=1答案：D5.在平面直角坐标系中，已知ABC 的顶点为A(-5,0)、B(5,0) ，点C 在双曲线x216-y29=1 的右支上，则sinA-sinBsinC= ( )A.23 B.-23 C.45 D.-45答案：D6.已知F1,F2 为双曲线C:x2-y2=2 的左、右焦点，点P 在双曲线上，|PF1|=2|P
3、F2| ，则cosF1PF2= ( )A.14 B.35 C.34 D.45答案： C7.（2021天津南开附中高二月考）已知方程x2m2+n-y23m2-n=1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,3)C.(0,3) D.(0,3)答案：A8.P 是双曲线x29-y216=1 的右支上一点，M,N 分别是圆(x+5)2+y2=4 和(x-5)2+y2=1 上的点，则|PM|-|PN| 的最大值为( )A.6B.7C.8D.9答案： D9.（2021江苏淮安高中校协作体高二期中）已知点P 为双曲线C:x236-y264=1 上的动点，点
4、A(-10,0) ，点B(10,0) .若|PA|=16 ，则|PB|= .答案：28或4素养提升练10.（2021辽宁锦州联合校高二期中）已知双曲线C 的焦点为F1(-1,0) ，F2(1,0) 过F1 的直线与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，若|AF1|=2|F1B| ，|AB|=|BF2| ，则C 的标准方程为( )A.6x25-6y2=1 B.7x23-7y24=1C.4x23-4y2=1 D.5x23-5y24=1答案：B解析：如图，设|F1B|=n ，则|AF1|=2n ，|AB|=|BF2|=3n ，由双曲线的定义可得|BF2|-|BF1|=2n=2a ，|AF2|=2a+2
5、n=4n ，在AF1F2 和BF1F2 中，由余弦定理得22+(2n)2-222ncosAF1F2=(4n)2,22+n2-22ncosBF1F2=(3n)2, 又AF1F2 与BF1F2 互补，cosAF1F2+cosBF1F2=0 ，两式消去cosAF1F2 ，cosBF1F2 ，可得-28n2+12=0 ，所以a2=n2=37 ，b2=c2-a2=47 ，所以双曲线的标准方程为7x23-7y24=1 .11.（2021辽宁盘锦第二高级中学高二期中）已知P 是双曲线x216a2-y29a2=1(a0) 上的点，F1、F2 是其左、右焦点，且PF1PF2=0 ，若PF1F2 的面积为9，则a
6、 等于( )A.2B.1C.3D.4答案：B解析： 由PF1PF2=0 得PF1PF2 ，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(216a2+9a2)2=100a2 ，由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=8a ，64a2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=100a2-2|PF1|PF2| ，|PF1|PF2|=18a2 ，则PF1F2 的面积为12|PF1|PF2|=9a2=9 ，a0 ，a=1 .12.已知双曲线x2m-y27=1 ，直线l 过其左焦点F1 ，交双曲线的左支于A ，B 两点，且|AB|=4 ，F2 为双曲线的右焦点，ABF2 的周长为20
7、，则m 的值为( )A.8B.9C.16D.20答案：B解析： ABF2 的周长=|AB|+|AF2|+|BF2|=20 ，|AB|=4 ，|AF2|+|BF2|=16 .根据双曲线的定义知，2a=|AF2|-|AF1|=|BF2|-|BF1| ，4a=(|AF2|+|BF2|)-(|AF1|+|BF1|)=16-4=12 ，a=3 ，m=a2=9 .13.已知A、B 两地相距2000m ，在A 地听到炮弹的爆炸声比在B 地晚4s ，且声速为340m/s ，则炮弹爆炸点的轨迹方程为 .答案：x2462400-y2537600=1(x680)解析：建立平面直角坐标系，使A、B 两点在x 轴上，且
8、坐标原点O 与线段AB 的中点重合，如图，设爆炸点P 的坐标为(x,y) ，则|PA|-|PB|=3404=13602000 ，即2a=1360 ，a=680 ，又|AB|=2000 ，2c=2000 ，c=1000 ，即b2=c2-a2=537600 ， 炮弹爆炸点的轨迹（双曲线的一支）方程为x2462400-y2537600=1(x680) .创新拓展练14.已知椭圆x2a12+y2b12=1(a1b10) 与双曲线x2a22-y2b22=1(a20,b20) 有公共焦点F1、F2 ，设P 是它们的一个交点.（1）试用b1,b2 表示F1PF2 的面积；（2）当b1+b2=m(m0) 是常
9、数时，求F1PF2 面积的最大值.命题分析 本题考查了椭圆、双曲线的定义、三角形面积的计算、基本不等式的运用以及运算求解能力.答题要领 （1）找出F1PF2 的三边，利用余弦定理求角的余弦值，进而得正弦值，然后代入三角形面积公式求解.（2）根据（1）中的结论，利用基本不等式求解.详细解析 （1）如图所示，设F1PF2= .因为|F1F2|=2c ，则a12-b12=a22+b22=c2 ，即a12-a22=b12+b22 .由椭圆、双曲线的定义，得|PF1|+|PF2|=2a1 ，|PF1|-|PF2|=2a2 （令|PF1|PF2| ），所以|PF1|=a1+a2 ，|PF2|=a1-a2
10、，所以cos=|PF1|2+|PF2|2-4c22|PF1|PF2|=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a12-b12)-2(a22+b22)2(a12-a22)=b12-b22a12-a22=b12-b22b12+b22,所以sin=2b1b2b12+b22 .所以SF1PF2=12|PF1|PF2|sin=12(a12-a22)2b1b2b12+b22=b1b2 .（2）当b1+b2=m(m0) 为常数时，SF1PF2=b1b2(b1+b22)2=m24 ，当且仅当b1=b2=m2 时，取等号，所以F1PF2 面积的最大值为m24 .解题感悟 双曲线的定义是解决与双曲线有关问题的主要依据，在应用时要注意整体代换思想的应用.5
