1、第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 2 课时 函数的最大(小)值 基础过关练 题组一 函数最大(小)值的求法 1.(2020 河南豫南九校高一上第一次联考)函数 y=1-1在2,3上的最小值为()A.2 B.12 C.13 D.-12 2.(2020 福建宁德部分一级达标中学高一上期中)函数 y=+3,0 的解集;(2)当 x(0,+)时,求函数 y=()的最大值,以及 y 取得最大值时 x 的值.8.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需增加投入100 元,已知总收益满足函数 R(x)=400-12 2(0 4
2、00),80000(400),其中 x 是仪器的月产量.(1)将利润表示为月产量的函数 f(x);(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+利润)题组三 函数的最大(小)值在方程与不等式中的应用 9.若不等式-x+a+10 对任意 x(0,12都成立,则实数 a 的最小值为()A.0 B.-2 C.-52 D.-12 10.已知函数 f(x)=x2+ax+4,若对任意的 x(0,2,f(x)6 恒成立,则实数 a 的最大值为()A.-1 B.1 C.-2 D.2 11.(2020 湖南长沙第一中学高一上第二次阶段性检测)若不等式 x2+|x-1|+a0 在区
3、间(-2,2)上恒成立,则实数 a 的取值范围是 .12.已知函数 f(x)=-1+2,x3,5.(1)判断函数 f(x)的单调性,并证明;(2)若不等式 f(x)a 在3,5上恒成立,求实数 a 的取值范围;(3)若不等式 f(x)a 在3,5上有解,求实数 a 的取值范围.能力提升练 一、选择题 1.(2019 湖北襄阳四中高一上月考,)函数 y=1-3+的最大值为 M,最小值为N,则的值为()A.2 B.1 C.-1 D.2 2.(2019 山西高平一中高一上第一次月考,)函数 f(x)=+1+2在区间-5,-3上的最小值为()A.13 B.1 C.43 D.2 3.(2020 辽宁盘锦
4、高一月考,)某渔场鱼群的最大养殖量为 m 吨,为保证鱼群的生长空间,实际的养殖量 x 要小于 m,留出适当的空闲量,已知鱼群的年增长量 y(吨)和实际养殖量 x(吨)与空闲率(空闲量与最大养殖量的比值叫空闲率)的乘积成正比(设比例系数 k0),则鱼群年增长量的最大值为()A.2 B.4 C.2 D.4 4.(2021 湖南衡南第三中学高一月考,)已知函数 f(x)=2-2+8,1,+4+,1,若 f(x)的最小值为 f(1),则实数 a 的值不可能是()A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2020 山东淄博实验中学高一上期中,)对于实数 x,符号x表示不超过 x 的最大整数,例如=3,-1.
5、08=-2,定义函数 f(x)=x-x,则下列命题中不正确的是()A.f(-3.9)=f(4.1)B.函数 f(x)的最大值为 1 C.函数 f(x)的最小值为 0 D.方程 f(x)-12=0 有无数个根 6.(2021 海南临高二中高一月考,)函数 f(x)=x+9-a+a(aR)在区间1,9上的最大值为 10,则实数 a 的最大值为()A.6 B.8 C.9 D.10 二、填空题 7.(2020 河北唐山一中高一上期中,)已知函数 f(x)=2x+1-4-2的定义域为 D,当xD 时,f(x)m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 .8.(2020 辽宁六校协作体高一上期中,)设函数 f(
6、x)=x+1,x12,3,则函数 f(x)的最小值为 ;若存在 x12,3,使得 a2-af(x)成立,则实数 a 的取值范围是 .9.(2020 黑龙江大庆实验中学高一上月考,)已知函数 f(x)=-x2+ax-4在区间0,1上的最大值是32,则实数 a 的值为 .三、解答题 10.(2020 山东淄博实验中学高一上期中,)函数 f(x)的定义域为(0,+),且对任意x0,y0 都有 f =f(x)-f(y),当 x1 时,有 f(x)0.(1)求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性并加以证明;(3)若 f(4)=2,求 f(x)在1,16上的值域.11.(2020 江苏如东高级中学
7、高一上阶段性测试,)已知函数 f(x)=|1-1|,其中 x0.(1)写出 f(x)的单调区间;(2)是否存在实数 a,b(0ab),使得函数 f(x)的定义域和值域都是a,b?若存在,请求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由;(3)若存在实数 a,b(0a0),求实数m 的范围.答案全解全析 第一章 集合与函数概念 1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 2 课时 函数的最大(小)值 基础过关练 1.B 2.C 3.B 5.C 6.D 9.D 10.A 1.B y=1-1在2,3上单调递减,所以当 x=3 时取得最小值,为12.故选 B.2.C 当 x1 时,函数 y
8、=x+3 单调递增,且 y0 时,函数 y=ax+1 在1,2上单调递增,有(2a+1)-(a+1)=2,解得 a=2;当 a0,即-2x2+7x-30,解得12x0 的解集为|12 0,可知当 x(0,62)时,函数单调递减,当 x(62,+)时,函数单调递增,所以当 x=62 时,y=2x+3有最小值,为 26,即 y=7-(2+3)有最大值,为 7-26.8.解析(1)由题意可知,当月产量为 x 台时,总成本为(20 000+100 x)元,从而 f(x)=R(x)-(20 000+100 x)=-12 2+300-20000(0 400),60000-100(400).(2)由(1)可
