1、【新课教学过程设计（二）】第三章 直线与方程第3.2.2节直线的两点式方程【本节教材分析】（一）三维目标1知识与技能（1）掌握直线方程的两点式的形式特点及适用范围；（2）了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。2过程与方法让学生在应用旧知识的探究过程中获得新的结论，并通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的特点.3情态与价值观（1）认识事物之间的普通联系与相互转化；（2）培养学生用联系的观点看问题。（二）教学重点直线方程两点式和截距式.（三）教学难点关于两点式的推导以及斜率不存在或斜率时对两点式方程的讨论及变形.（四）教学建议本节课的关键是关于两点式的推导以及斜率不存在或斜率时对两点式的讨论
2、及变形.直线方程的两点式可由点斜式导出.若已知两点恰好在坐标轴上(非原点)，则可用两点式的特例截距式写出直线的方程.由于由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便.在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式.但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式.【新课导入设计】导入一：上节课我们学习了直线方程的点斜式，请问点斜式方程是什么？点斜式方程是怎样推导的？利用点斜式解答如下问题：（1）已知直线l经过两点P1(1,2),P2(3,5),求直线l的方程.（2）已知两点P
3、1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程.导入二：要学生求直线的方程，题目如下：A(8，-1)，B(-2，4)；A(6，-4)，B(-1，2)；A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2).(分别找3个同学说上述题的求解过程和答案，并着重要求说求k及求解过程)这个答案对我们有何启示？求解过程可不可以简化？我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢?导入三：情景导入、展示目标。思考:由一个点和斜率可以确定一条直线，还有别的条件可以确定一条直线吗？问题：已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程解：直线l过点A（3，-5）和B（-2，
4、5）将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得y(5) =2 ( x3 ) 即 2x + y 1 = 0【教学过程】提出问题已知两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1x2,y1y2)，求通过这两点的直线方程.若点P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有x1=x2或y1=y2，此时这两点的直线方程是什么？两点式公式运用时应注意什么？已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a0,b0，求直线l的方程.a、b表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？截距式不能表示平面坐标系下哪些直线？活动:教师引导学生：根据已有的知识，要求直线方程，应知道什么条件
5、？能不能把问题转化为已经解决的问题呢？在此基础上，学生根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程.师生共同归纳：已知直线上两个不同点，求直线的方程步骤：a.利用直线的斜率公式求出斜率k;b.利用点斜式写出直线的方程.x1x2,k=,直线的方程为y-y1=(x-x1).l的方程为y-y1=(x-x1).当y1y2时,方程可以写成.由于这个方程是由直线上两点确定的，因此叫做直线方程的两点式.注意：式是由式导出的，它们表示的直线范围不同.式中只需x1x2，它不能表示倾斜角为90的直线的方程；式中x1x2且y1y2，它不能表示倾斜角为0或90的直线的方程，但式相对于
6、式更对称、形式更美观、更整齐，便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)，那么就可以用它来求过平面上任意两已知点的直线方程.使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式.教师引导学生通过画图、观察和分析，发现当x1=x2时，直线与x轴垂直，所以直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.引导学生注意分式的分母需满足的条件.使学生学会用两点式求直线方程；理解截距式源于两点式，是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目中所给的条件有什么特点？可以用多少方法来求直线l的方程？哪种方法更为简捷？然后求出直线方程
7、.因为直线l经过(a，0)和(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得.就是=1.注意：这个方程形式对称、美观,其中a是直线与x轴交点的横坐标，称a为直线在x轴上的截距，简称横截距；b是直线与y轴交点的纵坐标，称b为直线在y轴上的截距，简称纵截距.因为方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，所以方程式叫做直线方程的截距式.注意到截距的定义，易知a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.考虑到分母的原因，截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.讨论结果：若x1x2且y1y2,则直线l方程
8、为.当x1=x2时，直线与x轴垂直，直线方程为x=x1；当y1=y2时，直线与y轴垂直，直线方程为y=y1.倾斜角是0或90的直线不能用两点式公式表示(因为x1x2,y1y2).=1.a、b表示的截距分别是直线与坐标轴x轴交点的横坐标，与y轴交点的纵坐标，而不是距离.截距式不能表示平面坐标系下在x轴上或y轴上截距为0的直线的方程，即过原点或与坐标轴平行的直线不能用截距式.例题讲解例1 求出下列直线的截距式方程：（1)横截距是3，纵截距是5；（2)横截距是10，纵截距是-7；（3)横截距是-4，纵截距是-8.解析：（1）5x+3y-15=0；（2)7x-10y-70=0；（3）3x+4y+12=
