1、第6课函数的单调性【自主学习】第6课 函数的单调性(本课时对应学生用书第1213页)自主学习回归教材1. (必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是.(填序号)若定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；若定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；若定义在R上的函数f(x)在区间(-，0上是单调增函数，在区间0，+)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数； 若定义在R上的函数f(x)在区间(-，0上是单调增函数，在区间(0，+)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数.【答案】【解析】根据单调性的定义，结合
2、函数图象分析.2. (必修1P55习题8改编)函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调减区间是.【答案】【解析】函数f(x)的定义域是(-1，4)，令u(x)=-x2+3x+4，则u(x)=+的单调减区间为.因为e1，所以函数f(x)的单调减区间为.3. (必修1P44习题4改编)已知函数y=f(x)是定义在R上的单调减函数，则满足f(2-a2)f(a)的实数a的取值范围为.【答案】(-2，1)【解析】由于f(x)在R上是单调减函数，所以由f(2-a2)a，解得-2a1.4. (必修1P44习题2改编)若函数f(x)=x2-mx+3在2，+)上是增函数，则实数m的取值范围为.【答案】(-，4
3、【解析】依题意得2，解得m4.1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的单调区间；若函数是增函数，则称该区间为增区间；若函数为减函数，则称该区间为减区间.2. 复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x(a，b)时，u(m，n)，且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，
4、n)上同时具有单调性，那么复合函数y=f(g(x)在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减.3. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)函数单调性的定义法；(2)函数的图象法；(3)导函数法.【要点导学】要点导学各个击破函数单调性的判断与证明例1(2015南京一中模拟)已知函数f(x)=(xa).(1)若a=-2，求证：f(x)在(-，-2)上单调递增.(2)若a0且f(x)在(1，+)上单调递减，求实数a的取值范围.【思维引导】用定义法证明函数单调性：设元取值，作差变形，确定符号，得出结论；利用导数证明函数单调性：求导函数，确定符号，得出结
5、论.【解答】(1)任取x1x20，x1-x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(-，-2)上单调递增.(2)设1x10，x2-x10，所以要使f(x1)-f(x2)0，只需(x1-a)(x2-a)0恒成立，所以a1.综上，实数a的取值范围是(0，1.【精要点评】判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；(5)导数法.利用定义法的关键是对f(x1)-f(x2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等.变式已知函数f(x)=x+，求证：函数f(x)
6、在区间(0，1上是单调减函数.【解答】在区间(0，1上任取x1，x2，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=.因为x1x2，所以x1-x20.又因为0x10，x1x2-10，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，1上是单调减函数.结合函数单调性求参数范围例2若函数f(x)=在区间(-，-1)上是减函数，求实数a的取值范围.【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.【解答】f(x)=a-，设x1x20，由于x1x2-1，所以x1-x20，x1+10，x2+1
7、0，所以a+10，即a1，解得10时，f(x)x2，则x1-x20，f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).因为当x0时，f(x)0，所以f(x1-x2)0，即f(x1)x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).因为当x0时，f(x)0，所以f(x1-x2)0，即f(x1)0时，恒有f(x)1.(1)求证：f(x)在R上是增函数.(2)若f(3)=4，解不等式f(a2+a-5)2.【解答】(1)设x10，因为当x0时，f(x)1，所以f(x2-x1)1.又f(x2)=f(x2-x1
8、)+x1=f(x2-x1)+f(x1)-1，所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-10f(x1)f(x2)，所以f(x)在R上为增函数.(2)因为m，nR，不妨设m=n=1，所以f(1+1)=f(1)+f(1)-1f(2)=2f(1)-1，f(3)=4f(2+1)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2=4，所以f(1)=2，所以f(a2+a-5)2=f(1).因为f(x)在R上为增函数，所以a2+a-51-3a2，即不等式的解集是(-3，2).1.(2014南通中学模拟)已知函数f(x)为R上的减函数，那么满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是.【答案】(-，-1)(1，+)【
