1、2011高考数学萃取精华30套（11）1.江西五校联考20（本小题满分12分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20. （1）解：，令，得 若，则，在区间上单调递增. 若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，若，则，函数在区间上单调递减. 6分（2）解：， 由（1）可知，当时，此时在区间上的最小值为，即当， 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解 而，即方程无实数解 故不存在，使曲线在点处的切线与轴垂直12分21（本小题满分12分）已知线段，的中点为
2、，动点满足（为正常数）（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值 21. （1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系 若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为； 若，即，动点所在的曲线方程为. 4分(2)当时，其曲线方程为椭圆 由条件知两点均在椭圆上，且设，的斜率为，则的方程为，的方程为 解方程组得， 同理可求得， 面积= 8分令则令 所以，即 当时，可求得,故， 故的最小值为，最大值为1. 12分（2）另解：令，则解得所以，而因此，即最大值是1，最小值是.22（本小题满分12分）函数的反函数为，数列和满足：，函数的
3、图象在点处的切线在轴上的截距为. （1）求数列的通项公式；（2）若数列的项中仅最小,求的取值范围；（3）令函数,.数列满足:,且，(其中).证明:.22. 解:(1)令 解得 由 解得 函数的反函数则 得 是以2为首项，1为公差的等差数列，故4分(2) 在点处的切线方程为令得仅当时取得最小值， 的取值范围为8分(3) 所以 又因 则 显然10分 12分 .14分仙游一模20(本小题共14分) 设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“方程有实数根；函数的导数满足.”（1）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意m，nD，都存在m，n
4、，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根.20. 解：（1）因为， 所以满足条件又因为当时，所以方程有实数根0.所以函数是集合M中的元素. （2）假设方程存在两个实数根），则， 不妨设，根据题意存在数使得等式成立因为，所以与已知矛盾，所以方程只有一个实数根.21(本小题共14分) 已知，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为.()求直线的方程及的值；()若(其中是的导函数)，求函数的最大值；()当时，求证：21. 解：()，.直线的斜率为，且与函数的图象的切点坐标为. 直线的方程为. 又直线与函数的图象相切,方程组有一解. 由上述方程消去，并整理得 依题意，方程
5、有两个相等的实数根，解之，得或 .()由()可知， . . 当时，当时，.当时，取最大值，其最大值为2.() . ， ， .由()知当时， 当时，. 广东二模19. （本小题满分14分）YX已知定点A（0,1），点B在圆上运动，为圆心,线段AB的垂直平分线交BF于P（I）求动点P的轨迹的方程；若曲线被轨迹包围着，求实数的最小值。 （II）已知、，动点在圆内，且满足，求的取值范围19. 解析：（I）由题意得，P点轨迹是以A、F为焦点的椭圆. 3分设椭圆方程为 ，则，点的轨迹方程为 4分曲线化为，则曲线是圆心在，半径为1的圆。而轨迹E：为焦点在Y轴上的椭圆，短轴上的顶点为 6分结合它们的图像知：若
6、曲线被轨迹E包围着，则的最小值为 8分（II）设，由得：，化简得，即 10分而 点在圆内， 12分，的取值范围为14分20. （本小题满分14分）设数列的前项和为，且，。 () 求数列的通项公式；（）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。（）求证：。20. 解析：() 时, 得： 2分 由及得 是首项为，公比为2的等比数列， 4分（）解法一：由()知 5分若为等差数列，则则成等差数列, 6分， 8分当时，显然成等差数列，存在实数，使得数列成等差数列。 9分解法二：由()知 5分 7分要使数列成等差数列，则只须，即即可。8分故存在实数，使得数列成等差数列。 9分（） 10分 12分 ， ， 14分21. （本小题满分14分）设函数.()求函数的单调区间；()当时,是否存在整数，使不等式恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由。()关于的方程在上恰有两个相异实根,求实数的取值范围。21. 解析：()由得函数的定义域为，。 2分由得；由得，函数的递增区间是；递减区间是。 4分()由(1)知,在上递减,在上递增。 又，且, 时,。 6分不等式恒成立, ，即是整数，。 存在整数，使不等式恒成立。 9分()由得，令,则，由得；由得。 在上单调递减,在上单调递增. 11分方程在上恰有两个相异的实根,函数在和上各有一个零点, ，实数的取值范围是 14分
