1、第七节正弦定理、余弦定理的应用举例【最新考纲】能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题1仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图)2方位角和方向角(1)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30等3坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)仰角与俯角都是目标视线与水平线的夹角，因此二者没有区别(
2、)(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(3)若点P在Q的北偏东44，则Q在P的东偏北46.()(4)方位角与方向角的实质均是确定观察点与目标点之间的位置关系()答案：(1)(2)(3)(4)2有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为()A1B2sin 10C2cos 10Dcos 20解析：如下图，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理，得.ADAB2cos 10.答案：C3若点A在点C的北偏东30，点B在点C的南偏东60，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15B北偏西15C北偏东10 D
3、北偏西10解析： 如下图所示，ACB90，又ACBC，CBA45，而30，90453015.点A在点B的北偏西15.答案：B4如下图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得AC50 m，ACB45，CAB105，则A，B两点的距离为()A50mB25mC25mD50m解析：因为ACB45，CAB105，所以B30.由正弦定理可知，即，解得AB50 m.答案：D5一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45，沿点A向北偏东30前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30，则水
4、柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在ABC中，A60，ACh，AB100，BCh.根据余弦定理得，(h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，解得h50，故水柱的高度是50 m.答案：A一个程序解三角形应用题的一般步骤1审题：阅读理解题意，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；2建模：根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；3求解：根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；4检验：将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等一个区别“方位角”与“方向角”的区
5、别：方位角大小的范围是0，2)，方向角大小的范围一般是0，)两种情形解三角形应用题的两种情形1已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解2已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解两点注意1画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程2解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量A级基础巩固一、选择题1若点A在点B的北偏西30，则点B在点A的(
6、)A北偏西30B北偏西60C南偏东30 D东偏西30解析：如下图，点B在点A的南偏东30.答案：C2如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于km，灯塔A在观察站C的北偏东20，灯塔B在观察站C的南偏东40，则灯塔A与灯塔B的距离为()A km B. kmC. km D2 km解析：在ABC中，ACBC，ACB120，AB2222a2cos 12032，AB.答案：B3如右图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A30 B45C60 D75解析：依题意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD
7、50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案：B4一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75且距灯塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔东南方向的N处，则这只船的航行速度为()A.海里/小时 B34海里/小时C.海里/小时 D34海里/小时解析：如下图所示，在PMN中，MN34，v(海里/小时)答案：A5一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，
8、C两点间的距离是()A10海里 B10海里C20海里 D20海里解析：如右图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根据正弦定理得，解得BC10(海里)答案：A二、填空题6江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_m.解析：如右图，OMAOtan 4530(m)，ONAOtan 303010 (m)，在MON中，由余弦定理得，MN10(m)答案：107如下图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东1
9、5方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米解析：在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30。，BC10.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(米)答案：108(2016江南六校联考)如右图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东30角的方向沿直线前往B处营救，则sin _解析：连结BC.在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcos 120700，BC10.再
10、由正弦定理，得，sin 答案：三、解答题9某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得ABC105和BAC30，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得BAD90和ABD45.请你根据以上条件求出航模的速度(答案保留根号)解：在ABD中，BAD90，ABD45，ADB45，ADAB80，BD80.在ABC中，BC40.在DBC中，DC2DB2BC22DBBCcos 60(80)2(40)2280409 600.DC40，航模的速度v2米/秒因此航模的速度为2米/秒10在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建
11、筑物顶端对于山坡的斜度为15，如右图所示，向山顶前进100 m后，又从B点测得斜度为45，设建筑物的高为50 m求此山对于地平面的斜度的余弦值解：在ABC中，BAC15，CBA18045135，所以ACB30.又AB100 m，由正弦定理，得，即BC.在BCD中，因为CD50，BC，CBD45，CDB90，由正弦定理，得，解得cos 1.因此，山对于地平面的斜度的余弦值为1.B级能力提升1在不等边三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，其中为最大边，如果sin2(BC)sin2Bsin2C，则角A的取值范围为()A. B.C. D.解析：由题意得sin2Asin2Bsin2C，由正
12、弦定理得2b2c2，即b2c220.则cos A0，0A，0A.又为最大边，A.因此得角A的取值范围是.答案：D2在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30，60，则塔高为_m.解析：如右图，由已知可得BAC30，CAD30，BCA60，ACD30，ADC120.又AB200 m，AC m.在ACD中，由余弦定理得，AC22CD22CD2cos 1203CD2，CDAC m.答案：3如右图所示，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75方向直线航行，下午1时到达B处然后以同样的速度沿北偏东15方向直线航行，下午4时到达C岛(
13、1)求A，C两岛之间的距离；(2)求BAC的正弦值解：(1)在ABC中，由已知，得AB10550(海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120，由余弦定理，得AC250230225030 cos 1204900，所以AC70(海里)故A，C两岛之间的距离是70海里(2)在ABC中，由正弦定理，得，所以sinBAC.故BAC的正弦值是.三角函数与解三角形本章主要内容是三角函数的概念、图象与性质，简单的三角恒等变换，正弦、余弦定理的应用。针对本章公式多这一突出特点，必须弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系，才能正用、逆用、变形使用公式；关于角的变换是解决三角问题的关键，应时刻关注
14、待求角与已知角的关系，力争整体处理，这里渗透着等价转化思想的应用强化点1三角函数的图象与性质(满分现场) (本小题满分12分)已知函数f(x)2sin()cos()sin(x)(1)求f(x)的最小正周期(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，上的最大值和最小值规范解答：(1)f(x)2sin()cos()sin(x)3分cos xsin x2sin(x)，5分于是T2.6分(2)由已知得g(x)f(x)2sin(x)，8分x0，x，sin(x)，1，10分g(x)2sin(x)1，211分故函数g(x)在区间0，上的最大值为2，最小值为1.
