1、一、选择题1.曲线yxex1在点(0,1)处的切线方程是()A.xy10 B.2xy10C.xy10 D.x2y20解析yexxex(x1)ex,y|x01,所求切线方程为:xy10.答案A2.(2016南昌模拟)曲线ye2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D.1解析因为y2e2x,曲线在点(0,2)处的切线斜率k2,切线方程为y2x2,该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示,其中直线y2x2与yx的交点为A,所以三角形面积S1.答案A3.(2016洛阳模拟)曲线yxln x在点(e,e)处的切线与直线xay1垂直,则实数a的值为()A.2
2、 B.2 C. D.解析依题意得y1ln x,y|xe1ln e2,所以21,所以a2,故选A.答案A4.已知yf(x)为R上的可导函数,当x0时,f(x)0,若g(x)f(x),则函数g(x)的零点个数为()A.1 B.2 C.0 D.0或2解析令h(x)xf(x),因为当x0时,0,所以0,因此当x0时,h(x)0,当x0时,h(x)0,又h(0)0,易知当x0时,h(x)0,又g(x),所以g(x)0,故函数g(x)的零点个数为0.答案C5.已知e是自然对数的底数,函数f(x)exx2的零点为a,函数g(x)ln xx2的零点为b,则下列不等式中成立的是()A.f(a)f(1)f(b)
3、B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b) D.f(b)f(1)f(a)解析由题意,知f(x)ex10恒成立,所以函数f(x)在R上是单调递增的,而f(0)e00210,f(1)e112e10,所以函数f(x)的零点a(0,1);由题意,知g(x)10,所以g(x)在(0,)上是单调递增的,又g(1)ln 11210,g(2)ln 222ln 20,所以函数g(x)的零点b(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)f(1)f(b).答案A二、填空题6.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)ln(x)3x,则曲线yf(x)在点
4、(1,3)处的切线方程是_.解析设x0,则x0,f(x)ln x3x,又f(x)为偶函数,f(x)ln x3x,f(x)3,f(1)2,切线方程为y2x1.答案2xy107.函数f(x)x3x23x1的图象与x轴的交点个数是_.解析f(x)x22x3(x1)(x3),函数f(x)在(,1)和(3,)上是增函数,在(1,3)上是减函数,由f(x)极小值f(3)100,f(x)极大值f(1)0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案38.(2016济南模拟)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是_.解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0
5、即可,又f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,得x10,x22.当x0时,f(x)0;当0x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0,所以当x0时,f(x)取得极大值,即f(x)极大值f(0)a;当x2时,f(x)取得极小值,即f(x)极小值f(2)4a,所以解得4a0.答案(4,0)三、解答题9.(2016武汉模拟)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时,求f(x)的图象在x1处的切线方程;(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点,求实数m的取值范围.解(1)当a2时,f(x)2ln xx22x,f(x)2x2,切点坐标为(1,1),切线的斜率kf(1)2,
6、则切线方程为y12(x1),即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m,则g(x)2x.因为x,所以当g(x)0时,x1.当x1时,g(x)0,此时函数单调递增;当1xe时,g(x)0,此时函数单调递减.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2,g(e)m2e2,g(e)g4e20,则g(e)g,所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2,所以实数m的取值范围是.10.(2016平顶山二调)已知函数f(x)ln xax,对任意的x(0,),满足f(x)f0,其中a,b为常数.(1)若f(x)的图象在x1处的切线经过点(0,5),求a的值;(2)已知0
7、a1,求证:f0;(3)当f(x)存在三个不同的零点时,求a的取值范围.(1)解在f(x)f0中,取x1,得f(1)0,又f(1)ln 1abab0,所以ba.从而f(x)ln xax,f(x)a,f(1)12a.又f(1)5,所以12a5,a2.(2)证明fln2ln aln 2.令g(x)2ln xln 2,则g(x).所以x(0,1)时,g(x)0,g(x)单调递减,故x(0,1)时,g(x)g(1)2ln 21ln e0,所以0a1时,f0.(3)解f(x)a.当a0时,在(0,)上,f(x)0,f(x)单调递增,所以f(x)至多只有一个零点,不合题意;当a时,在(0,)上,f(x)0
8、,f(x)单调递减,所以f(x)至多只有一个零点,不合题意;当0a时,令f(x)0,得x11,x21.此时,f(x)在(0,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,)上单调递减,所以f(x)至多有三个零点.因为f(x)在(x1,1)上单调递增,所以f(x1)f(1)0.又因为f0,所以x0,使得f(x0)0.又ff(x0)0,f(1)0,所以f(x)恰有三个不同的零点:x0,1,.综上所述,当f(x)存在三个不同的零点时,a的取值范围是.11.已知函数f(x)exax2bx1,其中a,bR,e2.718 28为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g(x
9、)在区间0,1上的最小值;(2)若f(1)0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点,证明:e2a1.(1)解由f(x)exax2bx1,有g(x)f(x)ex2axb,所以g(x)ex2a.当x0,1时,g(x)12a,e2a,当a时,g(x)0,所以g(x)在0,1上单调递增,因此g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b;当a时,g(x)0,所以g(x)在0,1上单调递减.因此g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab;当a时,令g(x)0,得xln (2a)(0,1),所以函数g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减,在区间(ln(2a),1上单调递增.于是,g(x)在0,1上的最小值是
10、g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述,当a时,g(x)在0,1上的最小值是g(0)1b;当a时,g(x)在0,1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b;当a时,g(x)在0,1上的最小值是g(1)e2ab.(2)证明设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点,则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0,x0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正,也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点x1,同理,g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2,所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a时,g(x)在0,1上单调递增,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意.当a时,g(x)在0,1上单调递减,故g(x)在(0,1)内至多有一个零点,不合题意.所以a.此时g(x)在区间0,ln(2a)上单调递减,在区间(ln(2a),1上单调递增,因此x1(0,ln(2a),x2(ln(2a),1),必有g(0)1b0,g(1)e2ab0.由f(1)0有abe12,有g(0)ae20,g(1)1a0,解得e2a1.所以函数f(x)在区间(0,1)内有零点时,e2a1.