1、试卷第 1 页,总 4 页2019-2020 学年四川省成都市新都一中高二零诊模拟练习四理科数学一、单选题1若复数 z 满足 2121zii,则在复平面内 z 对应的点的坐标为()A1,1B1,1C1,1D1,1 2已知全集U R,集合1,2,3,4,5A,lg3BxR yx,则如图中阴影部分表示的集合为()A1,2,3,4,5B1,2,3C1,2D3,4,53若1tan3,则()tan-=pa()A17B 17C13D 134已知函数2()f xxbx的图象在点(1,(1)Af处的切线的斜率为 3,数列1()f n的前n 项和为nS,则2020S的值为()A 20202021B 201920
2、20C 20182019D 201720185若,x y 满足约束条件2212510 xyxyxy,则 23xy的最大值()A9 B1C7 D 1 6执行如图所示的程序框图,输出的值是()A4B5C6D 77函数 22cos1xf xx的部分图象是()AB试卷第 2 页,总 4 页CD8若 A 为抛物线214yx的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于 B、C 两点,则 AB AC()A 3B3C 4D49若贵阳某路公交车起点站的发车时间为 6:35,6:50,7:05,小明同学在 6:40 至 7:05 之间到达起点站乘坐公交车,且到达起点站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 5 分钟的概率是(
3、)A 15B 23C 25D 3510已知函数 cos1,0,2log,0,axxf xxx(0a 且1a),若函数图象上关于原点对称的点至少有 3对,则实数 a 的取值范围是().A60,6B6,16C50,5D5,1511已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左右焦点分别为1F,2F,过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于 M,N 两点,若以线段1FO(O 为坐标原点)为直径的圆过点 M,且12F NMN,则双曲线C 的离心率为()A2B2C 3D 2 3312函数 ln1f xxx,1,021,02xa xg xax x ,若存在0 x 使得00f xg x成立,则整数a
4、的最小值为()A 1B0C1D2二、填空题13设 x是函数 3sincosf xxx的一个极值点,则2sin22cos_.14函数()3lnf xxx的单调递减区间是_.15某学校高一年级举行选课培训活动,共有 1024 名学生、家长、老师参加,其中家长 256 人学校按学生、家长、老师分层抽样,从中抽取 64 人,进行某问卷调查,则抽到的家长有_人 试卷第 3 页,总 4 页16过椭圆C:2cos3sinxy(为参数)的右焦点 F 作直线l:交C 于 M,N 两点,MFm,NFn,则 11mn的值为_.三、解答题17设 25()6f xa xlnx,其中aR,曲线 yf x在点(1)1f,处
5、的切线与 y 轴相交于点0,6.(1)确定 a 的值;(2)求函数 f x 的单调区间.18随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机 APP 软件层出不穷,现从某市使用 A 和 B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取 100 个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下:(1)使用 A 订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 30 分钟的商家有多少个?(2)试估计该市使用 A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及中位数;(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从 A 和 B 两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?19如图,在三棱柱111ABCA BC中,
6、1AA 底面111A BC,ACAB,4ACAB,16AA,点 E,F 分别为1CA 与 AB 的中点.(1)证明:/EF平面11BCC B.(2)求1B F 与平面 AEF 所成角的正弦值.试卷第 4 页,总 4 页20已知椭圆2222:10 xyC abab的离心率为32,过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1(1)求椭圆C 的方程;(2)设点 M 为椭圆上位于第一象限内一动点,,A B 分别为椭圆的左顶点和下顶点,直线 MB 与 x 轴交于点C,直线 MA 与轴交于点 D,求证:四边形 ABCD的面积为定值 21已知函数1 ln()()xf xa aRx(1)若()0f x 在(0,)上恒