9、知,当 0 x400 时,f(x)=-12(x-300)2+25 000,当 x=300 时,f(x)max=25 000;当 x400 时,f(x)=60 000-100 x 是减函数,f(x)60 000-100400=20 0000 恒成立,得 a-x2-|x-1|恒成立,令 f(x)=-x2-|x-1|=-2-+1,1 2,-2+-1,-2 1,f(x)在(-2,12上单调递增,在(12,2)上单调递减,f(x)max=f(12)=-(12)2+12-1=-34,f(x)-34,a 的取值范围是(-34,+).12.解析(1)f(x)在3,5上为增函数.证明:任取 x1,x23,5且
10、x1x2,则 f(x1)-f(x2)=1-11+2-2-12+2=3(1-2)(1+2)(2+2).3x1x25,x1-x20,f(x1)-f(x2)0,即 f(x1)a 在3,5上恒成立知,f(x)mina,由(1)知,f(x)在3,5上为增函数,所以 f(x)min=f(3)=25,所以25a,即 aa 在3,5上有解知,f(x)maxa,由(1)知,f(x)在3,5上为增函数,所以 f(x)max=f(5)=47,所以47a,即 a0,0 x1 时,y=x+4+a,可知函数在(1,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以当x=2 时,y=x+4+a 有最小值,为 4+a;当 x1 时
11、,y=x2-2ax+8,图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为直线 x=a,设 g(x)=x2-2ax+8,x1,则当 a1 时,g(a)为函数 g(x)在(-,1上的最小值,不合题意;当 a1 时,g(1)为函数 g(x)在(-,1上的最小值,且g(1)=9-2a.由题意可得 9-2a4+a,解得 a53.综上,实数 a 的取值范围为 a a53.故选 A.5.答案 B 信息提取 x表示不超过 x 的最大整数;讨论函数 f(x)=x-x的相关性质.数学建模 以x为情境,构建新函数,求函数值,讨论函数最值及方程的解.解析 f(-3.9)=(-3.9)-3.9=-3.9-(-4)=0.1,f(
12、4.1)=4.1-4.1=4.1-4=0.1,故 A 命题正确;显然 x-1xx,因此 0 x-x1,f(x)无最大值,但有最小值,且最小值为 0,故 B 命题错误,C 命题正确;方程 f(x)-12=0的解为 x=k+12(kZ),故 D 命题正确.故选 B.6.B 令 t=x+9,x1,9,则函数 t=x+9在1,3)上单调递减,在3,9上单调递增,所以当 x=3 时,tmin=6,当 x=1 或 x=9 时,tmax=10,所以 t6,10,所以 y=|t-a|+a 在 t6,10上的最大值为 10,当 a10 时,y=|t-a|+a=a-t+a=2a-t,所以 ymax=2a-6=10
13、,解得 a=8,不合题意,舍去;当 a6 时,y=|t-a|+a=t-a+a=t,t6,10,ymax=10,满足题意;当 6a8 时,ymax=|10-a|+a=10,满足题意;当 8a10 时,ymax=|6-a|+a=a-6+a=2a-6,所以令 2a-6=10,解得 a=8,满足题意.综上所述,实数 a 的取值范围是 a8,故实数 a 的最大值为 8.故选 B.二、填空题 7.答案 5,+)解析 函数 f(x)=2x+1-4-2的定义域为(-,2,令 t=4-2,得 2x=4-t2(t0),所以 y=5-t2-t(t0),其图象开口向下,对称轴为直线 t=-12.因为 t0,所以 y5
14、,又当 xD 时,f(x)m 恒成立,所以实数 m 的取值范围是 m5.8.答案 2;(-,-12,+)解析 易知函数 f(x)=x+1,x12,3在12,1上为减函数,在(1,3上为增函数,所以f(x)min=f(1)=1+1=2,即函数 f(x)的最小值为 2.因为存在 x12,3,使得 a2-af(x)成立,所以 a2-af(x)min,即 a2-a2,解得 a2 或a-1,故实数 a 的取值范围是(-,-12,+).9.答案-6 或103 解析 f(x)=-x-22+14(a2-a),其图象的对称轴为直线 x=2,当 021,即 0a2 时,f(x)max=14(a2-a),令14(a
15、2-a)=32,得 a=-2 或 a=3,与 0a2 矛盾,不符合要求;当20,即 a1,即 a2 时,f(x)在0,1上单调递增,f(x)max=f(1),令 f(1)=32,得-1+a-4=32,解得 a=103.综上所述,a=-6 或 a=103.三、解答题 10.解析(1)对任意 x0,y0 都有 f=f(x)-f(y),令 x=y=1,则 f(1)=f(1)-f(1)=0.(2)f(x)在(0,+)上单调递增.证明:任取 x1,x2(0,+),且 x1x10,211,f21 0,f(x2)f(x1),故 f(x)在(0,+)上是增函数.(3)由(2)知 f(x)在1,16上是增函数,
16、f(x)min=f(1)=0,f(x)max=f(16),由 f=f(x)-f(y),知 f164=f(16)-f(4),f(4)=2,f(16)=2f(4)=4,f(x)在1,16上的值域为0,4.11.解析(1)依题意得 f(x)=1-1,1,1-1,0 1.易知函数在(0,1)上单调递减,在1,+)上单调递增.所以函数 f(x)的单调递增区间为1,+),单调递减区间为(0,1).(2)不存在实数 a,b(0ab)满足条件.理由如下:假设存在满足条件的 a,b.若 a,b(0,1),则 f(x)=1-1 在(0,1)上递减,且 f(a)=1-1,f(b)=1-1,()=,()=,即1-1=,1-1=a=b,不符合题意.若 a,b1,+),则 f(x)=1-1在1,+)上递增,()=,()=1-1=,1-1=,无实数解,不符合题意.当 a(0,1),b1,+)时,显然 1a,b,而 f(1)=0,0a,b,不符合题意.综上,不存在实数 a,b(0a 0,-1+1 0,12 10m14.故实数 m 的取值范围是 0,14.
