1、课时作业 50 圆的方程 一、选择题 1圆(x2)2y25 关于原点(0,0)对称的圆的方程为()Ax2(y2)25 B(x2)2y25 Cx2(y2)25 D(x1)2y25 解析：因为所求圆的圆心与圆(x2)2y25 的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为 5，故所求圆的方程为(x2)2y25.答案：B 2设圆的方程是 x2y22ax2y(a1)20，若 0a1，则原点与圆的位置关系是()A原点在圆上 B原点在圆外 C原点在圆内 D不确定 解析：将圆的一般方程化成标准方程为(xa)2(y1)22a，因为 0a0，即a22 2a，所以原点在圆外 答案：B
2、 3点 P(4，2)与圆 x2y24 上任一点连线的中点的轨迹方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)24 C(x4)2(y2)24 D(x2)2(y1)21 解析：设圆上任一点坐标为(x0，y0)，x20y204，连线中点坐标为(x，y)，则 2xx042yy02 x02x4，y02y2，代入 x20y204 中得(x2)2(y1)21.答案：A 4若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x3y0 和 x 轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x2)2(y1)21 B(x2)2(y1)21 C(x2)2(y1)21 D(x3)2(y1)21 解析：由于圆心在第一象限
3、且与 x 轴相切，故设圆心为(a,1)(a0)，又由圆与直线 4x3y0 相切可得|4a3|51，解得 a2，故圆的标准方程为(x2)2(y1)21.答案：A 5已知圆 M 的圆心在 x 轴上，且圆心在直线 l1：x2 的右侧，若圆 M 截直线 l1所得的弦长为 2 3，且与直线 l2：2x 5y40 相切，则圆 M 的方程为()A(x1)2y24 B(x1)2y24 Cx2(y1)24 Dx2(y1)24 解 析：由 已 知，可 设 圆 M 的 圆 心 坐 标 为(a,0)，a 2，半 径 为 r，得 a232r2，|2a4|45 r，解得满足条件的一组解为 a1，r2，所以圆 M 的方程为
4、(x1)2y24.答案：B 6圆心在曲线 y2x(x0)上，且与直线 2xy10 相切的面积最小的圆的方程为()A(x1)2(y2)25 B(x2)2(y1)25 C(x1)2(y2)225 D(x2)2(y1)225 解析：由圆心在曲线 y2x(x0)上，设圆心坐标为a，2a，a0.又圆与直线 2xy10 相切，所以圆心到直线的距离 d2a2a15415 5，当且仅当 2a2a，即 a1 时取等号，所以圆心坐标为(1,2)，圆的半径的最小值为 5，则所求圆的方程为(x1)2(y2)25.答案：A 二、填空题 7如果圆的方程为 x2y2kx2yk20，那么当圆面积最大时，该圆的方程为_ 解析：
5、将圆的方程配方，得xk22(y1)234k21，r2134k21，rmax1，此时 k0.故圆的方程为 x2(y1)21.答案：x2(y1)21 8已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为 12，则圆 C的方程为_ 解析：由已知圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为23，设圆心(0，a)，半径为 r，则 rsin3 1，rcos3|a|，解得 r 23，即 r243，|a|33，即 a 33，故圆 C 的方程为 x2y 33243.答案：x2y 33243 9已知圆 O：x2y21，直线 x2y50 上动点 P，过点 P 作圆 O 的一条切线，切
6、点为 A，则POPA的最小值为_ 解析：圆心 O 到直线 x2y50 的距离为 55 5，则|PO|min 5.PA 与圆 O 相切，PAOA，即PAAO0，POPA(PAAO)PAPA2|PO|2|AO|2514.答案：4 三、解答题 10一圆经过 A(4,2)，B(1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为 2，求此圆的方程 解：设所求圆的方程为 x2y2DxEyF0.令 y0，得 x2DxF0，所以 x1x2D.令 x0，得 y2EyF0，所以 y1y2E.由题意知DE2，即 DE20.又因为圆过点 A、B，所以 1644D2EF0.19D3EF0.解组成的方程组得 D2，E0，F12
7、.故所求圆的方程为 x2y22x120.11在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2 2，在 y 轴上截得线段长为 2 3.(1)求圆心 P 的轨迹方程；(2)若 P 点到直线 yx 的距离为 22，求圆 P 的方程 解：(1)设 P(x，y)，圆 P 的半径为 r.则 y22r2，x23r2.y22x23，即 y2x21.P 点的轨迹方程为 y2x21.(2)设 P 的坐标为(x0，y0)，则|x0y0|2 22，即|x0y0|1.y0 x01，即 y0 x01.当 y0 x01 时，由 y20 x201 得(x01)2x201.x00，y01，r23.圆 P
8、的方程为 x2(y1)23.当 y0 x01 时，由 y20 x201 得(x01)2x201，x00，y01，r23.圆 P 的方程为 x2(y1)23.综上所述，圆 P 的方程为 x2(y1)23.1已知过定点 P(2,0)的直线 l 与曲线 y 2x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角为()A150 B135 C120 D不存在 解析：由 y 2x2得 x2y22(y0)，它表示以原点 O 为圆心，以 2为半径的圆的一部分，其图象如图所示设过点 P(2,0)的直线为 yk(x2)，则圆心到此直线的距离 d|2k|1k2，弦长|AB|22
9、|2k|1k22222k21k2，所以 SAOB12|2k|1k2222k21k2k222k2k21，当且仅当(2k)222k2，即 k213时等号成立由图可得 k 33k 33 舍去，故直线 l 的倾斜角为 150.答案：A 2(2017邯郸模拟)若PAB 是圆 C：(x2)2(y2)24 的内接三角形，且 PAPB，APB120，则线段 AB 的中点的轨迹方程为()A(x2)2(y2)21 B(x2)2(y2)22 C(x2)2(y2)23 Dx2y21 解析：设线段 AB 的中点为 D，则由题意，PAPB，APB120，所以ACB120，因为 CB2，所以 CD1，所以线段 AB 的中点的轨迹是以 C 为圆心，1 为半径的圆，所以线段 AB 的中点的轨迹方程是：(x2)2(y2)21.答案：A 3(2017安徽合肥第一次质检)存在实数，使得圆面 x2y24 恰好覆盖函数 ysink x 图象的最高点或最低点共三个，则正数 k 的取值范围是_ 解析：由题意，知函数 ysink x 图象的最高点或最低点一定在直线 y1 上，则由 y1，x2y24，得 3x 3.又由题意，得 T2k2k，T2 30，直线 l 的方程为 yx4 或 yx3.
