1、第三节三角函数的图象与性质本节主要包括2个知识点：1.三角函数的定义域和值域；2.三角函数的性质.突破点(一)三角函数的定义域和值域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”三角函数正弦函数ysin x余弦函数ycos x正切函数ytan x图象定义域RRxxR，且x值域1,11,1R最值当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值1当且仅当x2k(kZ)时，取得最大值1；当且仅当x2k(kZ)时，取得最小值1考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”三角函数的定义域例1函数ylg(2sin x1)的定义域是_解析要使函数ylg(2sin x1)有意义，则即解得2kx2k，
2、kZ.即函数的定义域为，kZ.答案，kZ方法技巧三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解提醒解三角不等式时要注意周期，且kZ不可以忽略三角函数的值域(最值)求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型：(1)形如yasin xbcos xk的三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xk的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(
3、最值)例2(1)函数y2sin(0x9)的最大值与最小值之和为()A2 B0 C1 D1(2)函数y3sin x2cos2x，x的值域为_解析(1)0x9，x，sin.y，2，ymaxymin2.(2)x，sin x.又y3sin x2cos2x3sin x2(1sin2x)22，当sin x时，ymin；当sin x或sin x1时，ymax2.故该函数的值域为.答案(1)A(2)方法技巧三角函数值域或最值的三种求法(1)直接法：直接利用sin x，cos x的值域求出(2)化一法：化为yAsin(x)k的形式，确定x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)(3)换元法：把sin x
4、或cos x看作一个整体，转化为二次函数，求在给定区间上的值域(最值)问题能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.函数y 的定义域为()A.B.(kZ)C.(kZ)DR解析：选C要使函数有意义，则cos x0，即cos x，解得2kx2k，kZ.2.函数f(x)sin在区间上的最小值为()A1 B C0 D.解析：选B因为0x，所以2x，由正弦函数的图象知，sin1，所以函数f(x)sin在区间上的最小值为.3.函数y的定义域为_解析：要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为xxk且xk，kZ.答案：4.函数ylg(sin 2x)的定义域为_解析：由得3x或0x0，函数f(x)sin在上是减函
5、数，则的取值范围是_解析由x，得x，由题意知2k，2k(kZ)且2，则且02，故.答案方法技巧已知单调区间求参数范围的三种方法子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解三角函数的周期性例3(1)函数y12sin2是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的偶函数C最小正周期为的奇函数D最小正周期为的偶函数(2)若函数f(x)2tan的最小正周期T满足1T2，则自然数k的值为_解
6、析(1)y12sin2cos 2xsin 2x，所以f(x)是最小正周期为的奇函数(2)由题意知，12，即|k|2|k|.又kN，所以k2或k3.答案(1)A(2)2或3方法技巧三角函数周期的求解方法(1)定义法：直接利用周期函数的定义求周期(2)公式法：三角函数ysin x，ycos x，ytan x的最小正周期分别为2，2，；yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为，ytan(x)的最小正周期为.(3)图象法：利用三角函数图象的特征求周期如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期三角函数的奇偶性例4(1)函数f(x)(1cos 2x)sin2x(x
7、R)是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数(2)若函数f(x)sin(0,2)是偶函数，则()A. B. C. D.解析(1)由题意知，f(x)(1cos 2x)sin2x(1cos 2x)(1cos 2x)(1cos22x)(1cos 4x)，即f(x)(1cos 4x)，则T，f(x)(1cos 4x)f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为的偶函数(2)由f(x)sin是偶函数，可得k，kZ，即3k(kZ)，又0,2，所以.答案(1)D(2)C方法技巧与三角函数的奇偶性相关的结论(1)若yAsin(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为
8、奇函数，则有k(kZ)(2)若yAcos(x)为偶函数，则有k(kZ)；若为奇函数，则有k(kZ)(3)若yAtan(x)为奇函数，则有k(kZ)三角函数的对称性例5(1)函数f(x)sin的图象的一条对称轴是()Ax BxCx Dx(2)函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形，则_.解析(1)由xk(kZ)，得xk(kZ)，当k1时，x，x是f(x)sin图象的一条对称轴(2)由题意，得ycos(3x)是奇函数，故k(kZ)答案(1)C(2)k，kZ方法技巧三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图
