1、 20142015学年度第二学期期中测试卷高二数学(理科甲卷)参考答案及评分意见一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBDAABDACBCD二、填空题（每小题5分，共20分）13 a 14 15 16 三、解答题17.(1)结论：BCl，因为ADBC，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.又因为BC平面PBC，平面PAD平面PBCl，所以BCl.(2)结论：MN平面PAD.设Q为CD的中点，如图所示，连接NQ，MQ，则NQPD，MQAD.又因为NQMQQ，PDADD，所以平面MNQ平面PAD.又因为MN平面MNQ，所以MN平面PAD.18解析：
2、（1）由该几何体的三视图知AC面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=，体积； 4分（2）在中，过B作AD的垂线BH，垂足为H，易得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为。12分19解析：(1)证明：由已知可得BD2，又AD2，CD4，AB2，则BC2，则BD2BC216DC2，所以BDBC.因为PD平面ABCD，BC平面ABCD，故PDBC.又BDPDD，所以BC平面BDP. 6分(2)如图，过M作MGDC交DC于点G.由PDDC，M是PC中点，知MG是DCP的中位线，因此，MGPD，MGPD，又PD平面ABCD
3、，所以MG平面BDC.又tanPCD，得PD2，MGPD1.所以VMBDPVPBCDVMBCD222221.12分20（1）由得由（cm3）6分（2）作轴截面图如下，设球心为，半径为，由,，则,(cm2)12分21解析(1)方法一ADBC，BCAD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形CDBQ. 1分ADC90，AQB90，即QBAD.又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，BQ平面PAD. 3分BQ平面PQB，平面PQB平面PAD. 4分方法二ADBC，BCAD，Q为AD的中点，BCDQ且BCDQ.四边形BCDQ为平行四边形，CDBQ. 1分ADC90，AQB90，即Q
4、BAD.PAPD，PQAD. 2分又PQBQQ，AD平面PBQ. 3分AD平面PAD，平面PQB平面PAD. 4分(2)PAPD，Q为AD的中点，PQAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCDAD，PQ平面ABCD. 5分如图，以Q为原点，QA，QB，QP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，B(0，0)，C(1，0)，M(，)6分(1,0，)，(，)设异面直线AP与BM所成角为，则cos|cos，|.7分异面直线AP与BM所成角的余弦值为.8分(3)由(2)知，平面BQC的一个法向量为n(0,0,1)，9分连接QC
5、，由P，M，C三点共线，得(1)，且01.(1，(1)，)10分又(0，0)，设平面MBQ的法向量为m(x，y，z)，则即令x，得y0，z.平面MBQ的一个法向量为m(，0，)11分二面角MBQC的大小为30，cos30|.QM.12分22解析(1)因为等边三角形ABC的边长为3，且，所以AD1，AE2.在ADE中，DAE60，由余弦定理，得DE.因为AD2DE2AE2，所以ADDE，折叠后有A1DDE. 3分因为二面角A1DEB是直二面角，所以平面A1DE平面BCED.又平面A1DE平面BCEDDE，A1D平面A1DE，A1DDE，所以A1D平面BCED. 6分(2)假设在线段BC上存在点P
6、，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60.如图，作PHBD于点H，连接A1H，A1P.方法一由(1)知A1D平面BCED，又PH平面BCED，所以A1DPH.又A1DBDD，所以PH平面A1BD.所以PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角8分设PBx(0x3)，则BH，PH.又在RtPA1H中，PA1H60，所以A1H.在RtA1DH中，A1D1，DH2，由A1D2DH2A1H2，得12(2)2()2.解得x，满足0x3，符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时PB.12分方法二由(1)可知EDDB，A1D平面BCED.以D为坐标原点，以射线DB，DE，DA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示设PB2a(02a3)，则BHa，PHa，DH2a.所以A1(0,0,1)，P(2a，a,0)，E(0，0)所以(a2，a,1)因为ED平面A1BD，所以平面A1BD的一个法向量为(0，0)9分因为直线PA1与平面A1BD所成的角为60，所以sin60.解得a，即PB2a，满足02a3，符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60，此时PB.12分
