1、第二节圆的方程本节主要包括2个知识点：1.圆的方程；2.与圆的方程有关的综合问题.突破点(一)圆的方程基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b) 半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：半径：r2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)，圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.理论依据点与圆心的距离与半径的大小关系三种情况(x0a)2(y0b)2r2点在圆上(x0a)2(y0b)2r2点在圆外(x0a)2(y0b)20)，又由圆与直线4x3y0相切可得1，解得a2，故
2、圆的标准方程为(x2)2(y1)21.3.已知圆x2y22x4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A将圆的方程化成标准形式得(x1)2(y2)24，若圆关于已知直线对称，则圆心(1,2)在直线上，代入整理得ab1，故aba(1a)2，故选A.4.若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_解析：根据题意得，点(1,0)关于直线yx对称的点(0,1)为圆心，又半径r1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.答案：x2(y1)215.若圆(x1)2(y3)29上的相异两点P，Q关于直线kx2y40对称，则k
3、的值为_解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴已知圆的圆心为(1,3)，由题设知，直线kx2y40过圆心，则k(1)2340，解得k2.答案：26.求圆心在直线x2y30上，且过点A(2，3)，B(2，5)的圆的方程解：设点C为圆心，因为点C在直线x2y30上，所以可设点C的坐标为(2a3，a)又该圆经过A，B两点，所以|CA|CB|，即，解得a2，所以圆心C的坐标为(1，2)，半径r.故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.突破点(二)与圆的方程有关的综合问题圆的方程是高中数学的一个重要知识点，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨
4、迹问题和最值问题.解决此类问题的关键是数形结合思想的运用.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 与圆有关的轨迹问题例1已知圆x2y24上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若PBQ90，求线段PQ中点的轨迹方程解(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x2,2y)因为P点在圆x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故线段AP中点的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设PQ的中点为N(x，y)在RtPBQ中，|PN|BN|.设O为坐标原点，连接ON，则ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|
5、2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故线段PQ中点的轨迹方程为x2y2xy10.方法技巧求与圆有关的轨迹问题的四种方法与圆有关的最值问题处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解(3)形如m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题例2已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点(1)求m2n的最大值；(2)求的最大
6、值和最小值解(1)法一：因为x2y24x14y450的圆心C(2，7)，半径r2，设m2nt，将m2nt看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d2，解上式得：162t162，所以m2n的最大值为162.法二：由x2y24x14y450，得(x2)2(y7)28.因为点M(m，n)为圆上任意一点，故可设即m2n22cos 2(72sin )162cos 4sin 16sin()162sin()，故m2n的最大值为162.(2)记点Q(2,3)因为表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有公共点，所以2.可得2k2，所以的最
7、大值为2，最小值为2.能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.设定点M(3,4)，动点N在圆x2y24上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹解：如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为，线段MN的中点坐标为.因为平行四边形的对角线互相平分，所以，整理得又点N(x3，y4)在圆x2y24上，所以(x3)2(y4)24.所以点P的轨迹是以(3,4)为圆心，2为半径的圆，因为O，M，P三点不共线，所以应除去两点和.2.已知实数x，y满足方程x2y24x10，(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解：原方程
8、可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看成是直线yxb在y轴上的截距当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方由平面几何知识知，x2y2在原点和圆心的连线与圆的两个交点A，B处分别取得最小值，最大值因为圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274. 全国卷5年真题集
9、中演练明规律 1.(2015新课标全国卷)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|()A2 B8 C4 D10解析：选C设圆的方程为x2y2DxEyF0，则解得圆的方程为x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故选C.2(2015新课标全国卷)一个圆经过椭圆1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为_解析：由题意知a4，b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，2)，(4,0
10、)三点设圆的标准方程为(xm)2y2r2(0m0)，则解得所以圆的标准方程为2y2.答案：2y23(2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线yx的距离为，求圆P的方程解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2，从而y22x23.故P点的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又P点在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基
11、，二练题点过高考 练基础小题强化运算能力1方程x2y22x4y60表示的图形是()A以(1，2)为圆心，为半径的圆B以(1,2)为圆心，为半径的圆C以(1，2)为圆心，为半径的圆D以(1,2)为圆心，为半径的圆解析：选D由x2y22x4y60得(x1)2(y2)211，故圆心为(1,2)，半径为.2圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()Ax2y210y0 Bx2y210y0Cx2y210x0 Dx2y210x0解析：选B设圆心为(0，b)，半径为r，则r|b|，故圆的方程为x2(yb)2b2.点(3,1)在圆上，9(1b)2b2，解得b5.圆的方程为x2y210y0.
12、3若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()Ax2y21 B(x3)2y21C(x1)2y21 Dx2(y3)21解析：选A因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2y21.4已知(22cos ，22sin )，R，O为坐标原点，向量满足0，则动点Q的轨迹方程是_解析：设Q(x，y)，(22cos x,22sin y)(0,0)，(x2)2(y2)24.答案：(x2)2(y2)245设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线 x3上的动点，则|PQ|的最小值为_解析：如图所示，圆心M(
13、3，1)到定直线x3上点的最短距离为|MQ|3(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.答案：4练常考题点检验高考能力一、选择题1方程y表示的曲线是()A上半圆 B下半圆C圆 D抛物线解析：选A由方程可得x2y21(y0)，即此曲线为圆x2y21的上半圆2圆(x2)2y25关于原点(0,0)对称的圆的方程为()Ax2(y2)25 B(x2)2y25Cx2(y2)25 D(x1)2y25解析：选B因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为，故所求圆的方程为(x2)2y25.3已知圆C与直线yx及xy40都相切，圆心在直
14、线yx上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选D由题意知xy0 和xy40之间的距离为2，所以r.又因为yx与xy0，xy40均垂直，所以由yx和xy0联立得交点坐标为(0,0)，由yx 和xy40联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.4已知点M是直线3x4y20上的动点，点N为圆(x1)2(y1)21上的动点，则|MN|的最小值是()A. B1 C. D.解析：选C圆心(1，1)到点M的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离d，故点N到点M的距离的
15、最小值为d1.5已知圆C：(x3)2(y4)21和两点A(m,0)，B(m，0)(m0)若圆C 上存在点P，使得 APB90，则 m的最大值为()A7 B6 C5 D4解析：选B根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r1，且|AB|2m，因为APB90，连接OP，易知|OP|AB|m.要求m的最大值，即求圆C上的点P到原点O的最大距离因为|OC| 5，所以|OP|max|OC|r6，即m 的最大值为6.6已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1
16、C62 D.解析：选A圆C1，C2的图象如图所示设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连接C1C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|5，则|PM|PN|的最小值为54.二、填空题7在平面直角坐标系内，若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为_解析：圆C的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(a,2a)，半径r2，故由题意知解得a0，b0)关于直线xy10对称，则
17、ab的最大值是_解析：由圆x2y24ax2byb20(a0，b0)关于直线xy10对称，可得圆心(2a，b)在直线xy10上，故有2ab10，即2ab12，解得ab，故ab的最大值为.答案：10已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为 _.解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x22.答案：x22三、解答题11已知圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，且经过点(9,6)，求圆C的方程解：因为圆C和直线x6y100相切于点(4，
18、1)，所以过点(4，1)的直径所在直线的斜率为6，其方程为y16(x4)，即y6x23.又因为圆心在以(4，1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y，即5x7y500上，由解得圆心为(3,5)，所以半径为，故所求圆的方程为(x3)2(y5)237.12已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.令xcos ，ysin ，所以xy2(sin cos )22sin2，又min1，所以的最小值为4.
