1、模块素养评价(120分钟 150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.若a,b,cR,且ab,则下列不等式一定成立的是()A.a+cb-c B.(a-b)c20 C.acbc D.【解析】选B.a,b,cR,且ab,可得a-b0,因为c20,所以(a-b)c20.bbcaac2.函数f(x)=x2+bx+c的零点为-1和2,那么不等式x2-bx+c0的解集为()A.x|-2x1 B.x|-1x2 C.x|x2 D.x|x1【解析】选A.二次函数f(x)=x2+bx+c的零点为-1和2,则对应一元二次方程 x2+bx+c=0的两个实数根为-1和2,所以b=-(-1+2)=-1,c=-12=-
2、2,所以不等式 x2-bx+c0化为x2+x-20,解得-2x1,所以不等式的解集为x|-2x0,b0)过点(-1,2),当 取最小值时直线l的斜 率为()A.B.C.2 D.2 【解析】选B.由题意可得,a+2b=2,则 当且仅当 即a=b时取等号,此时直线的斜率k=.122aab222aa2ba2ba11 2 2ababab，2baab2ab24.设等比数列an的前n项和为Sn,若a1+a3=5,a2+a4=10,则S5=()A.15 B.16 C.31 D.32【解析】选C.设等比数列an的公比为q,因为a1+a3=5,a2+a4=10,所以 q(a1+a3)=5q=10,a1(1+q2
3、)=5,联立解得:a1=1,q=2,则S5=31.5212 15.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=,c=,C=,则ABC 的面积为()A.2 B.2 C.3 D.3 【解析】选A.因为b=,c=,C=,所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,可得:26=a2+2-2a ,即a2+2a-24=0,解得a=4(负值舍去),所以SABC=absin C=4 sin =2.22226342263422()212122346.已知等差数列an的前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,则S15=()A.80 B.90 C.100 D.110【解析】选B.等差数列an中
4、,前n项和为Sn,若S5=10,S10=40,S5,S10-S5,S15-S10成等差数列,即10,30,S15-40成等差数列,则S15-40=50,所以S15=90.7.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A+sin C),则B=()A.B.C.D.6356233【解析】选D.因为(b-c)(sin B+sin C)=a(sin A+sin C),则由正弦定理可 得(b-c)(b+c)=a(a+c),即a2+c2-b2=-ac.则由余弦定理得cos B=又0B0,故 a0,b0,所以(a+b)=1+16+17+2 =25,所以
5、当且仅当 即b=4a时,取“=”,由a=1+d,b=19-d,解得d=3,所以19=1+(n+1)3,所以n=5.116()abb16aabb 16aab116255,ab204b16aab，11.一船以每小时15 km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4小时后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为 ()A.60 km B.60 km C.30 km D.30 km 222【解析】选A.画出图形如图所示,在ABC中BAC=30,AC=415 =60 ,B=45,由正弦定理得 所以BC=60,所以船与灯塔的距离为60 km.22ACsin B BCsin
6、 BAC，AC sin BAC60 2sin 30sin Bsin 4512.由三角形三边a,b,c直接求三角形面积问题中海伦公式很有名,它的表示形 式为S=其中p=(a+b+c),现有一个三角形的边长满足 a+b=12,c=8,则此三角形面积的最大值为()A.4 B.8 C.4 D.8 p(pa)pb(pc)（），12551515【解析】选B.由题意,p=10,S=当且仅当a=b=6时取等号,所以此三角形面积的最大值为8 .10a10b10 10a(10b)10c20 10a(10b)208 52（）（）（），5二、填空题(每小题5分,共20分)13.不等式 3的解集为 .【解析】不等式变为
7、 -30,即 0,解得x0),因为2a5+a4=a3,所以 2a1q4+a1q3=a1q2,即2q2+q-1=0,解得q=或-1(舍去),因为存在两项am,an,使得8 =a1,所以 8 =a1,即 ,所以m+n=8.因为 当且仅当 即m=6,n=2时,“=”成立.则 的最小值为2.12mna a2m n 21a q m n 21q8 91191mn()mn8mn（）1 9nm19n m(10)(210)2,8 mn8m n9nm,mn91mn答案:2【补偿训练】已知数列an的通项公式为an=则数列an前15项和S15的值 为 .1nnn2n7n，为奇数，（），为偶数【解析】因为数列an的通项
