1、试卷第 1 页，总 4 页2019-2020 学年四川省成都市新都一中高二零诊模拟练习四理科数学一、单选题1若复数 z 满足 2121zii，则在复平面内 z 对应的点的坐标为（）A1,1B1,1C1,1D1,1 2已知全集U R，集合1,2,3,4,5A，lg3BxR yx，则如图中阴影部分表示的集合为（）A1,2,3,4,5B1,2,3C1,2D3,4,53若1tan3，则()tan-=pa()A17B 17C13D 134已知函数2()f xxbx的图象在点(1,(1)Af处的切线的斜率为 3，数列1()f n的前n 项和为nS，则2020S的值为（）A 20202021B 201920
2、20C 20182019D 201720185若,x y 满足约束条件2212510 xyxyxy，则 23xy的最大值（）A9 B1C7 D 1 6执行如图所示的程序框图，输出的值是（）A4B5C6D 77函数 22cos1xf xx的部分图象是（）AB试卷第 2 页，总 4 页CD8若 A 为抛物线214yx的顶点，过抛物线焦点的直线交抛物线于 B、C 两点，则 AB AC（）A 3B3C 4D49若贵阳某路公交车起点站的发车时间为 6:35，6:50，7:05，小明同学在 6:40 至 7:05 之间到达起点站乘坐公交车，且到达起点站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 5 分钟的概率是(
3、)A 15B 23C 25D 3510已知函数 cos1,0,2log,0,axxf xxx（0a 且1a），若函数图象上关于原点对称的点至少有 3对，则实数 a 的取值范围是（）.A60,6B6,16C50,5D5,1511已知双曲线2222:10,0 xyCabab的左右焦点分别为1F，2F，过1F 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别交于 M，N 两点，若以线段1FO(O 为坐标原点)为直径的圆过点 M，且12F NMN，则双曲线C 的离心率为（）A2B2C 3D 2 3312函数 ln1f xxx，1,021,02xa xg xax x ，若存在0 x 使得00f xg x成立，则整数a
4、的最小值为（）A 1B0C1D2二、填空题13设 x是函数 3sincosf xxx的一个极值点，则2sin22cos_.14函数()3lnf xxx的单调递减区间是_.15某学校高一年级举行选课培训活动，共有 1024 名学生、家长、老师参加，其中家长 256 人学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取 64 人，进行某问卷调查，则抽到的家长有_人 试卷第 3 页，总 4 页16过椭圆C：2cos3sinxy（为参数）的右焦点 F 作直线l：交C 于 M，N 两点，MFm，NFn，则 11mn的值为_.三、解答题17设 25()6f xa xlnx，其中aR，曲线 yf x在点(1)1f，处
5、的切线与 y 轴相交于点0,6.（1）确定 a 的值；（2）求函数 f x 的单调区间.18随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机 APP 软件层出不穷，现从某市使用 A 和 B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取 100 个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：（1）使用 A 订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 30 分钟的商家有多少个？（2）试估计该市使用 A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及中位数；（3）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从 A 和 B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？19如图，在三棱柱111ABCA BC中，
6、1AA 底面111A BC，ACAB，4ACAB，16AA，点 E，F 分别为1CA 与 AB 的中点.（1）证明：/EF平面11BCC B.（2）求1B F 与平面 AEF 所成角的正弦值.试卷第 4 页，总 4 页20已知椭圆2222:10 xyC abab的离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为 1（1）求椭圆C 的方程；（2）设点 M 为椭圆上位于第一象限内一动点，,A B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线 MB 与 x 轴交于点C，直线 MA 与轴交于点 D，求证：四边形 ABCD的面积为定值 21已知函数1 ln()()xf xa aRx（1）若()0f x 在(0,)上恒