7、成立,求a 的取值范围;(2)设2()(1)xg xxe,当0a 时,若 t xf xg x,求 t x 零点的个数 22在平面直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为4cos0,直线l 的参数方程为31212xtyt (t 为参数).(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)若直线l 与曲线C 交于 M,N 两点,已知点 1,0P,且 PMPN,求11PNPM的值.答案第 1 页,总 8 页2019-2020 学年四川省成都市新都一中高二零诊模拟练习四理科数学详解1B由 2121zii 得22(1)(1)izi 222i
8、i 1 i ,所以1zi ,所以在复平面内 z 对应的点的坐标为(1,1).故选:B.2B因为 lg330(3,)BxR yxxR x 所以(,3UB 因此图中阴影部分表示的集合为1,2,3UAB 故选:B3C因为1tan3,所以1tantan3 .故选:C4A因为2()f xxbx,所以()2fxxb,因为函数2()f xxbx的图象在点(1,(1)Af处的切线的斜率为 3,所以(1)23fb,解得1b ,所以2()1f xxxx x,数列1111()11f nn nnn,所以202011111111.12233420202021S,答案第 2 页,总 8 页12020120212021.故
9、选:A5A设 z=2x3y 得 y=233zx,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC):平移直线 y=233zx,由图象可知当直线 y=233zx,过点 B 时,直线 y=233zx 截距最小,此时 z 最大,由22510 xyxy 得31xy,即 B(3,1),此时 z=233(1)=6+3=9,目标函数 z=2x3y 最大值是 9 故选 A6B第一次循环,3 5 1 16,0 1 1,nk 继续循环;第二次循环,168,1 12,2nk 继续循环;第三次循环,84,2 13,2nk 继续循环;第四次循环,42,3 14,2nk 继续循环;第五次循环,21,4 15,2nk 结束
10、循环;输出5k 故答案选 B 答案第 3 页,总 8 页7A由222cos()12cos1()()()xxfxf xxx知()f x 是偶函数,排除 C,设 x 为锐角,由2cos10 x 得3x,则当(0,)3x时,()0f x,排除 B;()03f ,排除 D,故选:A 8A由题意可得(0,0)A,抛物线的焦点为(0,1),所以直线 BC 的方程为:1ykx 联立方程组2114ykxyx可得21104 xkx,设 1111,A x yB x y,则12124,4xxk x x ,所以212121 212111y ykxkxk x xk xx,所以 2221212121211=-41413A
11、B ACx xy ykx xk xxkk .故选:A.9C6:40 至 7:05 共 25 分钟,小明同学等车时间不超过 5 分钟能乘上车只能是 6:45 至 6:50 和 7:00 至 7:05 到站,共 10 分钟,所以所求概率为102255P 故选:C 10A由题可知:cos12yx与logayx的图像 在0 x 的交点至少有 3 对,可知0,1a,如图所示,当6x 时,log 62a ,则606a 故实数 a 的取值范围为60,6 答案第 4 页,总 8 页故选:A11B连接2NF.如图所示12,F NMNM是线段1F N 的中点.O 是12F F 的中点,2/OM F N.以线段1F
12、O(O 为坐标原点)为直径的圆过点 M,112,FMOMF NF N.不妨设12,0,bmbmbmN mmNFcmNFcmaaa .120NF NF,即 0bmbmcmcmaa ,化简得22222222,a cabmcabma.,N a b.M 是线段1F N 的中点,,22ac bM,代入byxa,可得,2,222bbacccaeaa .故选:B.12B由题意得 ln1ln1fxxxxxf x,即 fxf x,所以函数 f x 为偶函数,且函数 1,021,02xa xg xax x ,满足 gxg x,所以函数 g x 为偶函数,要使得存在0 x 使得00f xg x成立,只需当0 x 时
13、,0f xg x有解,即1ln102xxxa在0,)有解,即1ln12axx在0,)有解,令 1ln12g xxx,则 111212(1)xgxxx,答案第 5 页,总 8 页当0,1)x时,0gx,函数 g x 单调递减;当(1,)x 时,0gx,函数 g x 单调递增;所以当1x 时,函数取得最小值 111ln 1 1ln 222g,要使的使得存在0 x 使得00f xg x成立,可得1ln 22a,所以整数a 的最小值为 0.故选:B.1325 3 cos sinfxxx 3 cos sin0f,tan3 ,222222sincos2cos2tan22sin 22coscossin1ta