8、公式为an=所以S15=+(-5-3-1+1+7)=答案:1nnn2n7n，为奇数，（），为偶数111()1 33 515 17111111123351517（）57112 781277(1)7.221721717（）1271716.已知ABC内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2 且(2a-c)cos B=bcos C,则ABC面积的最大值为 .3【解析】在ABC中,利用正弦定理化简(2a-c)cos B=bcos C,得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,整理得2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,即2sin Acos B=s
9、in(C+B)=sin A,因为sin A0,所以cos B=,因为B(0,),所以B=,因为b=2 ,所以根据余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,即12=a2+c2-ac,1233因为a2+c22ac(当且仅当a=c时取等号),所以12=a2+c2-ac2ac-ac=ac,即ac12,当且仅当a=c时取等号,所以SABC=acsin B=ac3 ,则ABC面积的最大值为3 .答案:3 1234333三、解答题(共70分)17.(10分)已知函数f(x)=(ax+a+1)(x-1)(xR).(1)若a=1,解不等式f(x)0.(2)若a0.【解析】(1)a=1时,函数f(x)=(x+
10、2)(x-1),不等式f(x)0化为(x+2)(x-1)0,解得x1,所以不等式的解集为x|x1.(2)a0化为(x+1+)(x-1)0,若-a1,解不等式得1x-1-;若a=-,则-1-=1,不等式化为(x-1)20,无解;若a-,则-1-1,解不等式得-1-x1;1a121a1a121a121a1a综上所述,-a0时,不等式的解集为x|1x-1-;a=-时,不等式的解集为 ;a-时,不等式的解集为x|-1-x1.121a12121a18.(12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(1)求角B的大小;(2)若b=4,a+c=8,求ABC的面积.cos Bsin B.cos C
11、2sin Asin C【解析】(1)由 ,可得 2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C,可得2sin Acos B=sin(B+C)=sin A,由于sin A0,得cos B=,由于B(0,),则B=;cos Bsin Bcos C2sin Asin C123(2)因为b=4,B=,a+c=8,利用余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得16=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=64-3ac,可得 ac=16,则ABC的面积S=acsin B=16 =4 .31212323【补偿训练】(2019全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a
12、sin =bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.AC2【解析】(1)由题设及正弦定理得sin Asin =sin Bsin A.因为sin A0,所以sin =sin B.由A+B+C=180,可得sin =cos ,故cos =2sin cos .因为cos 0,故sin =,因此B=60.AC2AC2AC2B2B2B2B2B2B212(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.由正弦定理得a=由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90,由(1)知A+C=120,所以 30C90,故 a2,从而 SABC0,由0q0,所以a2+a4=5
13、,即a1q+a1q3=5,由解得q=(q=2舍去),a1=8,则an=8 =24-n;1222a24an 11()2(2)bn=log2an=log224-n=4-n,可得Sn=n(3+4-n)=则 可得n=6或7时,取最大值 .则n的值为6或7.122nS7nn7n2n2，2212nSSS57n17n13nn1131693n(3)(n)12n222244216，12nSSS12n212【补偿训练】已知数列an的前n项和为Sn,Sn=nan+n(n-1),且a5是a2和a6的等比中项.(1)证明:数列an是等差数列并求其通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和.nn 11a a【解析】(
14、1)Sn=nan+n(n-1),可得Sn+1=(n+1)an+1+n(n+1),相减可得Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan+n(n+1)-n(n-1),化简得an+1=(n+1)an+1-nan+2n,即为nan+1-nan=-2n,即有an+1-an=-2,则数列an是公差为-2的等差数列.a5是a2和a6的等比中项,可得 =a2a6,即(a1-8)2=(a1-2)(a1-10),解得a1=11,则an=11-2(n-1)=13-2n.(2)bn=则数列bn的前n项和为 nn 111111()a a132n(11 2n)2 132n11 2n，（）25a1 111111111 11n
