1、2020-2021学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1已知函数f（x）sinx，则f（1）（）AB0CD12已知（2i）zi，i为虚数单位，则|z|（）AB1C2D3在（3x2）5的展开式中，各项系数的和为（）A0B1C55D554已知函数f（x）在xx0处的导数为f（x0），则（）A2f（x0）B2f（x0）CD5为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（）A5
2、3B35CCDA6已知随机变量服从正态分布N（，2），若P（2）P（6）0.15，则P（24）等于（）A0.3B0.35C0.5D0.77如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（）A0.196B0.504C0.686D0.9948“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x12345销售量y（
3、万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为0.28x+a，则a的值为（）A0.16B1.6C0.06D0.89已知函数f（x）的导函数为f（x），且yf（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（）Af（a）0Bf（x）没有极大值Cxb时，f（x）有极大值Dxc时，f（x）有极小值10中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去
4、，则不同的安排方案的种数是（）A240B126C78D7211已知函数的图像与x轴有唯一的公共点，则a的值为（）ABCeD112已知函数f（x）xlnx，g（x）x2+ax（aR），若经过点A（0，1）存在一条直线l与f（x）图象和g（x）图象都相切，则a（）A0B1C3D1或3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1310张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 14现有6名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同的站法共有 种15若f（x）cosxax在R上为增函数，则实数a的取值范
5、围为 16若对任意0x1x2a，有成立，则a的最大值为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）x33x+1（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间18在二项式（）12的展开式中（）求展开式中含x3项的系数；（）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等，试求k的值19青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年
6、，调查他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30，（30，60，（60，90，（90，120，（120，150，（150，180分成6组，得到如下频数分布表：时间/分钟（0，30（30，60（60，90（90，120（120，150（150，180频数123872462210记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品（）完成下面的列联表； 非长时间使用电子产品长时间使用电子产品合计患近视人数100未患近视人数80合计200（）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关附：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0100
7、.001k02.7063.8416.63510.82820已知复数z1a+3i，z22ai（aR，i是虚数单位）（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m0的根，求实数m的值21为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、数学、外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A：物理、化学、生物；组合B：物理、生物、地理；组合C：历史、政治、地理；组
8、合D：历史、生物、地理在本校选取100名同学进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如表：组合组合A组合B组合C组合D人数40a3020频率0.40.10.3b以这100名同学选课的频率代替每名同学选课的概率（）求表格中a和b的值；（）估计某同学在选择地理的条件下，选择物理的概率；（）甲、乙、丙三名同学每人选课是相互独立的，设X为三人中选择含地理组合的人数，求X的分布列和数学期望22已知函数f（x）lnxax（aR）（）若f（x）存在极值，求a的取值范围；（）当a1时，求证：xex1f（x）0参考答案一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分）.1已知函数f（x）sinx，则f（
9、1）（）AB0CD1【分析】先利用复合函数的求导公式求出f（x），然后求解f（1），即可得到答案解：因为函数f（x）sinx，所以f（x）cosx，则f（1）故选：A2已知（2i）zi，i为虚数单位，则|z|（）AB1C2D【分析】由已知求出z，进而可以求解解：由已知可得：z，所以|z|，故选：A3在（3x2）5的展开式中，各项系数的和为（）A0B1C55D55【分析】令x1，即可求得各项系数的和解：令x1，可得各项系数的和为1故选：B4已知函数f（x）在xx0处的导数为f（x0），则（）A2f（x0）B2f（x0）CD【分析】根据题意，由极限的运算性质可得2，结合导数的定义分析可得答案解：根
10、据题意，22f（x0），故选：A5为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案的种数为（）A53B35CCDA【分析】根据题意，分析可得3名同学每人都有5种报名方法，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，每人限报1个项目，有3位同学准备参加该活动，则每人都有5种报名方法，则53种报名方法，故选：A6已知随机变量服从正态分布N（，2），若P（2）P（6）0.15，则P（24）等于（）A0.3B0.35C0.5D0.7【分析】随机变量服从