7、成立，求a 的取值范围；（2）设2()(1)xg xxe，当0a 时，若 t xf xg x，求 t x 零点的个数 22在平面直角坐标系 xOy 中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为4cos0，直线l 的参数方程为31212xtyt (t 为参数).（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于 M，N 两点，已知点 1,0P，且 PMPN，求11PNPM的值.答案第 1 页，总 8 页2019-2020 学年四川省成都市新都一中高二零诊模拟练习四理科数学详解1B由 2121zii 得22(1)(1)izi 222i
8、i 1 i ，所以1zi ，所以在复平面内 z 对应的点的坐标为(1,1).故选：B.2B因为 lg330(3,)BxR yxxR x 所以(,3UB 因此图中阴影部分表示的集合为1,2,3UAB 故选：B3C因为1tan3，所以1tantan3 .故选：C4A因为2()f xxbx，所以()2fxxb，因为函数2()f xxbx的图象在点(1,(1)Af处的切线的斜率为 3，所以(1)23fb，解得1b ，所以2()1f xxxx x，数列1111()11f nn nnn，所以202011111111.12233420202021S，答案第 2 页，总 8 页12020120212021.故
9、选：A5A设 z=2x3y 得 y=233zx，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分 ABC）：平移直线 y=233zx，由图象可知当直线 y=233zx，过点 B 时，直线 y=233zx 截距最小，此时 z 最大，由22510 xyxy 得31xy，即 B（3，1），此时 z=233（1）=6+3=9，目标函数 z=2x3y 最大值是 9 故选 A6B第一次循环，3 5 1 16,0 1 1,nk 继续循环；第二次循环，168,1 12,2nk 继续循环；第三次循环，84,2 13,2nk 继续循环；第四次循环，42,3 14,2nk 继续循环；第五次循环，21,4 15,2nk 结束
10、循环；输出5k 故答案选 B 答案第 3 页，总 8 页7A由222cos()12cos1()()()xxfxf xxx知()f x 是偶函数，排除 C，设 x 为锐角，由2cos10 x 得3x，则当(0,)3x时，()0f x，排除 B；()03f ，排除 D，故选：A 8A由题意可得(0,0)A,抛物线的焦点为(0,1),所以直线 BC 的方程为:1ykx 联立方程组2114ykxyx可得21104 xkx,设 1111,A x yB x y,则12124,4xxk x x ,所以212121 212111y ykxkxk x xk xx，所以 2221212121211=-41413A
11、B ACx xy ykx xk xxkk .故选：A.9C6:40 至 7:05 共 25 分钟，小明同学等车时间不超过 5 分钟能乘上车只能是 6:45 至 6:50 和 7:00 至 7:05 到站，共 10 分钟，所以所求概率为102255P 故选：C 10A由题可知：cos12yx与logayx的图像 在0 x 的交点至少有 3 对，可知0,1a，如图所示，当6x 时，log 62a ，则606a 故实数 a 的取值范围为60,6 答案第 4 页，总 8 页故选：A11B连接2NF.如图所示12,F NMNM是线段1F N 的中点.O 是12F F 的中点，2/OM F N.以线段1F
12、O(O 为坐标原点)为直径的圆过点 M，112,FMOMF NF N.不妨设12,0,bmbmbmN mmNFcmNFcmaaa .120NF NF，即 0bmbmcmcmaa ，化简得22222222,a cabmcabma.,N a b.M 是线段1F N 的中点，,22ac bM，代入byxa，可得,2,222bbacccaeaa .故选：B.12B由题意得 ln1ln1fxxxxxf x，即 fxf x，所以函数 f x 为偶函数，且函数 1,021,02xa xg xax x ，满足 gxg x，所以函数 g x 为偶函数，要使得存在0 x 使得00f xg x成立，只需当0 x 时
13、，0f xg x有解，即1ln102xxxa在0,)有解，即1ln12axx在0,)有解，令 1ln12g xxx，则 111212(1)xgxxx，答案第 5 页，总 8 页当0,1)x时，0gx，函数 g x 单调递减；当(1,)x 时，0gx，函数 g x 单调递增；所以当1x 时，函数取得最小值 111ln 1 1ln 222g，要使的使得存在0 x 使得00f xg x成立，可得1ln 22a，所以整数a 的最小值为 0.故选：B.1325 3 cos sinfxxx 3 cos sin0f，tan3 ，222222sincos2cos2tan22sin 22coscossin1ta