15、()().2 1199775132n11 2n2 1111 2n121 22n20.(12分)已知ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,C=120.(1)若a=2b,求tan A的值;(2)若ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,求ABC周长的最小值.【解析】(1)已知ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,C=120.因为a=2b,所以sin A=2sin B,整理得:sin A=2sin(180-120-A),整理得:sin A=2 cos A-2 sin A,解得tan A=.321232(2)ACB的平分线交AB于点D,且CD=1,利用三角形的面积公式得 absin 1
16、20=a|CD|sin 60+b|CD|sin 60,所以 整理得 121212333abab444，111ab，所以a+b=(a+b)+12+2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.所以c2=a2+b2-2abcos 120,解得c=2 ,所以ABC周长的最小值为2+2+2 =4+2 .11ba()1abab333【补偿训练】在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且acos C=-2bcos A-ccos A.(1)求角A的大小;(2)若a=4,求ABC周长的最大值.【解析】(1)因为acos C=-2bcos A-ccos A,所以由正弦定理可得 sin Acos C=-2sin
17、 Bcos A-sin Ccos A,可得:sin Acos C+sin Ccos A=-2sin Bcos A,即:sin B=-2sin Bcos A,因为sin B0,所以cos A=-,即A=.2312(2)由(1)可得A=,则cos A=所以(b+c)2=16+bc16+即b+c ,当且仅当b=c=时取最大值.故当ABC为等腰三角形时,周长最大为4+.23222bca1,2bc2 2bc,4（）8 334 338 3321.(12分)某家用轿车的购车费9.5万元,保险费、保养费及换部分零件的费用合计每年平均4 000元,每年行车里程按1万公里,前5年性能稳定,每年的油费5 000元,
18、由于磨损,从第6年开始,每年的油费以500元的速度增加,按这种标准,这种车开多少年报废比较合算?【解析】设这种车开x年报废比较合算,当x6时,总费用为:y=95 000+4 000 x+5 000 x+5001+2+3+(x-5)=95 000+4 000 x+5 000 x+250(x-4)(x-5)=250 x2+6 750 x+100 000,平均费用:=250 x+6 7502 +6 750=16 750.当250 x=,即x=20时取最小值.yx100 000 x100 000250 xx100 000 x当x5时,平均费用:+9 00016 750.所以这种车开20年,平均使用费用
19、最低,故这种车开20年报废比较合算.y95 000 x522.(12分)已知数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2an-1,nN*,数列bn满足nbn+1-(n+1)bn=n(n+1),nN*,且b1=1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若cn=an ,数列cn的前n项和为Tn,对任意的nN*,都有TnnSn-a,求 实数a的取值范围.nb【解析】(1)由题意,当n=1时,S1=2a1-1=a1,所以a1=1,当n2时,Sn=2an-1,Sn-1=2an-1-1,-得:Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1,又a1=1,所以 =2,所以数列an是首项a1=1,公比q=2
20、的等比数列,从而数列an的通项公式为 an=2n-1,又由nbn+1-(n+1)bn=n(n+1)两边同时除以n(n+1)得:=1,nn 1aa n 1nbbn1n 所以数列 为首项b1=1,公差d=1的等差数列,所以 =n,从而数列bn的通项公式为bn=n2.(2)由(1)得cn=an =n2n-1,所以Tn=11+22+322+(n-1)2n-2+n2n-1,所以2Tn=12+222+323+(n-1)2n-1+n2n,-得-Tn=1+2+22+2n-1-n2n=-n2n,所以Tn=(n-1)2n+1,nbnnbnnbn1212又由(1)得Sn=2an-1=2n-1,因为对任意的nN*,都有TnnSn-a,即(n-1)2n+1n(2n-1)-a恒成立,所以a2n-n-1恒成立,记dn=2n-n-1,则a(dn)min,因为dn+1-dn=2n+1-(n+1)-1-(2n-n-1)=2n-10,从而数列dn为递增数列,所以当n=1时,dn取最小值d1=0,所以a0.
