1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 四十七圆的方程(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016全国卷)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-B.-C.D.2【解题提示】化圆的一般方程为标准方程,求出圆的圆心坐标,利用圆心到直线的距离等于1,建立a的方程.【解析】选A.圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为:(x-1)2+(y-4)2=4,故圆心为(1,4),d=1,解得a=-.2.当a为任意实数时,直线(a-
2、1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为()A.x2+y2-2x+4y=0B.x2+y2+2x+4y=0C.x2+y2+2x-4y=0D.x2+y2-2x-4y=0【解析】选C.由(a-1)x-y+a+1=0得a(x+1)-(x+y-1)=0,所以直线恒过定点(-1,2).所以圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5,即x2+y2+2x-4y=0.3.方程|x|-1=所表示的曲线是()A.一个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆【解析】选D.由题意得即或故原方程表示两个半圆.4.(2017绵阳模拟)已知圆x2+y2-4ax+2by+b2=0(a0,b0)关于直线x-y-
3、1=0对称,则ab的最大值是()A.B.C.D.【解析】选B.由圆x2+y2-4ax+2by+b2=0(a0,b0)关于直线x-y-1=0对称,可得圆心(2a,-b)在直线x-y-1=0上,故有2a+b-1=0,即2a+b=12,求得ab,故ab的最大值为.【加固训练】(2017运城模拟)若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心为,则a0.直线y=-x-,k=-0,-0,直线不经过第四象限.5.若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=
4、0上所有的点均在第二象限内,则a的取值范围为()A.(-,-2)B.(-,-1)C.(1,+)D.(2,+)【解题提示】圆上的所有点都在第二象限,因此圆心必在第二象限,且圆心到两坐标轴的距离大于半径.【解析】选D.曲线C的方程可化为(x+a)2+(y-2a)2=4,其为圆心为(-a,2a),半径为2的圆,要使圆C的所有的点均在第二象限内,则圆心(-a,2a)必须在第二象限,从而有a0,并且圆心到两坐标轴的最小距离应大于圆C的半径,易知圆心到坐标轴的最小距离为|a|,则有|a|2,得a2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2017新乡模拟)已知在RtABC中,A(0,0),B(6,0),则
5、直角顶点C的轨迹方程为_.【解析】依题意,顶点C的轨迹是以AB为直径的圆,且去掉端点A,B,圆心坐标为(3,0),半径为3,故直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y0).答案:(x-3)2+y2=9(y0)【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:设顶点C的坐标为(x,y),由于ACBC,故kACkBC=-1,所以=-1,所以x2+y2-6x=0,即直角顶点C的轨迹方程为(x-3)2+y2=9(y0).答案:(x-3)2+y2=9(y0)7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1)x+2的倾斜角=_.【解析】由题意知,圆的半径r=1,当半
6、径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan=-1,又0,),故=.答案:8.(2016浙江高考)已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是_,半径是_.【解题提示】若方程表示圆,则x2的系数与y2的系数相等.【解析】由题意知a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,圆心为(-2,-4),半径为5,当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即+(y+1)2=-不表示圆.答案:(-2,-4)5三、解答题(每小题10分,共20分
7、)9.根据下列条件,求圆的方程.(1)经过P(-2,4)、Q(3,-1)两点,并且在x轴上截得的弦长等于6.(2)圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点(3,-2).【解析】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P,Q两点的坐标分别代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0.设x1,x2是方程的两根,由|x1-x2|=6有D2-4F=36,由解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0,或x2+y2-6x-8y=0.(2)如图,设圆心(x0,-4x0),依题意得=1,所以x0=1,即圆心坐标为(1,
8、-4),半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.10.已知圆的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中a1,且aR.(1)求证:a取不为1的实数时,上述圆过定点.(2)求圆心的轨迹方程.【解析】(1)将方程x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0整理得x2+y2-4y+2-a(2x-2y)=0(a1,且aR),令解得所以a取不为1的实数时,圆过定点(1,1).(2)由题意知圆心坐标为(a,2-a),且a1,又设圆心坐标为(x,y),则有消去参数a,得x+y-2=0(x1),即为所求圆心的轨迹方程.【加固训练】已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4)
