1、第37课等比数列【自主学习】第37课 等比数列(本课时对应学生用书第9798页)自主学习回归教材1. (必修5P49习题1改编)已知数列an为正项等比数列，a2=9，a4=4，则数列an的通项公式an=.【答案】9【解析】设等比数列an的公比为q，则q2=.又因为q0，所以q=，所以an=9.2. (必修5P49习题1改编)如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么b=，ac=.【答案】-39【解析】由等比数列的性质可得ac=(-1)(-9)=9；bb=9，且b与奇数项的符号相同，故b=-3.3. (必修5P58练习6改编)若对于实数x，有an=xn，则数列an的前n项和Sn=.【答案】【解析
2、】当x=0时，Sn=0；当x=1时，Sn=n；当x0且x1时，Sn=.4. (必修5P61习题3改编)若等比数列的通项公式为an=431-n，则数列an是数列.(填“递增”或“递减”)【答案】递减5. (必修5P67习题3改编)设an是等比数列，给出下列四个命题：是等比数列； an+1是等比数列；是等比数列；lg|an|是等比数列.其中正确的命题是.(填序号)【答案】【解析】是等差数列.1.等比数列的定义及通项如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫作等比数列的公比.等比数列的通项公式：an=a1qn-1=qn(nN*)；推广：an
3、=amqn-m.2.等比数列求和公式Sn=3.等比数列的性质设数列an是等比数列，公比为q.(1)若m+n=p+q(m，n，p，qN*)，则aman=apaq；(2)数列kan(k为非零常数)，(kZ且为常数)也是等比数列；(3)每隔k项取出一项(kN*)，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列；(4)若an的前n项和为Sn，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，仍组成等比数列(各项不为0).【要点导学】要点导学各个击破等比数列的基本量运算例1(2015苏州、无锡、常州、镇江、宿迁一调)已知等比数列an的各项均为正数，若a4=，a2+a4=，求数列an的通项公式.【思维引导】将a4=a2q2
4、代入a4=，a2+a4=，求出q及a2，再求an.【解答】设等比数列an的公比为q.因为a4=，所以a2q2=.又a20，所以a2=q2.因为+a2-=0，所以a2=或a2=-(舍去)，所以q2=.又q0，所以q=，所以an=a2qn-2=qn=.【精要点评】此题主要考查等比数列的通项公式.求等比数列的通项就是要求基本量a1和q，要注意q=1的情况.【高频考点题组强化】1. (2015广东卷)若三个正数a，b，c成等比数列，其中a=5+2，c=5-2，则b=.【答案】1【解析】因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2=ac=(5+2)(5-2)=1.又因为b0，所以b=1.2.(2016苏州
5、期中)已知等比数列an的公比大于1，若a5-a1=15，a4-a2=6，则a3=.【答案】4【解析】设等比数列an的公比为q，由题意知解得或(舍去)，故a3=a1q2=122=4.3.(2014扬州一模)设Sn是等比数列an的前n项的和，若a5+2a10=0，则=.【答案】【解析】设等比数列公比为q，则由a5+2a10=0，得q5=-，所以=1+q10=1+=.4. 已知等比数列an的各项均为正数，且a1，a3，2a2成等差数列，那么=.【答案】3+2【解析】依题意可得2=a1+2a2，即a3=a1+2a2，则有a1q2=a1+2a1q，可得q2=1+2q，解得q=1+或q=1-(舍去)，所以
6、=q2=3+2.5. (2015全国卷)在数列an中，已知a1=2，an+1=2an，Sn为an的前n项和.若Sn=126，则n=.【答案】6【解析】由a1=2，an+1=2an可知数列an为等比数列，公比为2，所以Sn=126，得n=6.等比数列的通项公式例2设数列an的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+2(nN*)，若bn=an+1-2an，求数列bn的通项公式.【思维引导】由Sn+2=4an+1+2，an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，得an+2-2an+1=2(an+1-2an)，所以bn+1=2bn，再求出首项b1=30，判定bn是公比为2的等比数列.【解答
7、】因为a1=1，Sn+1=4an+2(nN*)，所以Sn+2=4an+1+2，则an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an)，所以an+2-2an+1=2(an+1-2an)，即bn+1=2bn，所以bn是公比为2的等比数列，且b1=a2-2a1.因为a1=1，a2+a1=S2，即a2+a1=4a1+2，所以a2=3a1+2=5，所以b1=5-2=3，所以bn=32n-1.【精要点评】判断一个数列是不是等比数列，根据定义，看前一项与后一项的比是不是同一个常数，同时还要求b10.等比数列的求和问题例3已知公比不为1的等比数列an的首项a1=，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+