11、正态分布N（，2），若P（2）P（6）0.15，得到曲线关于x4对称，根据曲线的对称性从而得到所求解：由题意可得，故选：B7如图，某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作若元件A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（）A0.196B0.504C0.686D0.994【分析】利用相互独立事件概率乘法公式能求出系统正常工作的概率解：某系统使用A，B，C三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响当元件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时系统即可正常工作元件
12、A，B，C正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为：P0.71（10.9）（10.8）0.686故选：C8“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，推动着新能源汽车产业的迅速发展如表是2020年我国某地区新能源乘用车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x12345销售量y（万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为0.28x+a，则a的值为（）A0.16B1.6C0.06D0.8【分析】先求出样本平均数，然后代入线性回归方程求解即可解：由题意可知，因为线性回归方程过点（），所以有10.283+a，故a0.16故选：A9已知函数f（x）
13、的导函数为f（x），且yf（x）的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（）Af（a）0Bf（x）没有极大值Cxb时，f（x）有极大值Dxc时，f（x）有极小值【分析】由图象可知，设yf（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），由图象可知f（a）f（d）f（c）0，根据导数的正负，研究函数f（x）的单调性极值，即可得出答案解：由图象可知，设yf（x）的图象在原点与（c，0）之间的交点为（d，0），由图象可知f（a）f（d）f（c）0，当xa时，f（x）0，f（x）单调递减，当axd时，f（x）0，f（x）单调递增，当dxc时，f（x）0，f（x）单调递减，当cx时，f（x）0，f（x
14、）单调递增，所以xa是f（x）的极小值点，xd是函数f（x）的极大值点，xc是f（x）的极小值点，xb不是f（x）的极值点，f（a）0不一定成立，故选：D10中国作为世界上最大的棉花生产国和消费国，棉田面积在40万公顷以上有7个，分别为新疆、河南、江苏、湖北、山东、河北、安徽A，B，C，D，E共5位优秀学生分别前往新疆、湖北、山东、河北考察，用实际行动支持中国棉花其中每个地方至少有一位同学去，A，B，C不去河北但能去其他三个地方，D，E四个地方都能去，则不同的安排方案的种数是（）A240B126C78D72【分析】根据题意，分3种情况讨论：A，B，C三人中有2人分到同一组，A，B，C三人中一人
15、与D，E中一人分到同一组，D、E两人分到同一组，由加法原理计算可得答案解：根据题意，要求每个地方至少有一位同学去，需要先将5人分为4组，即在5人中，有2人需要分到同一组，分3种情况讨论：A，B，C三人中有2人分到同一组，有C32A32A2236种安排方法，A，B，C三人中一人与D，E中一人分到同一组，有C31A21A3336种安排方法，D、E两人分到同一组，有A336种安排方法，则有36+36+678种安排方法故选：C11已知函数的图像与x轴有唯一的公共点，则a的值为（）ABCeD1【分析】由于f（0）0，函数f（x）的图像与x轴有唯一的公共点（0，0），结合导数分析函数的性质，进而可得答案解
16、：由于f（0）0，所以函数f（x）的图像与x轴有唯一的公共点（0，0），当a0时，由f（x）ex1a0可得x1+lna，当x1+lna时，f（x）ex1a0，函数f（x）单调递减，当x1+lna时，f（x）ex1a0，函数f（x）单调递增，所以1+lna0，所以a，综上所述，a，故选：B12已知函数f（x）xlnx，g（x）x2+ax（aR），若经过点A（0，1）存在一条直线l与f（x）图象和g（x）图象都相切，则a（）A0B1C3D1或3【分析】设直线l与yf（x）相切的切点，求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切线的方程，代入A的坐标，求得切点，可得切线的方程，与yg（x）联立，运用相切的
17、条件：判别式为0，解方程，可得所求值解：设直线l与f（x）xlnx相切的切点为（m，mlnm），由f（x）xlnx的导数为f（x）1+lnx，可得切线的斜率为1+lnm，则切线的方程为ymlnm（1+lnm）（xm），将A（0，1）代入切线的方程可得1mlnm（1+lnm）（0m），解得m1，则切线l的方程为yx1，联立，可得x2+（a1）x+10，由（a1）240，解得a1或3，故选：D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）1310张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回地抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，则在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为 【分析】分
18、析甲中奖后剩余的奖券和“中奖劵”的数量，再结合古典概型公式，即可求解解：10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率P故答案为：14现有6名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同的站法共有 480种【分析】根据题意，依次分析甲和其他5人的安排方法，由分步计数原理计算可得答案解：根据题意，对于甲，不站两端，有4种不同的站法，将剩下的5人安排在其他位置，有120种安排方法，则有4120480种不同的站法，故答案为：48015若f（x）cosxax在R上为增函数，则实数a的取值范围为 （，1【分析】由题意可得f（x）0
19、恒成立，即a（sinx）min，求出（sinx）min即可得解解：f（x）sinxa，因为f（x）cosxax在R上为增函数，所以f（x）0恒成立，所以asinx恒成立，即a（sinx）min，因为1sinx1，所以a1，即实数a的取值范围是（，1故答案为：（，116若对任意0x1x2a，有成立，则a的最大值为 1【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导数研究函数的单调性即可求得结果解：因为，所以，所以函数在区间（0，a）上单调递增，在区间（0，a）上恒成立，即lnx0在区间（0，a）上恒成立，所以0a1故实数a的最大值为1故答案为：1三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说
