1、一、选择题1.曲线yxex1在点(0，1)处的切线方程是()A.xy10 B.2xy10C.xy10 D.x2y20解析yexxex(x1)ex，y|x01，所求切线方程为：xy10.答案A2.(2016南昌模拟)曲线ye2x1在点(0，2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D.1解析因为y2e2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点为A，所以三角形面积S1.答案A3.(2016洛阳模拟)曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为()A.2
2、 B.2 C. D.解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，所以a2，故选A.答案A4.已知yf(x)为R上的可导函数，当x0时，f(x)0，若g(x)f(x)，则函数g(x)的零点个数为()A.1 B.2 C.0 D.0或2解析令h(x)xf(x)，因为当x0时，0，所以0，因此当x0时，h(x)0，当x0时，h(x)0，又h(0)0，易知当x0时，h(x)0，又g(x)，所以g(x)0，故函数g(x)的零点个数为0.答案C5.已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式中成立的是()A.f(a)f(1)f(b)
3、B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b) D.f(b)f(1)f(a)解析由题意，知f(x)ex10恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)e00210，f(1)e112e10，所以函数f(x)的零点a(0，1)；由题意，知g(x)10，所以g(x)在(0，)上是单调递增的，又g(1)ln 11210，g(2)ln 222ln 20，所以函数g(x)的零点b(1，2).综上，可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)f(1)f(b).答案A二、填空题6.(2016全国卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(x)在点
4、(1，3)处的切线方程是_.解析设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切线方程为y2x1.答案2xy107.函数f(x)x3x23x1的图象与x轴的交点个数是_.解析f(x)x22x3(x1)(x3)，函数f(x)在(，1)和(3，)上是增函数，在(1，3)上是减函数，由f(x)极小值f(3)100，f(x)极大值f(1)0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案38.(2016济南模拟)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_.解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0
5、即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.答案(4，0)三、解答题9.(2016武汉模拟)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率kf(1)2，
6、则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x1时，g(x)0，此时函数单调递增；当1xe时，g(x)0，此时函数单调递减.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2，所以实数m的取值范围是.10.(2016平顶山二调)已知函数f(x)ln xax，对任意的x(0，)，满足f(x)f0，其中a，b为常数.(1)若f(x)的图象在x1处的切线经过点(0，5)，求a的值；(2)已知0
7、a1，求证：f0；(3)当f(x)存在三个不同的零点时，求a的取值范围.(1)解在f(x)f0中，取x1，得f(1)0，又f(1)ln 1abab0，所以ba.从而f(x)ln xax，f(x)a，f(1)12a.又f(1)5，所以12a5，a2.(2)证明fln2ln aln 2.令g(x)2ln xln 2，则g(x).所以x(0，1)时，g(x)0，g(x)单调递减，故x(0，1)时，g(x)g(1)2ln 21ln e0，所以0a1时，f0.(3)解f(x)a.当a0时，在(0，)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)至多只有一个零点，不合题意；当a时，在(0，)上，f(x)0
8、，f(x)单调递减，所以f(x)至多只有一个零点，不合题意；当0a时，令f(x)0，得x11，x21.此时，f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，)上单调递减，所以f(x)至多有三个零点.因为f(x)在(x1，1)上单调递增，所以f(x1)f(1)0.又因为f0，所以x0，使得f(x0)0.又ff(x0)0，f(1)0，所以f(x)恰有三个不同的零点：x0，1，.综上所述，当f(x)存在三个不同的零点时，a的取值范围是.11.已知函数f(x)exax2bx1，其中a，bR，e2.718 28为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x
9、)在区间0，1上的最小值；(2)若f(1)0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，证明：e2a1.(1)解由f(x)exax2bx1，有g(x)f(x)ex2axb，所以g(x)ex2a.当x0，1时，g(x)12a，e2a，当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递增，因此g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)0，所以g(x)在0，1上单调递减.因此g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab；当a时，令g(x)0，得xln (2a)(0，1)，所以函数g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增.于是，g(x)在0，1上的最小值是
10、g(ln(2a)2a2aln(2a)b.综上所述，当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(0)1b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(ln(2a)2a2aln(2a)b；当a时，g(x)在0，1上的最小值是g(1)e2ab.(2)证明设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)f(x0)0可知f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负.故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1，同理，g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2，所以g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点.由(1)知，当a时，g(x)在0，1上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，不合题意.当a时，g(x)在0，1上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，不合题意.所以a.此时g(x)在区间0，ln(2a)上单调递减，在区间(ln(2a)，1上单调递增，因此x1(0，ln(2a)，x2(ln(2a)，1)，必有g(0)1b0，g(1)e2ab0.由f(1)0有abe12，有g(0)ae20，g(1)1a0，解得e2a1.所以函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e2a1.