14、n5.故答案为:25.1410,e依题意 f x 的定义域为0,,令 1 ln0fxx,解得10 xe,所以 f x 的单调减区间是10,e.故答案为:10,e 1516 由题意,可知共有 1024 名学生、家长、老师参加,其中家长 256 人,通过分层抽样从中抽取 64 人,进行某问卷调查,则抽到的家长人数为25664161024人 故答案为 16 16 43椭圆2cos:(3sinxCy为参数)的普通方程为22143xy,当直线l 的斜率不存在时,直线:1l x ,代入22143xy,可得32y 32mn,答案第 6 页,总 8 页 1143mn 故答案为:43 17(1)因为 25()6
15、f xa xlnx,所以6()2(5)fxa xx.令1x,得 11616 8fafa,所以曲线 yf x在点(1)1f,处的切线方程为166 8()1(yaa x ,由点0,6 在切线上,可得6 1686aa ,解得12a.(2)由(1)知,21()(5)61(0)2f xxnx x,6(2)(3)()5xxfxxxx.令 0fx,解得2x 或3x.当02x 或3x 时,0fx;当 23x 时,0fx,故函数 f x 的单调递增区间是0,23(),单调递减区间是2,3.18解:(1)使用 A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 30 分钟的商家共有100(0.0060.034)1040
16、个.(2)依题意可得,使用 A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为 55,由频率分布直方图可判断中位数位于30,40 设中位数为 x,则0.0060.03410300.0120.5x,解得138 3x.(3)使用款 A 订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 15 0.0625 0.34 350.1245 0.04 55 0.465 0.0440使用 B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 15 0.0425 0.2 35 0.5645 0.14 55 0.0465 0.023540所以选 B 款订餐软件.19(1)证明:如图,连接1AC,1BC.在三棱柱111ABCA
17、BC中,E 为1AC 的中点.答案第 7 页,总 8 页又因为 F 为 AB 的中点,所以1/EFBC.又 EF 平面11BCC B,1BC 平面11BCC B,所以/EF平面11BCC B.(2)解:以1A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系1Axyz,则 0,0,6A,1 0,4,0B,2,0,3E,0,2,6F,所以10,2,6B F,2,0,3AE,0,2,0AF.设平面 AEF 的法向量为,nx y z,则23020n AExzn AFy,令3x,得3,0,2n.记1B F 与平面 AEF 所成角为,则111sincos,B F nB F nB F n3 13065.20()由已知可
18、得:22223221cabaabc解得:21ab;所以椭圆 C 的方程为:2214xy ()因为椭圆 C 的方程为:2214xy,所以 2,0A,0,1B 设,0,0M m nmn,则2214mn,即2244mn 则直线 BM 的方程为:11nyxm,令0y,得1Cmxn;同理:直线 AM 的方程为:22nyxm,令0 x,得22Dnym 答案第 8 页,总 8 页所以2221121212212221ABCDmnmnSACBDnmmn 221444481 44882222222mnmnmnmnmnmnmnmnmn 即四边形 ABCD 的面积为定值 2 21(1)()0f x 在(0,)上恒成立
19、,故1 ln xax,设 1 ln xF xx,则 2lnxFxx,当0,1x时,函数单调递增,当1,x 时,函数单调递减,故 max11F xF,故1a .(2)0a,则 21 ln(1)xxxext xf xg x,则 22ln(1)xtxxxex,当0,1x时,2ln0 xx,2(1)0 xxe,故 0tx,函数单调递增;当1,x 时,2ln0 xx,2(1)0 xxe,故 0tx,函数单调递减.max11t xt,且当0 x 时,t x ;当 x 时,t x .根据零点存在定理知:函数在0,1 和1,上各有一个零点,故函数 t x 有两个零点.22(1)由直线l 的参数方程为31212xtyt (t 为参数),消去参数310 xy,又由cossinxy,且222xy,由4cos0,可得24 cos0,所以2240 xyx,即2224xy 所以直线l 的普通方程为310 xy,曲线C 的直角坐标方程为2224xy.(2)把直线l 的参数方程31212xtyt ,代入2240 xyx,整理得2330tt,所以 123tt,1 23t t 设1PNt,2PMt 因为 PMPN,所以12121 2111133ttPNPMttt t.