1、高考资源网（） 您身边的高考专家第11课时直线与平面的位置关系(4) 教学过程(图2)一、 问题情境观察如图2所示的长方体ABCD-A1B1C1D1,可以发现A1B, A1C, A1D,虽然都和平面ABCD相交,但都不与这个平面垂直.二、 数学建构(一) 生成概念问题1直线和平面垂直时,直线是否和平面一定相交?(结合前面所学知识,引导学生说出直线与平面垂直是直线与平面相交的特例)问题2那么直线和平面相交时,直线是否和平面一定垂直呢?(结合这个问题的思考,引导学生了解直线与平面除了垂直还有“斜交”的情况)通过讨论,给出1. 平面的斜线的有关概念一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线
2、叫这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫斜足,斜线上一点和斜足间的线段叫这个点到这个平面的斜线段.2. 点在平面上的射影、点到平面的垂线段自一点A向平面引垂线,垂足B叫做这点A在这个平面上的射影.这点与垂足间的线段AB叫这点到这个平面的垂线段.3. 射影的有关概念过斜线上斜足以外的一点A向平面引垂线,过垂足B和斜足C的直线BC叫斜线AC在平面上的射影.垂足和斜足间的线段BC叫这点到平面的斜线段AC在平面上的射影.(图3)4. 直线与平面所成的角平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线与这个平面所成的角.如图中,ACB就是AC与所成的角.(二) 理解概念1. (1) 直线和平面垂
3、直:直线与平面所成的角是直角.(2) 直线和平面平行或直线在平面内:直线与平面所成的角是0的角.(3) 直线与平面所成的角的取值范围:090.2. 据定义,在求直线和平面所成的角时,应按下述三种情况依次进行考虑:(1) 直线和平面平行或直线在平面内时,直线和平面所成的角是0角.(2) 直线和平面垂直时,直线和平面所成的角是直角.(3) 直线和平面斜交时,直线和平面所成的角是指直线和它在平面内的射影所成的锐角.(三) 巩固概念最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的所有角中最小的角.三、 数学运用【例1】如图4所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中:(图4)(1)
4、 A1D与平面ABCD所成的角为45.(2) A1B与平面A1ADD1所成的角为45.(3) A1C与平面ABCD所成的角的正切值为.处理建议让学生口答,巩固直线与平面所成角的概念.题后反思例1是直线与平面所成角概念的一个简单运用,教学时要特别强调为确定直线与平面所成角的平面角,首先要找到那个线面垂直关系.【例2】(教材P39例3)如图,已知AC, AB分别是平面的垂线和斜线,C, B分别是垂足和斜足,a, aBC, 求证:aAB.(图5)处理建议先由学生讨论,尝试运用线面垂直的判定及性质定理解决问题.规范板书证明aAB.题后反思例2的结论也称为“三垂线定理”,是证明线线垂直的一个典型范例.教
5、学时要引导学生归纳,证明线线垂直有哪些方法?让学生初步体会到,证明线线垂直可以转化为证明线面垂直,证明线面垂直也可以转化为证明线线垂直.变式若aAB,其余条件不变,求证:aBC.提示变式即“三垂线定理的逆定理”,证法同上.*【例3】已知BAC在平面内,P, PAB=PAC,(图6)求证:点P在平面上的射影在BAC的平分线上.证明作PO, PEAB, PFAC,垂足分别为O, E, F,连结OE, OF, OA.RtPAERtPAFAE=AF.AB平面PEOABOE.同理,ACOF.(图7)在RtAOE和RtAOF中,AE=AF, OA=OA,所以RtAOERtAOF,于是EAO=FAO,因此,
6、点P在内的射影O在BAC的平分线上.思考你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗?提示如图7所示的长方体中,四面体A1ACD的四个面都是直角三角形.四、 课堂练习1. 如图,BCA=90, PC平面ABC,则在ABC, PAC, PBC的边所在的直线中:(第1题)(1) 与PC垂直的直线有AC, BC, AB.(2) 与AP垂直的直线有BC.(3) 与直线AC垂直的平面有平面PBC.2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BD1与平面AB1C所成的角是90.3. 已知点A和点B到平面的距离分别为4cm和6cm,则线段AB的中点M到平面的距离是5cm或1cm.4. 从平面外一点向平面引两条斜线段.(1) 如果斜线段的长相等,那么它们在平面内的射影相等吗?(2) 如果它们在平面内的射影相等,那么两条斜线段的长相等吗?答(1) 相等.(2) 相等.五、 课堂小结1. 有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念.2. 掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理并用来证明线线垂直或线面垂直.高考资源网版权所有，侵权必究！
