1、课时作业69直接证明和间接证明 基础落实练一、选择题1用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根2分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设abc，且abc0，求证：0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)2；ab2；ab1；logab0，且a1).其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件为()A BC D4已知函数f(x)()x，a，b是正实数，Af()，Bf()，Cf()，则A，B，C的大小关系为()AABC
2、 BACBCBCA DCBA二、填空题5用数学归纳法证明11)时，第一步应验证的不等式是_6用数学归纳法证明不等式(n2)的过程中，由nk推导nk1时，不等式的左边增加的式子是_7设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_(填序号)三、解答题8已知二次函数f(x)ax2bxc(a0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)0，且0x0.(1)证明：是f(x)0的一个根；(2)试比较与c的大小；(3)证明：2b1且2，则下列结论成立的是()Aa，b，c同号Bb，c同号，a与它们异号Ca，c同号，b与它们异号Db
3、，c同号，a与b，c的符号关系不确定11在等比数列an中，“a1a21，证明：当x1且x0时，(1x)p1px.14将正整数作如下分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，(7，8，9，10)，(11，12，13，14，15)，(16，17，18，19，20，21)，分别计算各组包含的正整数的和如下：S11，S2235，S345615，S47891034，S5111213141565，S6161718192021111，试猜测S1S3S5S2n1的结果，并用数学归纳法证明培优创新练15利用数学归纳法证明不等式12时，关于x，y，z的方程xnynzn没有正整数解”经历三百多年，于二十世纪九十年代
4、中期，英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理则下面说法正确的是()A至少存在一组正整数组(x，y，z)，使方程x3y3z3有解B关于x，y的方程x3y31有正有理数解C关于x，y的方程x3y31没有正有理数解D当整数n3时，关于x，y，z的方程xnynzn没有正实数解课时作业69直接证明和间接证明1解析：依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定方程x3axb0至少有一个实根的反面是方程x3axb0没有实根答案：A2解析：ab2ac3a2（ac）2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20（ac）（2ac）0（ac）（ab）
5、0.答案：C3解析：ab1时，ab2，所以推不出a，b中至少有一个大于1，不符合；当ab0时，ab2，推不出a，b中至少有一个大于1，不符合；当ab2时，ab1，推不出a，b中至少有一个大于1，不符合；对于，假设a，b都不大于1，即a1，b1，则ab2，与ab2矛盾，所以能推出a，b中至少有一个大于1；对于，假设a，b都不大于1，则logabloga10，与logab1知，n取第一个值n02，当n2时，不等式为12.答案：11，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，若ab2，则a，b中至少有一个大于1，反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a
6、，b中至少有一个大于1.答案：8解析：（1）证明：因为f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，所以f（x）0有两个不等实根x1，x2，因为f（c）0，所以x1c是f（x）0的根，又x1x2，所以x2（c），所以是f（x）0的一个根（2）假设0，由0x0，知f（）0与f（）0矛盾，所以c，又因为c，所以c.（3）证明：由f（c）0，得acb10，所以b1ac.又a0，c0，所以b1.二次函数f（x）的图象的对称轴方程为xx2，即0，所以b2，所以2b2）使函数h（x）在区间a，b（a2）上是“四维光军”函数，因为h（x）在区间（2，）上单调递减，所以有即解得ab，这与已知a1知与同号，若0且0，不
7、等式2显然成立，若0且0，0，（）（）2 2，即0且0，即a，b，c同号答案：A11解析：当a1a2a3时，设公比为q，由a1a1q0，则1q1，此时，显然数列an是递增数列，若a1qq2，即0q1，此时，数列an也是递增数列，反之，当数列an是递增数列时，显然a1a2a3.故“a1a212x，原不等式成立假设当pk（k2，kN*）时，不等式（1x）k1kx成立则当pk1时，（1x）k1（1x）（1x）k（1x）（1kx）1（k1）xkx21（k1）x.所以当pk1时，原不等式也成立综合可得，当x1且x0时，对一切整数p1，不等式（1x）p1px均成立14解析：由题意知，当n1时，S1114；
8、当n2时，S1S31624；当n3时，S1S3S58134；当n4时，S1S3S5S725644.猜想：S1S3S5S2n1n4.下面用数学归纳法证明：（1）当n1时，S1114，等式成立（2）假设当nk（kN*，k1）时等式成立，即S1S3S5S2k1k4，那么，当nk1时，S1S3S5S2k1S2k1k4（2k2k1）（2k2k2）（2k2k2k1）k4（2k1）（2k22k1）k44k36k24k1（k1）4，所以当nk1时，等式也成立根据（1）和（2）可知，对于任意的nN*，S1S3S5S2n1n4都成立15解析：令不等式的左边为g（n），则g（k1）g（k）1（1），其项数为2k112k12k12k2k.故左边增加了2k项答案：D16解析：由于B，C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个假设关于x，y的方程x3y31有正有理数解，则x，y可写成整数比值的形式，不妨设x，y，其中m，n为互质的正整数，a，b为互质的正整数，代入方程得1，两边同时乘以a3n3，得（am）3（bn）3（an）3.由于am，bn，an都是正整数，这与费马大定理矛盾，所以假设不成立，所以关于x，y的方程x3y31没有正有理数解答案：C