15、12分 (1)本题的易失分点是：不能准确逆用二倍角公式及诱导公式将f(x)化为cos xsin x；用辅助角公式时求错辅助角；由x的范围求错sin(x)的值域(2)满分原则：弄清公式的内在联系，准确正用、逆用公式进行化简；由x的范围求出x的范围，进而画出草图求出sin(x)的值域；做到思维有序，表述条理，书写规范解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f(x)化为sin xbcos x的形式第二步：(用辅助角公式)构造f(x)(sin xcos x)第三步：(求性质)利用f(x)sin(x)研究三角函数的性质第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范(1)在第(
16、1)问的解法中，使用辅助角公式sin bcos sin()(其中tan)，在历年高考中使用频率是相当高的，几乎年年使用到、考查到，应特别加以关注(2)求g(x)的最值一定要重视定义域，可以结合三角函数图象进行求解【变式训练】已知直线ym(0m2)与函数ysin xcos x(0)的图象依次交于A(1，m)，B(5，m)，C(7，m)三点，则()A.B.C.D.解析：f(x)sin xcos x2sin.由f(1)f(5)f(7)知x3和x6是函数f(x)相邻的两条对称轴，3，即T6，6(0)，得.答案：A强化点2三角恒等变换的综合应用 已知角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(
17、3，)(1)求sin 2tan 的值；(2)若函数f(x)cos(x)cos sin(x)sin ，求函数yf(2x)2f2(x)在区间0，上的取值范围解：(1)角终边经过点P(3，)，sin ，cos ，tan ，sin 2tan 2sin cos tan .(2)f(x)cos(x)cos sin(x)sin cos x，ycos(2x)2cos2xsin 2x1cos 2x2sin(2x)1，0x，02x，2x，22sin(2x)11.故函数yf(2x)2f2(x)在区间0，上的取值范围是2，11三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为yAsin(
18、x)的形式再研究其性质2解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题【变式训练】(1)函数f(x)sin xcos(x)的最大值为()A2B.C1D.(2)函数f(x)sin(2x)2sin2x的最小正周期是_解析：(1)f(x)sin xcoscos xsinsin xcos xsin xsin(x)f(x)max1.(2)f(x)sin 2xcos 2x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin(2x)，T.答案：(1)C(2)强化点3解三角形 (2015课标全国卷)ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求1求解三角形的基本量的
19、技巧：先将几何问题转化为代数问题，正确分析已知等式中的边角关系，利用正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等进行三角形中边角的互化2然后利用三角形的内角和定理、大边对大角及三角函数等知识求出三角形的基本量【变式训练】(2014课标全国卷)四边形ABCD的内角A与C互补，AB1，BC3，CDDA2.(1)求C和BD；(2)求四边形ABCD的面积解：(1)由题设及余弦定理得BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C，BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C由，得cos C，故C60，BD.(2)四边形ABCD的面积SABDAsin A BCCDsin Csin 602.一
20、、选择题1已知是第二象限角，sin ，则tan 的值是()A.BC.D解析：sin ，且是第二象限角，cos ，则tan .答案：B2在ABC中，内角A，B，C的对边分别是，b，c，若2b2bc，sin C2sin B，则A等于()A30 B60 C120 D150解析：sin C2sin B，由正弦定理得c2b，cos A，又A为三角形的内角，A30.答案：A3在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是，b，c，若32b，则的值为()A B. C1 D.解析：32b，由正弦定理得.21211.答案：D4(2014辽宁卷)将函数y3sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间上
21、单调递减B在区间上单调递增C在区间上单调递减D在区间上单调递增解析：由题意知，平移后的函数f(x)3sin3sin3sin.令2k2x2k，kZ，解得f(x)的递减区间为，kZ.令2k2x2k(kZ)，解得f(x)的递增区间为，kZ.从而可判断选项B正确答案：B5(2017青岛一模)函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如右图所示，若x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A1 B. C. D.解析：观察图象可知，A1，T，2，f(x)sin(2x)将代入上式得sin0，由|，得，则f(x)sin.函数图象的一条对称轴为x.又x1，x2，且f(x1)f(x2)，x
22、1x2，f(x1x2)sin(2).答案：D二、填空题7设f(x)sin x2sin(x)的最大值为3，则常数_解析：f(x)sin x2sin(x)cos xsin x2sin(x)sin(x)2sin(x)(2)sin(x)依题意有23，.答案：8(2015天津卷)已知函数f(x)sin xcos x(0)，xR.若函数f(x)在区间(，)内单调递增，且函数yf(x)的图象关于直线x对称，则的值为_解析：f(x)sin xcos xsin，因为f(x)在区间(，)内单调递增，且函数图象关于直线x对称，所以f()必为一个周期上的最大值，所以有2k，kZ，所以22k，kZ.又()，即2，所以2，所以.答案：三、解答题9(2015安徽卷)已知函数f(x)(sin xcos x)2cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)因为f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2x1sin 2xcos 2xsin1，所以函数f(x)的最小正周期为T.(2)由(1)的计算结果知，f(x)sin1.当x时，2x，由正弦函数ysin x在上的图象知，当2x，即x时，f(x)取得最大值1；当2x，即x时，f(x)取得最小值0.综上，f(x)在上的最大值为1，最小值为0.
