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安徽省皖西南联盟2020届高三数学上学期期末考试试题 文(含解析).doc

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资源描述

1、安徽省皖西南联盟2020届高三数学上学期期末考试试题 文(含解析)考生注意:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容:高考全部内容(除选考).第卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合,则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合与,然后利用交集的定义可得出集合.【详解】,因此,.故选:D.【点睛】本题考查交集的计算,涉及具体函数定义域的计算,考查计算能力,属于基础题.2.若,则z在复平面内对应的点位于

2、( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】因为,故,然后根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为,所以z在复平面内对应的点位于第三象限.故选:C.【点睛】本题考查复数的代数运算,考查复数的几何意义,属于基础题.3.已知,则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别根据指对幂函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】,即.故选:A【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小比较,属于基础题.4.某公司的老年人、中年人、青年人的比例为,用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中青年人数为100,则( )A. 400B. 200C

3、. 150D. 300【答案】D【解析】【分析】直接利用分层抽样的定义计算即可.【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查,其中青年人数为,则,解得.故选:D.【点睛】本题考查分层抽样的应用,属于基础题.5.函数在的图象大致为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先考虑奇偶性,再考虑特殊值,用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数,排除C,D;,排除A.故选:B.【点睛】本题考查函数图象的判断,属于常考题.6.设满足约束条件则的最小值为( )A. 2B. 0C. -1D. 1【答案】D【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域,再利用线性规划求的最小值.【详解】

4、作出不等式组对应的可行域,如图所示,联立得.由得,它表示斜率为-1,纵截距为z的直线系,当直线经过点B时,直线的纵截距最小,z最小.所以.故选:D【点睛】本题主要考查线性规划求最值,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.鸡兔同笼,是中国古代著名的趣味题之一.孙子算经中就有这样的记载:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各有几何?设计如右图的算法来解决这个问题,则判断框中应填入的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由题意知为鸡的数量,为兔的数量,为足的数量,根据题意可得出判断条件.【详解】由题意可知为鸡的数量,为兔的数量,为足的数量,根据题意知,在程序框图中,

5、当计算足的数量为时,算法结束,因此,判断条件应填入“”.故选B.【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.8.从集合中随机地取一个数,从集合中随机地取一个数,则向量与向量垂直的概率为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出所有的基本事件数,记事件,列举出事件所包含的基本事件,然后利用古典概型的概率公式可计算出事件的概率.【详解】从集合中随机地取一个数,从集合中随机地取一个数,基本事件总数.记事件,当向量与向量垂直时,则事件包含的基本事件有:、(形如),共个,因此,.故选:D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算,解题的关键就是列

6、举出相应的基本事件,考查计算能力,属于基础题.9.已知函数的图象的相邻对称轴间的距离为,把的图象向左平移个单位长度,得到的图象,关于函数,下列说法正确的是( )A. 函数是奇函数B. 其图象关于直线对称C. 在上的值域为D. 在上是增函数【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简,由题意求得,利用函数图象平移求得,再由型函数的性质逐一核对四个选项得出正确答案.【详解】,因为的图象的相邻对称轴间的距离为,故的最小正周期为,所以,于是,所以,故为偶函数,并在上为减函数,所以A,D错误;,所以B错误;因,所以,所以C正确.故选:C.【点睛】本题考查三角恒等变换,考查三角函数图象平移变换,考查型函

7、数的性质,考查计算能力,属于常考题.10.已知分别是双曲线的左、右焦点,直线l过,且l与一条渐近线平行,若到l的距离大于a,则双曲线C的离心率的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设直线l:,由到l的距离大于a,得出的范围,再由计算即可.【详解】设过与渐近线平行的直线l为,由题知到直线l的距离,即,可得,所以离心率.故选:C.【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围,熟知公式可使计算变得简便,属于常考题.11.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点,下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍,则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为

8、( )A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正三棱锥的底面边长为,高为,则圆柱高为,底面圆半径为,利用勾股定理,可求得圆柱外接球半径,再求出正三棱锥的外接球的半径为,即可求出结果【详解】设正三棱锥的底面边长为,高为,如图所示:则圆柱高为,底面圆半径为,设圆柱的外接球半径为,则,解得,此时,设正三棱锥的外接球的半径为,则球心到底面距离为,由勾股定理得,解得,故.故选:A.【点睛】本题主要考查了几何体的外接球,是中档题12.已知,设数列的前项和为,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由得出,利用数列的递推公式推导出数列为等比数列,确定该数列的首项和公式,利用等比数

9、列的求和公式可计算出的值.【详解】,则,且,所以数列是首项为,公比为的等比数列,则.故选:C.【点睛】本题考查递推数列的应用,同时也考查了等比数列求和公式的应用,推导出数列是解题的关键,考查推理能力与计算能力,属于中等题.第卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数的图象在处的切线方程是,则_.【答案】【解析】【分析】根据切线斜率得出的值,将切点坐标代入切线方程可得出的值,由此可得出的值.【详解】函数的图象在处的切线的斜率为,则,由于切点在直线上,则,因此,.故答案为:.【点睛】本题考查利用切线方程求函数值与导数值,解题时要抓住以下两点,一是切线

