1、第四节平面向量应用举例【最新考纲】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题1向量在几何中的应用(1)证明线段平行或点共线问题，常用共线向量定理：bbx1y2x2y10(b0)(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：bb0x1x2y1y20.(3)平面几何中夹角与线段长度计算，cos，b，|AB|2向量在物理学中的应用(1)向量的加法、减法在力的分解与合成中的应用(2)向量在速度的分解与合成中的应用(3)向量的数量积在合力做功问题中的应用：Wfs.3向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的
2、线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若，则A，B，C三点共线()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决()(3)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形()(4)已知三个力f1，f2，f3作用于物体同一点，使物体处于平衡状态，若f1(2，2)，f2(2，3)，则|f3|为5.()解析：(1)、(2)显然正确在(3)中，0，0，则B为锐角，ABC不一定为钝角三角形，(3)不正确(4)中，由题意知f1f2f30，f3(f1f2)(0，5)，|f3|5.(4)正确答案：(1)(2)(3)(4)2若
3、(，1)是直线l的一方向向量，则直线l的倾斜角为()A.B.C.D.解析：由已知得直线l的斜率k，所以其倾斜角为.答案：A3设向量(1，cos )与b(1，2cos )垂直，则cos 2_解析：(1，cos )，b(1，2cos )b，b12cos20，cos 22cos210.答案：04(2014山东卷)在ABC中，已知tan A，当A时，ABC的面积为_解析：已知A，由题意得|costan，|，所以ABC的面积S|sin.答案：5河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为_解析：如图所示，v1表示河水的速度，v2表示小船在静水中的速
4、度，v表示小船的实际速度，则|v2|2(m/s)答案：2m/s一种手段实现平面向量与三角函数、平面几何与解析几何之间转化的主要手段是向量的坐标运算两点注意1向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与现象，向量本身是一个数形结合的产物，在利用向量解决问题时，要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合2要注意交换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题一、选择题1已知点A(2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足x2，则点P的轨迹是()A圆B椭圆C双曲线D抛物线解析：(2x，y)，(3x，y)，(2x)(3x)y2x2，y2x6.答案：D2已知ABC中，20，
5、则ABC的形状是()A钝角三角形 B锐角三角形C等腰直角三角形 D直角三角形解析：20化为()0，即0，所以.所以ABC为直角三角形又根据条件，不能得到|.答案：D3一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A2 B2 C2 D6解析：如右图所示，由已知得F1F2F30，F3(F1F2)FFF2F1F2FF2|F1|F2|cos 6028.|F3|2.答案：A4平面上O，A，B三点不共线，设， b，则OAB的面积等于()A.B.C. D. 解析：因为cos，b，所以sinAOBsin，b，
6、则SAOB|b|sinAOB.答案：C5若函数yAsin(x)(A0，0，|)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且0(O为坐标原点)，则A等于()A. B.C. D.解析：，T，M，N，即，又A(A)0，A.答案：B6在平面上，|1，.若|，则|的最大值是()A. B. C. D.解析：由题意，点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心，半径为的圆内又，平行四边形AB1PB2为矩形，则点A，P在以|B1B2|为直径的圆上，当点P与O重合时，|最大，最大值为.答案：A二、填空题7(2014陕西卷)设0，向量(sin 2，cos )，b(1，cos )，若
7、b0，则tan _解析：由b0，可得sin 2cos20，即2sin cos cos20，整理得cos (2sin cos )0.又因为0，所以cos 0.所以2sin cos 0，即2sin cos .所以tan .答案：8已知直线xy与圆x2y24交于A、B两点，且|，其中O为原点，则正实数的值为_解析：由|，知，|AB|2，则得点O到AB的距离d，解得2(0)答案：29已知向量(cos ，sin )，向量b(，1)，则|2b|的最大值与最小值的和为_解析：由题意可得bcos sin 2cos，则|2b|0，4，所以|2b|的最大值与最小值的和为4.答案：4三、解答题10设过点P(x，y)
8、的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2，且1，求P点的轨迹方程解：设A(x0，0)(x00)，B(0，y0)(y00)，P(x，y)与Q关于y轴对称， Q(x，y)，由2，即(x，yy0)2(x0x，y)，可得(x，y0)又(x，y)，(x0，y0).1，x23y21(x0，y0)点P的轨迹方程为x23y21(x0，y0)11(2014陕西卷)在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在ABC三边围成的区域(含边界)上(1)若0，求|；(2)设mn(m，nR)，用x，y表示mn，并求mn的最大值解：(1)法一0，又(1x，1y)(2x，3y)(3x，2y)(63x，63y)，解得即(2，2)，故|2.法二0，则()()()0，()(2，2)，|2.(2)mn，(x，y)(m2n，2mn)，两式相减得，mnyx，令yxt，由图知，当直线yxt过点B(2，3)时，t取得最大值1，故mn的最大值为1.