14、n5.故答案为：25.1410,e依题意 f x 的定义域为0,，令 1 ln0fxx，解得10 xe，所以 f x 的单调减区间是10,e.故答案为：10,e 1516 由题意，可知共有 1024 名学生、家长、老师参加，其中家长 256 人，通过分层抽样从中抽取 64 人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为25664161024人 故答案为 16 16 43椭圆2cos:(3sinxCy为参数）的普通方程为22143xy，当直线l 的斜率不存在时，直线:1l x ，代入22143xy，可得32y 32mn，答案第 6 页，总 8 页 1143mn 故答案为：43 17(1)因为 25()6
15、f xa xlnx，所以6()2(5)fxa xx.令1x，得 11616 8fafa，所以曲线 yf x在点(1)1f，处的切线方程为166 8()1(yaa x ，由点0,6 在切线上，可得6 1686aa ，解得12a.(2)由(1)知，21()(5)61(0)2f xxnx x，6(2)(3)()5xxfxxxx.令 0fx，解得2x 或3x.当02x 或3x 时，0fx；当 23x 时，0fx，故函数 f x 的单调递增区间是0,23()，单调递减区间是2,3.18解:（1）使用 A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过 30 分钟的商家共有100(0.0060.034)1040
16、个.（2）依题意可得，使用 A 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为 55，由频率分布直方图可判断中位数位于30,40 设中位数为 x，则0.0060.03410300.0120.5x，解得138 3x.（3）使用款 A 订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 15 0.0625 0.34 350.1245 0.04 55 0.465 0.0440使用 B 款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为 15 0.0425 0.2 35 0.5645 0.14 55 0.0465 0.023540所以选 B 款订餐软件.19（1）证明：如图，连接1AC，1BC.在三棱柱111ABCA
17、BC中，E 为1AC 的中点.答案第 7 页，总 8 页又因为 F 为 AB 的中点，所以1/EFBC.又 EF 平面11BCC B，1BC 平面11BCC B，所以/EF平面11BCC B.（2）解：以1A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系1Axyz，则 0,0,6A，1 0,4,0B，2,0,3E，0,2,6F，所以10,2,6B F，2,0,3AE，0,2,0AF.设平面 AEF 的法向量为,nx y z，则23020n AExzn AFy，令3x，得3,0,2n.记1B F 与平面 AEF 所成角为，则111sincos,B F nB F nB F n3 13065.20（）由已知可
18、得：22223221cabaabc解得：21ab；所以椭圆 C 的方程为：2214xy （）因为椭圆 C 的方程为：2214xy，所以 2,0A，0,1B 设,0,0M m nmn，则2214mn，即2244mn 则直线 BM 的方程为：11nyxm，令0y，得1Cmxn；同理：直线 AM 的方程为：22nyxm，令0 x，得22Dnym 答案第 8 页，总 8 页所以2221121212212221ABCDmnmnSACBDnmmn 221444481 44882222222mnmnmnmnmnmnmnmnmn 即四边形 ABCD 的面积为定值 2 21（1）()0f x 在(0,)上恒成立
19、，故1 ln xax，设 1 ln xF xx，则 2lnxFxx，当0,1x时，函数单调递增，当1,x 时，函数单调递减，故 max11F xF，故1a .（2）0a，则 21 ln(1)xxxext xf xg x，则 22ln(1)xtxxxex，当0,1x时，2ln0 xx，2(1)0 xxe，故 0tx，函数单调递增；当1,x 时，2ln0 xx，2(1)0 xxe，故 0tx，函数单调递减.max11t xt，且当0 x 时，t x ；当 x 时，t x .根据零点存在定理知：函数在0,1 和1,上各有一个零点，故函数 t x 有两个零点.22（1）由直线l 的参数方程为31212xtyt (t 为参数)，消去参数310 xy，又由cossinxy，且222xy，由4cos0，可得24 cos0，所以2240 xyx，即2224xy 所以直线l 的普通方程为310 xy，曲线C 的直角坐标方程为2224xy.（2）把直线l 的参数方程31212xtyt ，代入2240 xyx，整理得2330tt，所以 123tt，1 23t t 设1PNt，2PMt 因为 PMPN，所以12121 2111133ttPNPMttt t.