1、安徽省皖西南联盟2020届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）考生注意：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除选考）.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合与，然后利用交集的定义可得出集合.【详解】，因此，.故选：D.【点睛】本题考查交集的计算，涉及具体函数定义域的计算，考查计算能力，属于基础题.2.若，则z在复平面内对应的点位于
2、（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】因为，故，然后根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的代数运算，考查复数的几何意义，属于基础题.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别根据指对幂函数的单调性分析函数值的范围即可.【详解】,即.故选：A【点睛】本题主要考查了指对幂函数的大小比较,属于基础题.4.某公司的老年人、中年人、青年人的比例为，用分层抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中青年人数为100，则（ ）A. 400B. 200C
3、. 150D. 300【答案】D【解析】【分析】直接利用分层抽样的定义计算即可.【详解】用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中青年人数为，则，解得.故选：D.【点睛】本题考查分层抽样的应用，属于基础题.5.函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数，排除C，D；，排除A.故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.6.设满足约束条件则的最小值为（ ）A. 2B. 0C. -1D. 1【答案】D【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用线性规划求的最小值.【详解】
4、作出不等式组对应的可行域，如图所示，联立得.由得，它表示斜率为-1，纵截距为z的直线系，当直线经过点B时，直线的纵截距最小，z最小.所以.故选：D【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7.鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.孙子算经中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】由题意知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意可得出判断条件.【详解】由题意可知为鸡的数量，为兔的数量，为足的数量，根据题意知，在程序框图中，
5、当计算足的数量为时，算法结束，因此，判断条件应填入“”.故选B.【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8.从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，则向量与向量垂直的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出所有的基本事件数，记事件，列举出事件所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出事件的概率.【详解】从集合中随机地取一个数，从集合中随机地取一个数，基本事件总数.记事件，当向量与向量垂直时，则事件包含的基本事件有：、（形如），共个，因此，.故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题的关键就是列
6、举出相应的基本事件，考查计算能力，属于基础题.9.已知函数的图象的相邻对称轴间的距离为，把的图象向左平移个单位长度，得到的图象，关于函数，下列说法正确的是（ ）A. 函数是奇函数B. 其图象关于直线对称C. 在上的值域为D. 在上是增函数【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，由题意求得，利用函数图象平移求得，再由型函数的性质逐一核对四个选项得出正确答案.【详解】，因为的图象的相邻对称轴间的距离为，故的最小正周期为，所以，于是，所以，故为偶函数，并在上为减函数，所以A，D错误；，所以B错误；因，所以，所以C正确.故选：C.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查三角函数图象平移变换，考查型函
7、数的性质，考查计算能力，属于常考题.10.已知分别是双曲线的左、右焦点，直线l过，且l与一条渐近线平行，若到l的距离大于a，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设直线l：，由到l的距离大于a，得出的范围，再由计算即可.【详解】设过与渐近线平行的直线l为，由题知到直线l的距离，即，可得，所以离心率.故选：C.【点睛】本题考查计算双曲线离心率的范围，熟知公式可使计算变得简便，属于常考题.11.已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心.若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径之比为
8、（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正三棱锥的底面边长为，高为，则圆柱高为，底面圆半径为，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径，再求出正三棱锥的外接球的半径为，即可求出结果【详解】设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：则圆柱高为，底面圆半径为，设圆柱的外接球半径为，则，解得，此时，设正三棱锥的外接球的半径为，则球心到底面距离为，由勾股定理得，解得，故.故选：A.【点睛】本题主要考查了几何体的外接球，是中档题12.已知，设数列的前项和为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由得出，利用数列的递推公式推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公式，利用等比数
9、列的求和公式可计算出的值.【详解】，则，且，所以数列是首项为，公比为的等比数列，则.故选：C.【点睛】本题考查递推数列的应用，同时也考查了等比数列求和公式的应用，推导出数列是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.函数的图象在处的切线方程是，则_.【答案】【解析】【分析】根据切线斜率得出的值，将切点坐标代入切线方程可得出的值，由此可得出的值.【详解】函数的图象在处的切线的斜率为，则，由于切点在直线上，则，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用切线方程求函数值与导数值，解题时要抓住以下两点，一是切线
10、斜率等于函数在切点处的导数值，二是切点为切线与函数图象的公共点，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知向量，的夹角为，且，则_.【答案】2【解析】【分析】由及，设，列出方程求得的值.【详解】因为已知向量，的夹角为，且，所以，设， 所以，即，解得或（舍去），故.故答案为：2.【点睛】本题考查平面向量的模，考查运算求解能力，属于常考题.15.如图，在正方体中，、分别是、上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是_.【答案】【解析】【分析】连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.【详解】连接、，在正方体中，所以，
11、四边形为平行四边形，所以，异面直线与所成的角为.易知为等边三角形，.故答案为：.【点睛】本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.16.抛物线的焦点为是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则_.【答案】4.【解析】【分析】根据圆的性质与抛物线的定义列式求解即可.【详解】的外接圆与抛物线的准线相切,的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.圆的面积为,圆的半径为3,又圆心在的垂直平分线上,.故答案为：4【点睛】本题主要考查了抛物线的定义的运用,属于基础题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
12、演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.的内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，点为边的中点，且，求的面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用正弦定理边化角,再利用余弦定理求解即可.(2) 为为的中线,所以再平方后利用向量的数量积公式进行求解,再代入可解得,再代入面积公式求解即可.【详解】（1）由,可得,由余弦定理可得,故.（2）因为为的中线,所以,两边同时平方可得,故.因为,所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题,同时也考查了向量在解三角形中的运用,属于中档题.18.