9、象与x轴的交点，即函数的零点(2)公式法：函数yAsin(x)的对称轴为x，对称中心为；函数yAcos(x)的对称轴为x，对称中心为；函数yAtan(x)的对称中心为.上述kZ.能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.函数y3cos的最小正周期是()A.B.C2 D5解析：选D由T5，知该函数的最小正周期为5.2.已知函数f(x)Acos(x)(A0，0，R)，则“f(x)是奇函数”是“”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选Bf(x)是奇函数时，k(kZ)，充分性不成立；时，f(x)AcosAsin x，为奇函数，必要性成立所以“f(x)是奇函
10、数”是“”的必要不充分条件3.若函数ycos(N*)图象的一个对称中心是，则的最小值为()A1 B2 C4 D8解析：选B由题可知，k(kZ)，所以6k2(kZ)又N*，则min2.4.已知函数f(x)2sin(2x)在区间上单调且最大值不大于，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选D因为函数f(x)2sin(2x)在区间上单调且最大值不大于，又0,0，直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，则 ()A. B. C. D.解析：选A由于直线x和x是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T2，所以1，所以k(kZ)，又00)在区间
11、上为增函数，且图象关于点(3，0)对称，则的取值集合为()A. B.C. D.解析：选A由题意知即其中kZ，则，或1，即的取值集合为.4设函数f(x)3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，则|x1x2|的最小值为_解析：对任意xR，都有f(x1)f(x)f(x2)成立，f(x1)，f(x2)分别为函数f(x)的最小值和最大值，|x1x2|的最小值为T2.答案：25已知x(0，关于x的方程2sina有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为_解析：令y12sin，x(0，y2a，作出y1的图象如图所示若2sina在(0，上有两个不同的实数解，则y
12、1与y2应有两个不同的交点，所以a2.答案：(，2)练常考题点检验高考能力一、选择题1若函数f(x)同时具有以下两个性质：f(x)是偶函数；对任意实数x，都有ff.则f(x)的解析式可以是()Af(x)cos x Bf(x)cosCf(x)sin Df(x)cos 6x解析：选C由题意可得，函数f(x)是偶函数，且它的图象关于直线x对称因为f(x)cos x是偶函数，f，不是最值，故不满足图象关于直线x对称，故排除A.因为函数f(x)cossin 2x是奇函数，不满足条件，故排除B.因为函数f(x)sincos 4x是偶函数，且f1，是最小值，故满足图象关于直线x对称，故C满足条件因为函数f(
13、x)cos 6x是偶函数，f0，不是最值，故不满足图象关于直线x对称，故排除D.2已知函数f(x)2sin(2x)(|), 若f2，则f(x)的一个单调递增区间可以是()A. B.C. D.解析：选Df2，2sin2，即sin1.2k，又|0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点(x0,0)成中心对称，x0，则x0()A. B. C. D.解析：选A由题意得，T，则2.由2x0k(kZ)，得x0(kZ)，又x0，所以x0.5设函数f(x)(xR)，则f(x)()A在区间上是减函数B在区间上是增函数C在区间上是增函数D在区间上是减函数解析：选B由f(x)可知，f(x)的最小正周
14、期为.由kxk(kZ)，得kxk(kZ)，即f(x)在(kZ)上单调递增；由kxk(kZ)，得kxk(kZ)，即f(x)在(kZ)上单调递减将各选项逐项代入验证，可知B正确6(2017安徽江南十校联考)已知函数f(x)sin(x)0，|的最小正周期为4，且对任意xR，都有f(x)f成立，则f(x)图象的一个对称中心的坐标是()A. B.C. D.解析：选A由f(x)sin(x)的最小正周期为4，得.因为f(x)f恒成立，所以f(x)maxf，即2k(kZ)，所以2k(kZ)，由|0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则_.解析：f(x)sin x(0)过原点，当0x，即0x时，ysin x是
15、增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(0)在上单调递增，在上单调递减知，.答案：9已知函数f(x)3sin(0)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若x，则f(x)的取值范围是_解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故2，所以f(x)3sin，当x时，2x，所以sin1，故f(x).答案：10已知函数f(x)cos，其中xmR且m，若f(x)的值域是，则m的最大值是_解析：由x，可知3x3m，fcos，且fcos 1，要使f(x)的值域是，需要3m，解得m，即m的最大值是.答案：三、解答题11已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为.(1)求当f(x)为偶函数时的值；(2)若f(x)的图象过点，求f(x)的单调递增区间解：f(x)的最小正周期为，则T，2，f(x)sin(2x)(1)当f(x)为偶函数时，f(x)f(x)即sin(2x)sin(2x)，展开整理得sin 2xcos 0，由已知，上式对任意xR都成立，cos 0.0，.(2)由f(x)的图象过点，得sin，即sin.又0，0时，a33，b5.当a0时，a33，b8.综上所述，a33，b5或a33，b8.
