1、8-51已知直线m,n和平面,若,m,要使n,则应增加的条件是()An且mn BnCn且nm Dn【解析】 由面面垂直的性质定理知选C.【答案】 C 2设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A若,m,n,则mnB若,m,n,则mnC若mn,m,n,则D若m,mn,n,则【解析】 A中,m与n可垂直、可异面、可平行;B中,m与n可平行、可异面;C中,若,仍然满足mn,m,n,故C错误;故选D.【答案】 D 3(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()AA1EDC1 BA1EBDCA1EBC1 DA1EAC【解析】 方法一 如图,A1
2、E在平面ABCD上的投影为AE,而AE不与AC,BD垂直,B,D错;A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C,且B1CBC1,A1EBC1,故C正确;(证明:由条件易知,BC1B1C,BC1CE,又CEB1CC,BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1,A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E,而D1E不与DC1垂直,故A错故选C.【答案】 C 4(2018包头模拟)如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱AA1垂直底面A1B1C1,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC中点,则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BAC平面ABB1A1CAE与B1C1是异面直
3、线,且AEB1C1DA1C1平面AB1E【解析】 A不正确,因为CC1与B1E在同一个侧面中,故不是异面直线;B不正确,由题意知,上底面ABC是一个正三角形,故不可能存在AC平面ABB1A1;C正确,因为AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故它们是异面直线;D不正确,因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交,且A1C1与交线有公共点,故A1C1平面AB1E不正确,故选C.【答案】 C 5正方体ABCDABCD中,E为AC的中点,则直线CE垂直于()AAC BBDCAD DAA【解析】 连接BD,BDAC,BDCC,且ACCCC,BD平面CCE.而CE平面CCE,BDCE.又BD
4、BD,BDCE.【答案】 B 6如图所示,直线PA垂直于O所在的平面,ABC内接于O,且AB为O的直径,点M为线段PB的中点现有结论:BCPC;OM平面APC;点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是()A BC D【解析】 对于,PA平面ABC,PABC,AB为O的直径,BCAC,BC平面PAC,又PC平面PAC,BCPC;对于,点M为线段PB的中点,OMPA,PA平面PAC,OM平面PAC,OM平面PAC;对于,由知BC平面PAC,线段BC的长即是点B到平面PAC的距离,故都正确【答案】 B 7如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,BC1AC,则C1在底面ABC上的射
5、影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部【解析】 因为BC1AC,BAAC,BABC1B,所以AC平面ABC1,因此平面ABC平面ABC1,因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上故选A.【答案】 A 8如图,BAC90,PC平面ABC,则在ABC和PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线有_;与AP垂直的直线有_【解析】 PC平面ABC,PC垂直于直线AB,BC,AC;ABAC,ABPC,ACPCC,AB平面PAC,与AP垂直的直线是AB.【答案】 AB,BC,ACAB 9如图所示,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M
6、满足_时,平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)【解析】 由定理可知,BDPC.当DMPC(或BMPC)时,即有PC平面MBD,而PC平面PCD,平面MBD平面PCD.【答案】 DMPC(或BMPC等) 10如图,PA圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的射影,给出下列结论:AFPB;EFPB;AFBC;AE平面PBC.其中正确结论的序号是_【解析】 由题意知PA平面ABC,PABC.又ACBC,且PAACA,BC平面PAC,BCAF.AFPC,且BCPCC,AF平面PBC,AFPB,又AEPB,AEAFA,PB平面AEF,P
7、BEF.故正确【答案】 11如图,在四棱锥PABCD中,PACD,ADBC,ADCPAB90,BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M,使得直线CM平面PAB,并说明理由;(2)证明:平面PAB平面PBD.【解析】 (1)取棱AD的中点M(M平面PAD),点M即为所求的一个点,理由如下:连接BM,CM.因为ADBC,BCAD,所以BCAM,且BCAM,所以四边形AMCB是平行四边形,从而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB.所以CM平面PAB.(说明:取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明 由已知,PAAB,PACD.因为ADBC,BCCDAD,所以直线AB与
8、CD相交,所以PA平面ABCD,从而PABD.又BCMD,且BCMD.所以四边形BCDM是平行四边形,所以BMCDAD,所以BDAB.又ABAPA,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD. 12(2017全国卷)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ADCD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,ABBD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【解析】 (1)证明 如图,取AC的中点O,连接DO,BO.因为ADCD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90,所以DOAO.在RtAOB中,BO2AO2AB2.又ABBD,所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2,故DOB90.由题设知AEC为直角三角形,所以EOAC.又ABC是正三角形,且ABBD,所以EOBD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.