9、0.变式训练 已知RtABC的两直角边AC=3，BC=4，直角顶点C在原点，直角边AC在x轴负方向上，BC在y轴正方向上，求斜边AB所在的直线方程.答案：4x-3y+12=0.例2 如图1,已知三角形的顶点是A(5，0)、B(3，3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在直线的方程.图1分析:根据A、B、C三点坐标的特征，求AB所在的直线的方程应选用两点式；求BC所在的直线的方程应选用斜截式；求AC所在的直线的方程应选用截距式.解：AB所在直线的方程，由两点式,得,即3x+8y+15=0.BC所在直线的方程，由斜截式,得y=-x+2,即5x+3y-6=0.AC所在直线的方程，由截距式,得=1,即
10、2x-5y+10=0.变式训练 如图2,已知正方形的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，求正方形各边及对称轴所在直线的方程.图2分析:由于正方形的顶点在坐标轴上，所以可用截距式求正方形各边所在直线的方程.而正方形的对称轴PQ，MN，x轴，y轴则不能用截距式，其中PQ，MN应选用斜截式；x轴，y轴的方程可以直接写出.解:因为|AB|=4，所以|OA|=|OB|=.因此A、B、C、D的坐标分别为(2,0)、(0,2)、(-2,0)、(0,-2).所以AB所在直线的方程是=1,即x+y-2=0.BC所在直线的方程是=1,即x-y+2=0.CD所在直线的方程是=1,即x+y+2=0.DA所在直
11、线的方程是=1,即x-y-2=0.对称轴方程分别为xy=0,x=0,y=0.例3：已知三角形的三个顶点A（5,0），B（3，3），C（0,2）求BC所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程。解：将B，C两点代入两点式，得整理，得：5x3y60，这就是直线BC的方程。设BC的中点为M（x，y），由中点坐标公式，得M（，即M（）中线AM所在的直线方程为：，整理，得：x13y50点评：其中考察了线段中点坐标公式，非常的常用，引起重视。例4已知ABC的顶点是A(1，1)，B(3,1)，C(1,6)直线l平行于AB，且分别交AC，BC于E，F，且CEF的面积是ABC的面积的.(1)求点E，F的坐标(
12、2)求直线l的方程思路分析：根据直线的几何位置关系及面积的比值确定出点E，F的位置，然后利用中点坐标公式求点E，F的坐标，利用两点式求直线l的方程解：(1)设点E(x1，y1)，F(x2，y2)，因为直线EFAB，并且CEF的面积是CAB的面积的，所以E，F分别为AC，BC 的中点，由中点坐标公式可得：x10，y1，x22，y2，所以E(0，)，F(2，)(2)因为点E(0，)，F(2，)，由两点式方程，可得直线l的方程为，即x2y50.温馨提示：利用数形结合的思想，通过几何图形判断点所在的位置，以数研究形，以形研究数，是解析几何常用的数学思想方法 变式练习 过点P(3,0)作直线l，使它被两
13、条相交直线2xy20和xy30所截得的线段AB恰好被P点平分，求直线l的方程解：设直线l与直线2xy20交于点A(x1，y1)点P(3,0)是线段AB的中点，由中点坐标公式得B点的坐标为(6x1，y1)，解得由两点式直线方程得直线l的方程为，即8xy240.课堂小结 通过本节学习，要求大家：掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程.理解数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围，树立辩证统一的观点，形成严谨的科学态度和求简的数学精神.作业课本习题3.2 A组9、10.当堂检测1、如果AC0，且BC0，那么直线不通过
14、 （ ）A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限2、经过点A（1，2）并且在坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有（ ）A. 4条 B. 3条 C. 2条 D.1条3、下列命题中正确的是( )A. 经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程yy0=k(xx0)表示B. 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kxb表示C. 经过任意两个不同点P1(x1，y1)， P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2x1)(yy1)=(y2y1)(xx1)表示 D. 不经过原点的直线都可以用方程=1表示4.已知直线l过点P(5,10)，且原点到它的距离为5,则直线l的方程为_.5.直线x-
15、2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于，那么b的取值范围是_.6.经过点P(0,-1)作直线l，若直线l与连接A(1,-2)，B(2,1)的线段没有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为_.7. 求与两坐标轴正向围成面积为2平方单位的三角形，并且两截距之差为3的直线的方程.8. 经过点A(1,2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程.参考答案1.答案：C2.答案：B3.答案：C4.答案：.x=5或3x-4y+25=0 5.答案：-2,0)(0,2 6.答案：(-,-1)(1,+)7. 解：设直线方程为=1,则由题意知,有ab=3,ab=4.解得a=4,b=1或a=1,b=4.则直线方程是=1或=1,即x+4y-4=0或4x+y-4=0.8. 解：当截距为0时，设y=kx，又过点A(1,2)，则得k=2，即y=2x.当截距不为0时，设=1或=1,过点A(1,2)，则得a=3，或a=-1，即x+y-3=0或x-y+1=0.这样的直线有3条：2x-y=0，x+y-3=0或x-y+1=0.