20、明、证明过程或演算步骤）17已知函数f（x）x33x+1（1）求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间【分析】（1）求出函数的导数，计算f（0），f（0），求出切线方程即可；（2）解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可解：（1）f（x）x33x+1，所以f（0）1，又f（x）3x23，所以kf（0）3，故切线方3x+y10（2）f（x）3x230，则x1或x1；f（x）3x230，则1x1故函数在（，1）和（1，+）上单调递增在（1，1）上单调递减18在二项式（）12的展开式中（）求展开式中含x3项的系数；（）如果第3k项和第k+2项的二项式系数相等
21、，试求k的值【分析】（I）根据展开式中第r+1项的通项公式，求出展开式中含x3项的系数是多少；（II）由第3k项的二项式系数与第k+2项的二项式系数相等，列出方程，求出k的值解：（I）展开式中第r+1项是，令，解得r2；展开式中含x3项的系数为；（II）第3k项的二项式系数为，第k+2项的二项式系数为；，3k1k+1，或3k1+k+112；解得k1，或 k319青少年近视问题已经成为我国面临的重要社会问题对于这一问题，习近平总书记连续作出重要指示，要求“全社会都要行动起来，共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一个光明的未来”某机构为了解使用电子产品对青少年视力的影响，随机抽取了200名青少年，调查
22、他们每天使用电子产品的时间（单位：分钟），根据调查数据按（0，30，（30，60，（60，90，（90，120，（120，150，（150，180分成6组，得到如下频数分布表：时间/分钟（0，30（30，60（60，90（90，120（120，150（150，180频数123872462210记每天使用电子产品的时间超过60分钟为长时间使用电子产品（）完成下面的列联表； 非长时间使用电子产品长时间使用电子产品合计患近视人数100未患近视人数80合计200（）判断是否有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关附：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.100.050.0100.00
23、1k02.7063.8416.63510.828【分析】（）由题意，求出所需数据，列出列联表即可；（）由列联表中的数据，计算K2的值，对照临界表中的数据，比较即可得到答案解：（）由表中数据完成的列联表如下：非长时间使用电子产品长时间使用电子产品合计患近视人数20100120未患近视人数305080合计50150200（）由列联表中的数据可得，所以有99.9%的把握认为患近视与每天长时间使用电子产品有关20已知复数z1a+3i，z22ai（aR，i是虚数单位）（1）若在复平面内对应的点落在第一象限，求实数a的取值范围；（2）若虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m0的根，求实数m的值【分析】（
24、1）由已知结合复数代数形式的乘除运算化简，再由其实部与虚部均大于0列不等式组求解a的范围；（2）把z1代入实系数一元二次方程x26x+m0，整理后利用复数相等的条件列式求得a与m值解：（1）z1a+3i，z22ai，在复平面内对应的点落在第一象限，解得2a3，即实数a的取值范围是（2，3）；（2）由虚数z1是实系数一元二次方程x26x+m0的根，得，即（a+3i）26（a+3i）+m0，整理得a26a+m9+（6a18）i0，解得21为贯彻高中育人方式的变革，某省推出新的高考方案是“3+1+2”模式，“3”是语文、数学、外语三科必选，“1”是在物理和历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政
25、治、地理四科中选择两科作为高考科目某学校为做好选课走班教学，结合本校实际情况，给出四种可供选择的组合进行模拟选课，组合A：物理、化学、生物；组合B：物理、生物、地理；组合C：历史、政治、地理；组合D：历史、生物、地理在本校选取100名同学进行模拟选课，每名同学只能选一个组合，选课数据统计如表：组合组合A组合B组合C组合D人数40a3020频率0.40.10.3b以这100名同学选课的频率代替每名同学选课的概率（）求表格中a和b的值；（）估计某同学在选择地理的条件下，选择物理的概率；（）甲、乙、丙三名同学每人选课是相互独立的，设X为三人中选择含地理组合的人数，求X的分布列和数学期望【分析】（I）
26、根据已知条件，结合频率和频数的关系，即可求解（II）根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解（III）每名同学选含地理组合的概率均为0.6，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可X得分布列，再结合期望公式，即可求解解：（）由题意可得40+a+30+20100，解得a10，（）记事件A：某同学选择地理，事件B：某同学在“1”中选择物理，则（）每名同学选含地理组合的概率均为0.6，X的所有可能取值为0，1，2，3，故X的分布列为：X0123P数学期望22已知函数f（x）lnxax（aR）（）若f（x）存在极值，求a的取值范围；（）当a1时，求证：xex1f（x）0【分析】（）求
27、导得f（x），分两种情况：当a0时，当a0时，讨论f（x）的单调性，存在f（x）极值时，a的取值范围（）当a1时，xex1f（x）xexlnxx1，设h（x）xexlnxx1，x（0，+），只需证明h（x）min0即可解：（）函数f（x）的定义域是（0，+），当a0时，对任意x0，都有f（x）0，故函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（x）无极值，当a0时，时，f（x）0，f（x）单调递增，时，f（x）0，f（x）单调递减，故f（x）在处取得极大值，无极小值，综上，若f（x）存在极值，则a的取值范围是（0，+）（）证明：当a1时，xex1f（x）xexlnxx1，设h（x）xexlnxx1，x（0，+），故只需证明h（x）0即可，设u（x）h（x），则，故函数h（x）在（0，+）上单调递增，h（1）2e20，h（x）0有唯一的实根且，x0lnx0，当0xx0时，h（x）0，h（x）单调递减，当xx0时，h（x）0，h（x）单调递增，故函数h（x）的最小值是h（x0），xex1f（x）0