10、斜率等于函数在切点处的导数值,二是切点为切线与函数图象的公共点,考查运算求解能力,属于基础题.14.已知向量,的夹角为,且,则_.【答案】2【解析】【分析】由及,设,列出方程求得的值.【详解】因为已知向量,的夹角为,且,所以,设, 所以,即,解得或(舍去),故.故答案为:2.【点睛】本题考查平面向量的模,考查运算求解能力,属于常考题.15.如图,在正方体中,、分别是、上靠近点的三等分点,则异面直线与所成角的大小是_.【答案】【解析】【分析】连接,可得出,证明出四边形为平行四边形,可得,可得出异面直线与所成角为或其补角,分析的形状,即可得出的大小,即可得出答案.【详解】连接、,在正方体中,所以,

11、四边形为平行四边形,所以,异面直线与所成的角为.易知为等边三角形,.故答案为:.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算,一般利用平移直线法,选择合适的三角形求解,考查计算能力,属于中等题.16.抛物线的焦点为是抛物线上的点,为坐标原点,若的外接圆与抛物线的准线相切,且该圆的面积为,则_.【答案】4.【解析】【分析】根据圆的性质与抛物线的定义列式求解即可.【详解】的外接圆与抛物线的准线相切,的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.圆的面积为,圆的半径为3,又圆心在的垂直平分线上,.故答案为:4【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的运用,属于基础题.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

12、演算步骤.第1721题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.17.的内角的对边分别为,且.(1)求;(2)若,点为边的中点,且,求的面积.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2) 为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.【详解】(1)由,可得,由余弦定理可得,故.(2)因为为的中线,所以,两边同时平方可得,故.因为,所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18.

13、已知数列满足(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:【答案】(1)(2)证明见解析【解析】【分析】(1),当时,两式相减即得数列的通项公式;(2)先求出,再利用裂项相消法求和证明.【详解】(1)解:,当时,当时,由-,得,因为符合上式,所以(2)证明:因为,所以【点睛】本题主要考查数列通项的求法,考查数列求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.如图,在三棱柱中,是棱的中点.(1)证明:平面.(2)若是棱上的任意一点,且三棱柱的体积为,求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】【分析】(1)连接交于点,连接,可得出点为的中点,利用中位线的性质得出,然后利用

14、直线与平面平行的判定定理可证明出平面;(2)设三棱柱的高为,底面的面积为,可得出,利用,可得出,由此可计算出三棱锥的体积.【详解】(1)连接交于点,连接.因为四边形是平行四边形,所以是的中点.因为是的中点,所以.又平面,平面,所以平面;(2)设三棱柱的高为,底面的面积为,则三棱柱体积.又,所以.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明,同时也考查了锥体体积的计算,涉及了等体积法的应用,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长,随机选取了80名学生,调查他们每周运动的总时长(单位:小时),按照共6组进行统计,得到男生、女生每周运动的时长的统计如下(表1、

15、2),规定每周运动15小时以上(含15小时)的称为“运动合格者”,其中每周运动25小时以上(含25小时)的称为“运动达人”.表1:男生时长人数2816842表2:女生时长人数04121284(1)从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人,求选到“运动达人”的概率;(2)根据题目条件,完成下面列联表,并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.每周运动的时长小于15小时每周运动的时长不小于15小时总计男生女生总计参考公式:,其中.参考数据:0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635【答案】(1);(2)填表见解析,没有99%的把握

16、认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【解析】【分析】(1)由题可知共有个基本事件,“运动达人”的可能结果为个,求得概率即可;(2)根据题意列出列联表,代入公式计算结果,然后判断即可.【详解】(1)每周运动的时长在中的男生有4人,在中的男生有2人,则共有个基本事件,其中中至少有1人被抽到的可能结果有个,所以抽到“运动达人”的概率为;(2)每周运动的时长小于15小时的男生有26人,女生有16人;每周运动的时长不小于15小时的男生有14人,女生有24人.可得下列列联表:每周运动的时长小于15小时每周运动的时长不小于15小时总计男生261440女生162440总计423880,所以没有99%

17、的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【点睛】本题考查随机抽样和独立性检验,考查概率的计算,考查分析和运算能力,属于常考题.21.设椭圆的离心率是,直线被椭圆C截得的弦长为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点,斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,当的面积最大时,求直线l的方程.【答案】(1);(2)直线l的方程为.【解析】【分析】(1)由已知可得,椭圆经过点,列出方程组,求得和的值即可;(2)设直线l的方程为,与椭圆联立得:,进而得到,又点M到AB的距离,故,当时,面积最大,求出直线方程即可.【详解】(1)由已知可得,椭圆经过点,由,解得,故椭圆C的方程为.(2)设直线l

18、的方程为,A,B的坐标,由,得,则,所以.由,得.又点M到AB的距离,所以,当且仅当,即时取等号,此时直线l的方程为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆的位置关系,考查逻辑思维能力和计算能力,属于常考题.22.已知函数.(1)若,求在上的最大值;(2)当时,有两个极值点、,证明:.【答案】(1);(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)将代入函数的解析式,利用导数分析函数在区间上的单调性,由此可求出函数在区间上的最大值;(2)由题意可知、为方程的两根,根据方程有两个正根求出实数的取值范围,利用韦达定理将表示以为自变量的函数,然后利用导数证明出即可.【详解】(1)因为,所以,则,所以,函数在区间上为增函数,因此,函数在区间上的最大值为;(2),因为有两个极值点、,所以、为方程的两根,则有,解得.所以.令,则恒成立,所以,函数在上单调递增,所以,即.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,同时也考查了利用导数证明函数不等式,涉及到韦达定理的应用,将表示为以为自变量的函数是解题的关键,考查化归与转化思想的应用,属于中等题.

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