8、S6成等差数列.(1)求等比数列an的通项公式及前n项和Sn；(2)对nN*，在an与an+1之间插入3n个数，使这3n+2个数成等差数列，记插入的这3n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn.【思维引导】(1)由等比数列的通项公式可求得数列an的通项公式.(2)由等差数列的前n项和公式可得插入的3n个数的和为bn=3n，由(1)可求得bn的表达式，再根据等比数列的前n项和公式即可得到结论.【解答】(1)设等比数列an的公比为q，因为a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列，所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5，即2a6-3a5+a4=0，所以2q2-3q+1=0，因为q1
9、，所以q=，所以等比数列an的通项公式为an=.Sn=1-.(2)bn=3n=，所以Tn=.【精要点评】本题主要考查等比数列前n项和公式的运用，同时考查构造新数列求通项、求和的方法.变式(2015四川卷)设数列an的前n项和Sn满足Sn=2an-a3，且a1，a2+1，a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.【解答】(1)因为Sn=2an-a3，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n2)，即an=2an-1(n2)，从而a2=2a1，a3=2a2=4a1.又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2(a2+1)，所以a1+4a1=2(2a1+
10、1)，解得a1=2，所以数列an是首项为2、公比为2的等比数列，所以an=2n.(2)由(1)得=，所以Tn=+=1-.等差、等比数列的综合问题例4(2015南通二调)设an是公差为d的等差数列，bn是公比为q(q1)的等比数列，记cn=an+bn.(1)求证：数列cn+1-cn-d为等比数列；(2)已知数列cn的前4项分别为4，10，19，34，求数列an和bn的通项公式.【解答】(1)由题意得cn+1-cn-d=(an+1+bn+1)-(an+bn)-d=(an+1-an)-d+(bn+1-bn)=bn(q-1)0，从而=q.又因为c2-c1-d=b1(q-1)0，所以cn+1-cn-d是
11、首项为b1(q-1)，公比为q的等比数列.(2)方法一：cn+1-cn-d的前3项为6-d，9-d，15-d，则(9-d)2=(6-d)(15-d)，解得d=3，从而q=2.又因为解得a1=1，b1=3，所以an=3n-2，bn=32n-1.方法二：由题意得消去a1，得消去d，得消去b1，得q=2，从而解得a1=1，b1=3，d=3，所以an=3n-2，bn=32n-1.【精要点评】等差数列与等比数列的综合运用主要还是考查基本量的运算，同时考查学生综合分析问题的能力.变式(2015北京卷)已知等差数列an满足a1+a2=10，a4-a3=2.(1)求数列an的通项公式；(2)设等比数列bn满足
12、b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等?【解答】(1)设等差数列an的公差为d.因为a4-a3=2，所以d=2.又因为a1+a2=10，所以2a1+d=10，解得a1=4，所以an=4+2(n-1)=2n+2.(2)设等比数列bn的公比为q.因为b2=a3=8，b3=a7=16，所以q=2，b1=4，所以b6=426-1=128.由128=2n+2，得n=63，所以b6与数列an的第63项相等.1. (2015泰州二模)在等比数列an中，已知a3=4，a7-2a5-32=0，则a7=.【答案】64【解析】设公比为q，则有a3q4-2a3q2-32=0，即q4-2q2-8=0，解
13、得q2=4(负值舍去)，所以a7=a3q4=64.2.在正项等比数列an中，若a3a11=16，则log2a2+log2a12=.【答案】4【解析】因为等比数列an中，a3a11=16，所以a2a12=a3a11=16，所以log2a2+log2a12=log2(a2a12)=log216=4.3.在等比数列an中，若S5=4，S10=12，则S15=.【答案】28【解析】由等比数列的性质知S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，S5=4，S10-S5=8，所以S15-S10=16，则S15=28.4.(2016苏北四市期中)在等比数列an中，若a1=1，a3a5=4(a4-1)，则a7
14、=.【答案】4【解析】由题知a3a5=4(a4-1)=，得a4=2，又a1=1，所以由=a1a7，得a7=4.5.(2015安徽卷)已知数列an是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn=，求数列bn的前n项和Tn.【解答】(1)由题设知a1a4=a2a3=8，联立a1+a4=9，解得或(舍去).由a4=a1q3，得公比q=2，所以an=a1qn-1=2n-1.(2)Sn=2n-1，又bn=-，所以Tn=b1+b2+bn=+=-=1-.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成配套检测与评估中的练习第7374页.【检测与评
15、估】第37课等比数列一、 填空题1(2015全国卷)若等比数列an满足a1=，a3a5=4(a4-1)，则a2=.2在等比数列an中，Sn为其前n项和，已知a5=2S4+3，a6=2S5+3，那么此数列的公比q=.3(2015湖南卷)设Sn为等比数列an的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an=.4若方程x2-5x+m=0与x2-10x+n=0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则mn的值为.5(2015泰州期末)在等比数列an中，若a1+32a6=0，a3a4a5=1，则an的前6项和为.6(2015镇江期末)设等比数列an的前n项和为Sn，若S3=7