9、解析】因为f(x)为R上的减函数，且f(|x|)1，所以x1.2.(2015海安中学模拟)已知函数f(x)=在(-，+)上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】【解析】因为函数f(x)=在区间(-，+)上是减函数，那么在每一段上都是递减的，可知3a-10，0a1，且3a-1+4a0，所以实数a的取值范围是.3.(2014苏州、无锡、常州、镇江调研)已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y=f(x2)+f(k-x)只有一个零点，则实数k的值为.【答案】【解析】令y=f(x2)+f(k-x)=0，得f(x2)=-f(k-x)=f(x-k).又f(x)是R上的单调函数，故原命题等价于方程x2=
10、x-k有唯一解，由=0，得k=.4.(2015陕西卷改编)已知f(x)=ln x，0ab，若p=f()，q=f，r=f(a)+f(b)，有下列关系式：q=rp；p=rq.其中正确的是.(填序号)【答案】【解析】p=f()=ln=ln ab，q=f=ln ，r=f(a)+f(b)=ln ab.因为，且f(x)=ln x在(0，+)上是单调增函数，所以ff()，所以qp=r.5. (2015盐城中学模拟)已知函数f(x)是定义在(-2，2)上的减函数，并且f(m-1)-f(1-2m)0，求实数m的取值范围.【解答】因为f(x)在(-2，2)上是减函数，所以由f(m-1)-f(1-2m)0，得f(m
11、-1)f(1-2m)，所以即解得-m，所以实数m的取值范围是.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第1112页.【检测与评估】第6课函数的单调性一、 填空题1(2014郑州质检)已知定义在R上的函数f(x)是增函数，那么满足f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围.三、 选做题12已知定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a，bR，有f(a+b)=f(a)f(b).(1)求f(0)的值.(2)求证：对任意的xR，恒有f(x)0.(3)求证：f(x)是R上的增函数.(4)若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围.【检测与评估答案】第
12、6课函数的单调性1(3，+)【解析】依题意得不等式f(x)f(2x-3)等价于x3，即x的取值范围是(3，+).25【解析】依题意可得对称轴为x=1，所以a=53 【解析】y=-(x-3)|x|=作出该函数的图象(如图)，观察图象知单调增区间为.(第3题)4【解析】设x1x2-2，则f(x1)f(x2)，而f(x1)-f(x2)=-=0，由x1-x20，x1+20，x2+20，知2a-10，所以a.5 2【解析】令=t，所以t1，2，即f(t)=t2-at.因为f(t)在1，2上单调递增，所以1，即a2，所以a的最大值为26-6【解析】容易作出函数f(x)的图象(图略)，可知函数f(x)在上单
13、调递减，在上单调递增，又已知函数f(x)的单调增区间是3，+)，所以-=3，解得a=-670，1)【解析】由条件知g(x)=其图象如图所示，其单调减区间是0，1).(第7题)81【解析】由f(1+x)=f(1-x)，得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，故a=1，则f(x)=2|x-1|，由复合函数的单调性得f(x)在1，+)上单调递增，故m1，所以实数m的最小值等于19方法一：任取x1，x2(-1，1)，且x1x2，则f(x2)-f(x1)=-=.因为-1x1x21，所以|x1|1，|x2|1，x1-x20，-10，-10，|x1x2|1，即-1x1x20.因此，当a0时，f(x2)-f(
14、x1)0，即f(x2)f(x1)，此时函数为减函数；当a0，即f(x1)0时，f(x)0，此时函数为减函数；当a0，此时函数为增函数.10 当0a1时，若f(x)=loga(3x2-2ax)在区间上是减函数，则解得0a1时，若f(x)=loga(3x2-2ax)在区间上是减函数，则无解.综上，实数a的取值范围是.11(1)当a=时，f(x)=x+2因为f(x)在区间1，+)上是增函数，所以f(x)在区间1，+)上的最小值为f(1)=.(2)方法一：在区间1，+)上，f(x)=0恒成立x2+2x+a0恒成立.设函数y=x2+2x+a，因为y=(x+1)2+a-1在1，+)上单调递增，所以当x=1
15、时，ymin=3+a，当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立，故a-3方法二：f(x)=x+2，x1，+)，当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立，所以a-3综上，实数a的取值范围为(-3，+).12(1)令a=b=0，则f(0)=f(0)f(0).又f(0)0，解得f(0)=1(2)当x0，所以f(0)=f(x)f(-x)=1因为x0时，f(x)10，所以f(-x)=0.又f(0)=10，所以对任意的xR，恒有f(x)0.(3)设x10，所以f(x2-x1)1，所以f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)f(x1)，即f(x)在R上是增函数.(4)由f(x)f(2x-x2)1，可得f(x+2x-x2)1，即f(3x-x2)f(0).由(3)知f(x)在R上是增函数，所以3x-x20，所以0x3即x的取值范围是(0，3).
