1、上海市奉贤区2019-2020学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、填空题1.已知扇形的周长为 6 cm ，面积为 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数为 .【答案】1或4【解析】试题分析：解：设扇形的弧长为：l，半径为r，所以2r+l=6，因为S扇形=lr=2，所以解得：r=1，l=4或者r=2，l=2,所以扇形的圆心角的弧度数是：=4或者1；故答案为4或者1考点：扇形的周长与扇形的面积点评：本题主要考查扇形的周长与扇形的面积公式的应用，以及考查学生的计算能力，此题属于基础题型2.函数的值域为_.【答案】【解析】【分析】先确定真数的范围，再根据对数函数的单调性确定，即可求函数的值域.【详解】
2、因为，所以，即函数的值域为.故答案为：【点睛】本题主要考查对数型函数的值域问题，涉及到对数函数的单调性，属于基础题.3.已知，则_；_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】因为，所以，代入即可.【详解】因为，所以，所以，.故答案为：；【点睛】本题主要考查反函数的定义，解题的关键是准确找出的反函数，属于基础题.4.若，则 .【答案】【解析】【分析】将式子中的角变成，然后利用两角差的正切公式求解即可.详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查两角和与差的正切公式，解题的关键是把要求的角转化成已知角的和与差，属于基础题.5.在中，角所对边分别为.若,，则角的大小为_.【答案】【解析】本题考查了
3、三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力由得，所以由正弦定理得，所以A=或（舍去）、6.设,且,则_.【答案】【解析】【分析】变换得到，代入化简得到，得到答案.【详解】，则，故.故答案为：.【点睛】本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.7.已知sin，则cos_【答案】【解析】详解】由sin，得cos212sin2，即cos，所以coscos，故答案为.8.设是函数的反函数，若，则的值是_.【答案】2【解析】【分析】先求出的反函数，然后根据及可求出，代入原函数即可.【详解】解：由可得的反函数为，因为，所以，即所以，所以.故答案为：2【点
4、睛】本题主要考查求反函数的方法以及函数求值问题，属于基础题.9.在中，分别为、的对边，如果成等差数列，的面积为，那么为_.【答案】【解析】【分析】先根据三角形面积公式求出的值，再用等差中项的性质得出，最后用余弦定理即可解出的值.【详解】解：由.，所以，因为成等差数列所以，两边同时平方得，即，由余弦定理得，代入数据得，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查解三角形问题，解题过程中涉及到余弦定理和三角形面积公式以及等差中项.10.已知，则的值为_【答案】【解析】分析】利用两角和差正切公式可求得，利用二倍角公式将所求式子构造为关于正余弦的齐次式，则配凑分母，分子分母同时除以可构造出关于的式子，代
5、入求得结果.【详解】，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查关于正余弦的齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式的应用、同角三角函数关系的应用，属于常考题型.11.设 为第四象限角，且，则 _.【答案】【解析】因为4cos212(2cos21)12cos 21，所以cos 2.又是第四象限角，所以sin 2，tan2.点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化12.给出下列四个命题：（1）函数为奇函数的充要条件是；（2）函数的反函数是；（3）若函数的值域是，则或；（4）若函数是偶函数，则函数的图像关于直线对称.其中所
6、有正确命题的序号是_.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确，由函数的值域是，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确.【详解】解：（1）当时，当函数为奇函数时，即，解得，所以是函数为奇函数的充要条件，所以（1）正确；（2）由反函数的定义可知函数的反函数是，所以（2）正确；（3）因为函数的值域是，所以能取遍的所有实数，所以，解得或，所以（3）正确；（4）函数是偶函数，所以图像关于轴对称，函数的图像是由向左平移一个单位得到的，所以函数的图像关
7、于直线对称，故（4）不正确.故答案为：（1）（2）（3）【点睛】本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.二、选择题13.已知是的内角，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由是的内角，得出，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解：是的内角，所以，若，则，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A【点睛】本题主要考查充要条件，涉及到三角函数公式，属于基础题.14.若是第二象限的角，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】是第二象限的角，根
8、据的值，利用三角函数的基本关系求出的值，再用二倍角公式即可求出的值.【详解】解：是第二象限的角，所以，所以是第一或第三象限的角，又，是第一象限的角，所以，由二倍角公式可得.故选：C【点睛】本题主要考查三角函数求值问题，解答本题需用到同角三角函数基本关系，和而二倍角角公式.15.函数的图像如图所示，其中、为常数，则下列结论正确的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据图像的单调性可求出的范围，再由时，的值即可确定的范围.【详解】由图可知函数单调递减，所以，当时，所以.故选：D【点睛】本题主要考查对数与对数函数的图像，属于基础题.16.不等式在上恒成立，则实数的取值范
9、围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对讨论求解即可.【详解】由可得，当时，由可知无实数解，故舍去；当时，在上恒成立，所以，解得.故选：C【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.三、解答题17.已知，求的值.【答案】当为第一象限角时，；当为第二象限角时，.【解析】试题分析：分两种情况当为第一象限角时、当为第二象限角时分别求出的余弦值，然后化简，将正弦、余弦值分别代入即可.试题解析：，为第一或第二象限角.当为第一象限角时，.当为第二象限角时，原式.考点：1、同角三角函数之间的关系；2、诱导公式的应用.1
10、8.已知且，求函数的最大值和最小值【答案】最小值为，最大值为2.【解析】【分析】由已知条件化简得，然后化简求出函数的最值【详解】由得，即.当 ，当 【点睛】熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础19.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙的长度为米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记.（1）若，求的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，的面积尽可能大，当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.【答案】(1) 米. (2) 当
11、且仅当时等号成立，此时为等边三角形，.【解析】分析：(1)在中，由正弦定理可得，即可求的周长；(2)利用余弦定理列出关系式，将的值代入并利用基本不等式求出的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时的值.详解：（1）在中，有正弦定理可得，,的周长为米.（2）在中，有余弦定理得当且仅当时等号成立，此时为等边三角形，.点睛：该题考查的是有关通过解三角形来解决实际问题的事例，在解题的过程中，注意应用正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得结果.20.已知=，（ R）是R上的奇函数.（1）求的值；（2）求的反函数；（3）对任意的k(0, +)解不等式.【答案】=1（x1）；当k(0,2)时，解
12、集为x|x1，当k2, +）时，解集为x|-1x1.【解析】【详解】，所以=1；即原函数的值域为（，）所以当时，整理得所以（x1）；,所以所以当k(0,2)时，解集为x|x1所以当k2, +）时，解集为x|-1x121.已知定义在实数集上的函数，把方程称为函数的特征方程，特征方程的两个实根，称为的特征根.（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）求表达式；（3）把函数，的最大值记作、最小值记作，令，若恒成立，求的取值范围.【答案】（1）当时，函数为奇函数：当时，函数为非奇非偶函数（2）（3）【解析】【分析】（1）分和讨论即可；（2）将表达式通分，再利用韦达定理代入即可；（3）先求出在上的最值，再分析函数的单调性，求出，然后分离参数，求出参数的范围.【详解】（1）当时，所以，即为奇函数；当时，因，所以，所以不是奇函数也不是偶函数.（2）由题意，方程的两个实根、，即方程的两个实根为、，（3）由，则，由（2）知方程的两个实根为、，则当时，恒成立，所以，恒成立函数在上是单调递增，由恒成立，即恒成立，恒成立，又，则，故的取值范围为.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查方程思想，考查了函数单调性的证明和应用，考查分离参数求参数的范围的问题，属于难题.