13、已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1），当时，两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.【详解】（1）解：，当时，当时，由-，得，因为符合上式，所以（2）证明：因为，所以【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19.如图，在三棱柱中，是棱的中点.（1）证明：平面.（2）若是棱上的任意一点，且三棱柱的体积为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，连接，可得出点为的中点，利用中位线的性质得出，然后利用
14、直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（2）设三棱柱的高为，底面的面积为，可得出，利用，可得出，由此可计算出三棱锥的体积.【详解】（1）连接交于点，连接.因为四边形是平行四边形，所以是的中点.因为是的中点，所以.又平面，平面，所以平面；（2）设三棱柱的高为，底面的面积为，则三棱柱体积.又，所以.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了锥体体积的计算，涉及了等体积法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20.某高校健康社团为调查本校大学生每周运动的时长，随机选取了80名学生，调查他们每周运动的总时长（单位：小时），按照共6组进行统计，得到男生、女生每周运动的时长的统计如下（表1、
15、2），规定每周运动15小时以上（含15小时）的称为“运动合格者”，其中每周运动25小时以上（含25小时）的称为“运动达人”.表1：男生时长人数2816842表2：女生时长人数04121284（1）从每周运动时长不小于20小时的男生中随机选取2人，求选到“运动达人”的概率；（2）根据题目条件，完成下面列联表，并判断能否有99%的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.每周运动的时长小于15小时每周运动的时长不小于15小时总计男生女生总计参考公式：，其中.参考数据：0.400.250.100.0100.7081.3232.7066.635【答案】（1）；（2）填表见解析，没有99%的把握
16、认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【解析】【分析】（1）由题可知共有个基本事件，“运动达人”的可能结果为个，求得概率即可；（2）根据题意列出列联表，代入公式计算结果，然后判断即可.【详解】（1）每周运动的时长在中的男生有4人，在中的男生有2人，则共有个基本事件，其中中至少有1人被抽到的可能结果有个，所以抽到“运动达人”的概率为；（2）每周运动的时长小于15小时的男生有26人，女生有16人；每周运动的时长不小于15小时的男生有14人，女生有24人.可得下列列联表：每周运动的时长小于15小时每周运动的时长不小于15小时总计男生261440女生162440总计423880，所以没有99%
17、的把握认为本校大学生是否为“运动合格者”与性别有关.【点睛】本题考查随机抽样和独立性检验，考查概率的计算，考查分析和运算能力，属于常考题.21.设椭圆的离心率是，直线被椭圆C截得的弦长为.（1）求椭圆C的方程；（2）已知点，斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，当的面积最大时，求直线l的方程.【答案】（1）；（2）直线l的方程为.【解析】【分析】（1）由已知可得，椭圆经过点，列出方程组，求得和的值即可；（2）设直线l的方程为，与椭圆联立得：，进而得到，又点M到AB的距离，故，当时，面积最大，求出直线方程即可.【详解】（1）由已知可得，椭圆经过点，由，解得，故椭圆C的方程为.（2）设直线l
18、的方程为，A，B的坐标，由，得，则，所以.由，得.又点M到AB的距离，所以，当且仅当，即时取等号，此时直线l的方程为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.22.已知函数.（1）若，求在上的最大值；（2）当时，有两个极值点、，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将代入函数的解析式，利用导数分析函数在区间上的单调性，由此可求出函数在区间上的最大值；（2）由题意可知、为方程的两根，根据方程有两个正根求出实数的取值范围，利用韦达定理将表示以为自变量的函数，然后利用导数证明出即可.【详解】（1）因为，所以，则，所以，函数在区间上为增函数，因此，函数在区间上的最大值为；（2），因为有两个极值点、，所以、为方程的两根，则有，解得.所以.令，则恒成立，所以，函数在上单调递增，所以，即.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，涉及到韦达定理的应用，将表示为以为自变量的函数是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.