16、，S6=63，则a7+a8+a9=.7若等比数列an的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则ln a1+ln a2+ln a20=.8已知an=sin，Sn=a1+a2+an，那么在S1，S2，S100中，正数的个数是.二、 解答题 9(2014福建卷)在等比数列an中，已知a2=3，a5=81(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=log3an，求数列bn的前n项和Sn.10(2015苏州调查)已知数列an共有2k项(k2)，数列an的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=(p-1)Sn+2(n=1，2，2k-1)，其中常数p1(1)求证：数列an是等比数列.(2)若p=，数
17、列bn满足bn=log2(a1a2an)(n=1，2，2k)，求数列bn 的通项公式.11(2015湖南卷)设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=2，且an+2=3Sn-Sn+1+3(1)求证：an+2=3an.(2)求Sn.三、 选做题12(2015桐乡一中模拟)在数列an中，Sn为它的前n项和，已知a2=4，a3=15，且数列an+n是等比数列，则Sn=.13已知数列an满足a1=1，an+1an=2n，则S2 017=.【检测与评估答案】第37课等比数列1【解析】因为an为等比数列，所以a3a5=4(a4-1)=，得a4=2又a1=，故=8=q3，得q=2，所以a2=2=.23
18、【解析】由a5=2S4+3，a6=2S5+3，两式相减得a6-a5=2a5，得a6=3a5，所以公比q=3.33n-1【解析】设等比数列an的公比为q.由3S1，2S2，S3成等差数列，得4S2=3S1+S3，即3S2-3S1=S3-S2，所以3a2=a3，得q=3，所以an=a1qn-1=3n-14【解析】设方程x2-5x+m=0的两根为x1，x2，方程x2-10x+n=0的两根为x3，x4，则由题意知x1=1，x2=4，x3=2，x4=8，所以m=4，n=16，所以mn=.5-【解析】由a1+32a6=0，得=-=q5，所以q=-.又a3a4a5=1，即=1，所以a4=1，则a1=-8，所
19、以an的前6项和S6=-.6448【解析】因为a1+a2+a3=7，a1+a2+a3+a6=63，所以a4+a5+a6=56因为a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9成等比数列，所以a7+a8+a9=448.750【解析】由题意得2a10a11=2e5a10a11=e5，所以ln a1+ln a2+ln a20=ln(a1a2a20)=ln(a10a11)10=10ln e5=50.8 100【解析】当1n24时，an0；当26n49时，an0；当76n99时，an0.9(1)设等比数列an的公比为q.依题意得解得所以an=3n-1(2)因为bn=log3an=n-1，所以Sn=
20、.10 (1)因为an+1=(p-1)Sn+2(n=1，2，2k-1)，所以an=(p-1)Sn -1+2 (n=2，3，2k)，两式相减得an+1-an=(p-1)(Sn-Sn -1)，即an+1-an=(p-1)an.所以an+1=pan(n=2，3，2k-1).原式中，令n=1，得a2=(p-1)a1+2=2(p-1)+2=2p=pa1，所以an+1=pan，即=p0(n=1，2，2k-1)，所以数列an是等比数列.(2)由(1)得an=a1pn-1所以bn=log2(a1a2an)=log2(a1a1pa1p2a1pn-1)=log2()=log2(a1)=1+log2p=1+=1+.
21、11 (1)因为对任意的nN*，有an+2=3Sn-Sn+1+3，所以对任意的nN*，n2，有an+1=3Sn-1-Sn+3两式相减得an+2-an+1=3an-an+1，即an+2=3an，n2又因为a1=1，a2=2，所以a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1，所以对一切nN*，an+2=3an.(2)由(1)知an0，所以=3，于是数列a2n-1是首项a1=1、公比为3的等比数列；数列a2n是首项a2=2、公比为3的等比数列.因此a2n-1=3n-1，a2n=23n-1于是S2n=a1+a2+a2n=(a1+a3+a2n-1)+(a2+a4+a2n)=(1+3+3n-
22、1)+2(1+3+3n-1)=3(1+3+3n-1)=，从而S2n-1=S2n-a2n=-23n-1=(53n-2-1).综上，Sn=123n-【解析】因为an+n是等比数列，所以q=3，a2+2=6，所以an+n=63n-2=23n-1，所以an=23n-1-n，Sn=-=3n-.1321 010-3【解析】根据题意知a2=2由an+1an=2n，得an+2an+1=2n+1，两式相除得=2，所以an的奇数项和偶数项分别成等比数列，而an的前2 017项中有1 009项奇数项和1 008项偶数项，而且奇数项和偶数项构成的数列分别是以1和2为首项，以2为公比的等比数列，所以S2 017=+=21 010-3.