9、,线段AB的垂直平分线交圆P于点C和点D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程.(2)求圆P的方程.【解析】(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2),所以直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由点P在CD上得a+b-3=0.又直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40.由解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2),所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.(20分钟40分)1.(5分)设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆圆心的距离|C1C2|=
10、()A.4B.4C.8D.8【解题提示】由已知可知两圆均在第一象限,且圆心的横、纵坐标相等,再由已知条件得出关于圆心的方程,进而求出两圆心的距离.【解析】选C.因为两圆与两坐标轴都相切,且都经过点(4,1),所以两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.设两圆的圆心分别为(a,a),(b,b),则有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,即a,b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2的两个根,整理得x2-10x+17=0,所以a+b=10,ab=17.所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-417=32,所以|C1C2|=8.2.(5分)(2017郑州模拟)已知
11、圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长比为12,则圆C的方程为()A.+y2=B.+y2=C.x2+=D.x2+=【解析】选C.由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,a),半径为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,即a=,故圆C的方程为x2+=.【加固训练】(2017邯郸模拟)若PAB是圆C:(x-2)2+(y-2)2=4的内接三角形,且PA=PB,APB=120,则线段AB的中点的轨迹方程为()A.(x-2)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y-2)2=2C.(x-2)2+(y-2)2=3D.x2+y2=1【解析】
12、选A.设线段AB的中点为D,则由题意,PA=PB,APB=120,所以ACB=120,因为CB=2,所以CD=1,所以线段AB的中点的轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,所以线段AB的中点的轨迹方程是:(x-2)2+(y-2)2=1.3.(5分)(2017邯郸模拟)已知圆O:x2+y2=8,点A(2,0),动点M在圆上,则OMA的最大值为_.【解析】设|MA|=a,因为|OM|=2,|OA|=2,由余弦定理知cosOMA=2=,当且仅当a=2时等号成立,所以OMA,即OMA的最大值为.答案:【加固训练】已知直线ax+by=1(a,b是实数)与圆O:x2+y2=1(O是坐标原点)相交于A,B两点,且
13、AOB是直角三角形,点P(a,b)是以点M(0,1)为圆心的圆M上的任意一点,则圆M的面积的最小值为_.【解析】因为直线与圆O相交所得AOB是直角三角形,可知AOB=90,所以圆心O到直线的距离为=,所以a2=1-b20,即-b.设圆M的半径为r,则r=|PM|=(2-b),又-b,所以+1|PM|-1,所以圆M的面积的最小值为(3-2).答案:(3-2)4.(12分)(2017许昌模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程.(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长?若存在,请求
14、出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.因为直线y=x与圆C相切于原点O,所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,于是有或由于点C(a,b)在第二象限,故a0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),则有解之得x=或x=0(舍去),y=.所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.5.(13分)(2017朔州模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,4),B(9,0),C,D分别为线段OA,OB上的动点,且满足AC=BD.(1)若AC=
15、4,求直线CD的方程.(2)证明:OCD的外接圆恒过定点.【解析】(1)若AC=4,则BD=4,因为B(9,0),所以D(5,0).因为A(-3,4),所以|OA|=5,则|OC|=1,直线OA的方程为y=-x,设C(3a,-4a),-1a0,则|OC|=5|a|=-5a=1,解得a=-,则C,则CD的方程为=,整理得x+7y-5=0,即直线CD的方程为x+7y-5=0.(2)设C(3a,-4a),-1a0,则|AC|=5|a+1|=5(a+1),则|BD|=|AC|=5(a+1),则D(4-5a,0),设OCD的外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆的方程满足即则解得E=10a-3,F=0,D=5a-4,则圆的一般方程为x2+y2+(5a-4)x+(10a-3)y=0,即x2+y2-4x-3y+5a(x+2y)=0,由解得或即OCD的外接圆恒过定点(0,0)和(2,-1).关闭Word文档返回原板块
